數學概率統(tǒng)計試卷及答案

一、單項選擇題1.設\(A\)，\(B\)為兩個隨機事件，且\(P(A)>0\)，\(P(B)>0\)，則下列等式成立的是（）A.\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)B.\(P(AB)=P(A)P(B)\)C.\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)D.\(P(A|B)=P(A)\)答案：C2.設隨機變量\(X\)服從參數為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：B3.設隨機變量\(X\)的概率密度函數為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(P(X\leq0.5)\)的值為（）A.0.25B.0.5C.0.75D.1答案：A4.設隨機變量\(X\)和\(Y\)相互獨立，且\(X\simN(1,4)\)，\(Y\simN(0,1)\)，則\(Z=X-2Y\)服從的分布是（）A.\(N(1,8)\)B.\(N(1,6)\)C.\(N(0,8)\)D.\(N(0,6)\)答案：A5.設總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，則\(\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)服從的分布是（）A.\(N(0,1)\)B.\(t(n-1)\)C.\(\chi^{2}(n)\)D.\(F(n-1,n)\)答案：A6.設隨機變量\(X\)的分布函數為\(F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\x^{2},&0\leqx<1\\1,&x\geq1\end{cases}\)，則\(X\)的概率密度函數\(f(x)\)為（）A.\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx<1\\0,&其他\end{cases}\)B.\(f(x)=\begin{cases}x^{2},&0\leqx<1\\0,&其他\end{cases}\)C.\(f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&其他\end{cases}\)D.\(f(x)=\begin{cases}x^{2},&0<x<1\\0,&其他\end{cases}\)答案：C7.設\(A\)，\(B\)為兩個互斥事件，且\(P(A)>0\)，\(P(B)>0\)，則下列結論正確的是（）A.\(P(A\cupB)=1\)B.\(P(AB)=P(A)P(B)\)C.\(P(A|B)=0\)D.\(P(B|A)=P(B)\)答案：C8.設隨機變量\(X\)服從區(qū)間\([a,b]\)上的均勻分布，其概率密度函數為\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},&a\leqx\leqb\\0,&其他\end{cases}\)，則\(E(X)\)的值為（）A.\(\frac{a+b}{2}\)B.\(\frac{a-b}{2}\)C.\(\frac{b-a}{2}\)D.\(ab\)答案：A9.設總體\(X\)的均值為\(\mu\)，方差為\(\sigma^{2}\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}\)，則（）A.\(E(\overline{X})=\mu\)，\(E(S^{2})=\sigma^{2}\)B.\(E(\overline{X})=\mu\)，\(E(S^{2})=\frac{\sigma^{2}}{n}\)C.\(E(\overline{X})=\frac{\mu}{n}\)，\(E(S^{2})=\sigma^{2}\)D.\(E(\overline{X})=\frac{\mu}{n}\)，\(E(S^{2})=\frac{\sigma^{2}}{n}\)答案：A10.設隨機變量\(X\)的期望\(E(X)=2\)，方差\(D(X)=4\)，則\(E(X^{2})\)的值為（）A.8B.6C.4D.2答案：A二、多項選擇題1.設\(A\)，\(B\)，\(C\)為三個隨機事件，則下列等式正確的有（）A.\(P(A\cupB\cupC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)\)B.\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(AB)\)C.\(P(A-B)=P(A)-P(AB)\)D.\(P(\overline{A}\overline{B})=1-P(A\cupB)\)答案：ABCD2.下列函數中，可作為某隨機變量概率密度函數的有（）A.\(f(x)=\begin{cases}e^{-x},&x\geq0\\0,&x<0\end{cases}\)B.\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2},&-1\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\)C.\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\)D.\(f(x)=\begin{cases}1,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\)答案：ABC3.設隨機變量\(X\)和\(Y\)相互獨立，且\(X\)服從參數為\(\lambda_1\)的泊松分布，\(Y\)服從參數為\(\lambda_2\)的泊松分布，則（）A.\(X+Y\)服從參數為\(\lambda_1+\lambda_2\)的泊松分布B.\(E(X+Y)=\lambda_1+\lambda_2\)C.\(D(X+Y)=\lambda_1+\lambda_2\)D.\(P(X=k,Y=j)=P(X=k)P(Y=j)\)答案：ABCD4.設總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}\)，則下列統(tǒng)計量中，服從正態(tài)分布的有（）A.\(\overline{X}\)B.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)C.\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\)答案：AB5.設隨機變量\(X\)的分布函數為\(F(x)\)，則\(F(x)\)具有的性質有（）A.\(0\leqF(x)\leq1\)B.\(F(-\infty)=0\)，\(F(+\infty)=1\)C.\(F(x)\)是單調不減函數D.\(F(x)\)是右連續(xù)函數答案：ABCD6.設\(A\)，\(B\)為兩個隨機事件，且\(P(A)>0\)，\(P(B)>0\)，則下列說法正確的有（）A.若\(A\)，\(B\)相互獨立，則\(P(A|B)=P(A)\)B.若\(A\)，\(B\)相互獨立，則\(P(AB)=P(A)P(B)\)C.若\(A\)，\(B\)互斥，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)D.若\(A\)，\(B\)互斥，則\(P(AB)=0\)答案：ABCD7.設隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，其概率密度函數為\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\)，則（）A.曲線\(y=f(x)\)關于\(x=\mu\)對稱B.當\(x=\mu\)時，\(f(x)\)取得最大值\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\)C.\(\sigma\)越大，曲線\(y=f(x)\)越“矮胖”D.\(\sigma\)越小，曲線\(y=f(x)\)越“瘦高”答案：ABCD8.設總體\(X\)的分布未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}\)，則下列說法正確的有（）A.\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無偏估計量B.\(S^{2}\)是總體方差\(\sigma^{2}\)的無偏估計量C.\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的一致估計量D.\(S^{2}\)是總體方差\(\sigma^{2}\)的一致估計量答案：ABCD9.設隨機變量\(X\)和\(Y\)的相關系數為\(\rho_{XY}\)，則（）A.\(|\rho_{XY}|\leq1\)B.若\(\rho_{XY}=1\)，則存在常數\(a\)，\(b\)，使得\(P(Y=aX+b)=1\)C.若\(\rho_{XY}=0\)，則\(X\)和\(Y\)相互獨立D.若\(X\)和\(Y\)相互獨立，則\(\rho_{XY}=0\)答案：ABD10.設隨機變量\(X\)的概率分布為\(P(X=k)=p(1-p)^{k-1}\)，\(k=1,2,\cdots\)，其中\(zhòng)(0<p<1\)，則（）A.\(E(X)=\frac{1}{p}\)B.\(D(X)=\frac{1-p}{p^{2}}\)C.\(X\)服從幾何分布D.\(P(X\geqm)=(1-p)^{m-1}\)答案：ABCD三、判斷題1.設\(A\)，\(B\)為兩個隨機事件，若\(A\subseteqB\)，則\(P(A)\leqP(B)\)。（）答案：對2.設隨機變量\(X\)的概率密度函數\(f(x)\)是偶函數，則\(X\)與\(-X\)具有相同的分布。（）答案：對3.設隨機變量\(X\)和\(Y\)相互獨立，且\(X\)服從\(0-1\)分布，\(Y\)服從\(0-1\)分布，則\(X+Y\)也服從\(0-1\)分布。（）答案：錯4.總體\(X\)的樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無偏估計量，但不是總體均值\(\mu\)的最大似然估計量。（）答案：錯5.設隨機變量\(X\)的期望\(E(X)\)存在，則\(E(aX+b)=aE(X)+b\)，其中\(zhòng)(a\)，\(b\)為常數。（）答案：對6.若隨機變量\(X\)的方差\(D(X)=0\)，則\(X\)以概率1取常數\(E(X)\)。（）答案：對7.設\(A\)，\(B\)為兩個互斥事件，則\(P(A\capB)=P(A)P(B)\)。（）答案：錯8.設隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，則\(P(X\leq\mu)=\frac{1}{2}\)。（）答案：對9.樣本方差\(S^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}\)是總體方差\(\sigma^{2}\)的無偏估計量。（）答案：錯10.設隨機變量\(X\)和\(Y\)的相關系數\(\rho_{XY}=0\)，則\(X\)和\(Y\)一定相互獨立。（）答案：錯四、簡答題1.簡述概率的公理化定義。答案：設\(E\)是隨機試驗，\(S\)是它的樣本空間。對于\(E\)的每一事件\(A\)賦予一個實數，記為\(P(A)\)，稱為事件\(A\)的概率，如果集合函數\(P(\cdot)\)滿足下列條件：非負性，對于每一個事件\(A\)，有\(zhòng)(P(A)\geq0\)；規(guī)范性，\(P(S)=1\)；可列可加性，設\(A_1,A_2,\cdots\)是兩兩互不相容的事件，則\(P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)。2.簡述隨機變量期望和方差的定義及性質。答案：期望定義：離散型隨機變量\(