期均勻帶電球殼、球體、圓環(huán)的電場(chǎng)強(qiáng)度MST鐘星概念過(guò)關(guān)1均勻帶電球殼的電場(chǎng)強(qiáng)度設(shè)有一半徑為R、帶電量為Q的均勻帶電球殼(如圖1所示),由于電荷分布的對(duì)稱性,在球殼內(nèi)任取一點(diǎn)P,以P為頂點(diǎn)沿任意方向取一對(duì)頂角非常小的對(duì)頂錐面,在球面上割出一對(duì)小面元△S1和△S2,將其投射到錐面的軸線垂直的方向上,得到另一對(duì)小面元ΔS1?和ΔS2?。垂直面元ΔS1?圖1均勻帶電球殼內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度E處處為零因?yàn)檎麄€(gè)球面可以被上述在P點(diǎn)對(duì)頂?shù)男″F面成雙地切割成作用相互抵消的小面元,所以整個(gè)球面在P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零。在論證中對(duì)P點(diǎn)的選擇沒(méi)做任何限制,P點(diǎn)可以是球內(nèi)的任意一點(diǎn)。均勻帶電球殼外任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度等于球殼上全部電荷集中在球心,作為一個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度,公式表示為:E2均勻帶電球體的電場(chǎng)強(qiáng)度設(shè)有一半徑為R的球體均勻帶電,總帶電量為Q,此時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的分布,只需把這個(gè)均勻帶電球體激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度看成是無(wú)限多個(gè)無(wú)限薄的均勻帶電球殼激發(fā)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度疊加而成。由此可知,r≥R時(shí),球體外任一點(diǎn)的電場(chǎng)等同于全部電荷集中在球心,作為一個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。在球體內(nèi)部,r<E由E=kQE小結(jié):均勻帶電球殼內(nèi)部是等勢(shì)體且電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零,球殼外則是看成點(diǎn)電荷模型來(lái)處理;均勻帶電球體略有不同,在球體外仍可看成是圓心的點(diǎn)電荷模型,在球體內(nèi)部,E與到圓心距離r成正比,需要遵循公式(2)。均勻帶電球殼與球體的E與r趨勢(shì)如圖2所示。圖2均勻帶電球殼(左)、球體(右)的E與r趨勢(shì)3均勻帶電圓環(huán)的電場(chǎng)強(qiáng)度均勻帶電圓環(huán),半徑為R,所帶電量為q(如圖3所示),求圓環(huán)軸線(過(guò)圓心垂直于圓環(huán)平面的直線)上某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。在圓環(huán)上任取很小一段,其所帶電量計(jì)為Δqi,將其看作點(diǎn)電荷,則Δqi在圓環(huán)軸線上某點(diǎn)P產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為ΔEi=keΔqir2,式中r為Δqi到點(diǎn)P的距離。ΔEi的方向如圖3所示,把ΔEi分解為沿軸線x方向的分量ΔEi圖3均勻帶電圓環(huán)的電場(chǎng)強(qiáng)度當(dāng)x=0時(shí),當(dāng)x>>R時(shí),令dE強(qiáng),dd解得x=±小結(jié):均勻帶電圓盤(pán)可看成是無(wú)限多個(gè)無(wú)限薄的均勻帶電圓環(huán)激發(fā)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度疊加而成。電場(chǎng)強(qiáng)度是矢量,對(duì)于非點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)強(qiáng)度是矢量的疊加,通常要用到對(duì)稱性、等效性以及微元法。4非對(duì)稱均勻帶電體電場(chǎng)強(qiáng)度探究如圖4所示,電荷Q均勻分布在半徑為R的球面上,在球殼上任取一小圓片B,點(diǎn)O′是小圓圓心,小圓半徑r遠(yuǎn)小于大球半徑R。圖中M、N、0三點(diǎn)在一條半徑上,非?？拷鼒A片內(nèi)外的兩點(diǎn)M、N的場(chǎng)強(qiáng)都可以看作是圓片B圖4非對(duì)稱均勻帶電球面電場(chǎng)強(qiáng)度相比前面的球殼問(wèn)題,本題出現(xiàn)了球殼上任取的小圓片B,把均勻帶電的球殼分為了A和B,整體上失去平衡性。本題引入了場(chǎng)強(qiáng)疊加與極限思想的應(yīng)用,根據(jù)題意,M、O′、N點(diǎn)的距離非常近,所以在M、O′、N點(diǎn)的EA都相等,圓片B上的電荷在O′點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為零,所以O(shè)′點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)等于EA,從而求解球殼表面的場(chǎng)強(qiáng)。E根據(jù)題意,M點(diǎn)在球殼內(nèi),N點(diǎn)在球殼外,則有E可知,O′點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)等于EA,EA樣板試題如圖5所示,電荷量為Q的均勻帶電球殼外的場(chǎng)強(qiáng)公式E=kQr2?，F(xiàn)已知電荷q均勻分布在23球面AB上,球面半徑為R,M位于球面外側(cè),且OM=圖5非對(duì)稱均勻帶電球面電場(chǎng)強(qiáng)度解析：采用補(bǔ)缺法,將球面AB部分補(bǔ)上,變成一個(gè)完整的均勻球殼,該球殼的電荷量為Q=32q,則該球殼在M點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為EM=k32q2例2．如圖6所示，半徑為的均勻帶電金屬球殼，所帶電荷量為。在球殼上取一小面積，球殼上其余部分電荷對(duì)所帶電荷的作用力為（）圖6A． B． C． D．【答案】A【詳解】在緊挨著面取兩點(diǎn)和，在內(nèi)部，在外部。設(shè)所帶電荷分別在、兩點(diǎn)形成的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為，其余部分在、兩點(diǎn)形成的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為，所以點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為解得所以其余部分對(duì)所帶電荷的電場(chǎng)力故選A。 例3．如圖8所示，半徑為2r的均勻帶電球體電荷量為Q，過(guò)球心O的x軸上有一點(diǎn)P，已知P到O點(diǎn)的距離為3r，現(xiàn)若挖去圖中半徑均為r的兩個(gè)小球，且剩余部分的電荷分布不變，靜電力常量為k，則下列分析中不正確的是（）圖8A．挖去兩小球前，兩個(gè)小球在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度相同B．挖去兩小球前，整個(gè)大球在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為C．挖去兩小球后，P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度方向與挖去前相同D．挖去兩小球后，剩余部分在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為【答案】A【詳解】解：A．兩小球分別在x軸上下兩側(cè)，電性相同，它們?cè)赑點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別斜向上和斜向下，與x軸夾角相等，方向不同，A錯(cuò)誤；B．大球所帶電荷均勻分布整個(gè)球體，它在外部產(chǎn)生的電場(chǎng)可等效為所有電荷集中在球心O點(diǎn)在外部產(chǎn)生的電場(chǎng)，由庫(kù)侖定律B正確；C．大球在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)沿x軸方向，兩小球在P點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)也沿x軸方向，且小于大球在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可知，挖去兩小球后，P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向不變，C正確；D．設(shè)兩小球的球心到P點(diǎn)的距離為l，有幾何關(guān)系球體積公式為小球半徑是大球半徑的一半，故小球體積是大球體積的八分之一，故小球所帶電荷量為兩小球在P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)均為合場(chǎng)強(qiáng)為剩余部分在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為D正確。題目要求選不正確，故選A。例4．均勻帶電的球殼在球外空間產(chǎn)生的電場(chǎng)等效于電荷集中于球心處的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。如圖9所示，在絕緣球球面上均勻分布正電荷，總電荷量為q；在剩余球面AB上均勻分布負(fù)電荷，總電荷量是。球半徑為R，球心為O，CD為球面的對(duì)稱軸，在軸線上有M、N兩點(diǎn)，且，。已知球面在M點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E，靜電力常量為k，則N點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為（）圖9A．E B．2E C． D．【答案】C【詳解】將AB部分補(bǔ)上，使球殼變成一個(gè)均勻帶正電的完整的球殼，完整球殼帶電荷量為為保證電荷量不變，球面AB帶負(fù)電荷量為q，則該球殼帶正電的部分在M點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為根據(jù)對(duì)稱性可知：①帶正電的部分完整球殼在N點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大?、谇蛎鍭B帶負(fù)電荷量為q，在N點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為2E，兩者方向相反；則N點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為故選C。例5．已知均勻帶電薄殼外部空間電場(chǎng)與其上電荷全部集中在球心時(shí)產(chǎn)生的電場(chǎng)一樣，內(nèi)部空間的電場(chǎng)處處為0．如圖10所示為一帶電量為，半徑為r的均勻帶電球殼，以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立軸，其中A點(diǎn)為殼內(nèi)一點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為，靜電力常量為k，下列說(shuō)法正確的是（

）圖10A．將的試探電荷由殼內(nèi)A點(diǎn)移到O點(diǎn)，試探電荷的電勢(shì)能減小B．在圓心O處放一個(gè)電量為的點(diǎn)電荷，球殼外表面帶電量仍為C．在處取走極小的一塊面積，O點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為D．在圓心O正上方處取走極小一塊面積，B點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為【答案】C【詳解】A．殼內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)處處為0，故移動(dòng)試探電荷不做功，A錯(cuò)誤；B．在圓心O處放一個(gè)電量為的點(diǎn)電荷，由于靜電感應(yīng)，球殼內(nèi)表面感應(yīng)出的電荷，則球殼外表面的電荷量為，B錯(cuò)誤；C．在處取走極小一塊面積，根據(jù)對(duì)稱性，在處極小一塊面積的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)C正確；D．整個(gè)球殼在B點(diǎn)的電場(chǎng)水平向右，在圓心O正上方處取走極小一塊面積在B點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為方向斜向右下，與矢量作差即為B點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度，D錯(cuò)誤。故選C。例6．如圖11所示，半徑為R均勻帶電圓形平板，單位面積帶電量為σ，其軸線上任意一點(diǎn)P（坐標(biāo)為x）的電場(chǎng)強(qiáng)度可以由庫(kù)侖定律和電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理求出：，方向沿x軸?，F(xiàn)考慮單位面積帶電量為σ的無(wú)限大均勻帶電平板，從其中間挖去一半徑為r的圓板，如圖所示。則圓孔軸線上任意一點(diǎn)Q（坐標(biāo)為x）的電場(chǎng)強(qiáng)度為（）圖11A． B．C． D．【答案】B【詳解】將挖去的圓板補(bǔ)上，復(fù)原無(wú)限大均勻帶電平板，設(shè)無(wú)限大均勻帶電平板在Q點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為E，補(bǔ)回來(lái)的半徑為r的圓板在Q點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為E1，待求的場(chǎng)強(qiáng)為E2，由電場(chǎng)疊加原理得由得，當(dāng)R無(wú)限大時(shí)解得故選B。例7．如圖12所示的空間坐標(biāo)系中，一點(diǎn)電荷固定在點(diǎn)，該點(diǎn)電荷只在的空間產(chǎn)生電場(chǎng)；在的空間存在沿z軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E；在處放置一垂直于y軸、足夠大的熒光屏。點(diǎn)的放射源沿x軸正方向射出電荷量為＋q、質(zhì)量分別為m和0.5m的兩個(gè)粒子，粒子初動(dòng)能均為，質(zhì)量為m的粒子在的空間做半徑為2a的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入的空間后，打到熒光屏上，已知靜電力常量為k，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用。求：圖12(1)M處點(diǎn)電荷所帶的電荷量；(2)質(zhì)量為m的粒子打到熒光屏上的位置坐標(biāo)；(3)若粒子打到熒光屏上會(huì)形成亮點(diǎn)，判斷熒光屏上有幾個(gè)亮點(diǎn)，如果是一個(gè)，寫(xiě)出判斷依據(jù)；如果是兩個(gè)，求出兩個(gè)亮點(diǎn)間的距離。【答案】(1)(2)(3)見(jiàn)解析【詳解】（1）質(zhì)量為m的粒子勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有且有解得（2）設(shè)粒子經(jīng)過(guò)y軸時(shí)，速度的偏轉(zhuǎn)角為，經(jīng)過(guò)y軸的點(diǎn)的坐標(biāo)為。則有可得根據(jù)幾何關(guān)系解得經(jīng)過(guò)yOz平面后，粒子在x、y軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在z軸正方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)打到熒光屏上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有根據(jù)牛頓第二定律故打到熒光屏上點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）質(zhì)量為0.5m的粒子在x<0的區(qū)域，其庫(kù)侖力恰好提供向心力，也做半徑為2a的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從y軸上同一點(diǎn)進(jìn)入x>0的區(qū)域，根據(jù)第2問(wèn)的計(jì)算可知，在此區(qū)域的偏轉(zhuǎn)距離相同，故而質(zhì)量為0.5m的粒子與質(zhì)量為m的粒子打到同一個(gè)點(diǎn)。例8．一個(gè)帶電金屬球達(dá)到靜電平衡時(shí)，球內(nèi)部沒(méi)有凈剩電荷，電荷均勻分布在外表面，球內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為0，球的外部電場(chǎng)與一個(gè)位于球心、電荷量相等的點(diǎn)電荷在同一點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)相同，已知靜電力常量為。（1）根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的定義式和庫(kù)侖定律，推導(dǎo)一個(gè)電荷量為的點(diǎn)電荷，在與之相距處的電場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式；（2）若將金屬球內(nèi)部挖空，使其成為一個(gè)均勻球殼，如圖12所示。金屬球殼的電荷量為，、是到球心的距離分別為和的兩點(diǎn)，求點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)；（3）萬(wàn)有引力定律與庫(kù)侖定律有相似的形式，因此質(zhì)點(diǎn)的引力場(chǎng)與點(diǎn)電荷的電場(chǎng)也有很多相似的規(guī)律。已知引力常量為G。假設(shè)沿地軸的方向通一條貫穿地球兩極的隧道，隧道極窄，地球仍可看作一個(gè)半徑為、質(zhì)量分布均勻的球體。如圖13所示，以地心為原點(diǎn)，向北為正方向建立軸，請(qǐng)?jiān)趫D14中作圖描述道中地球引力場(chǎng)強(qiáng)度隨變化的規(guī)律，并說(shuō)明作圖依據(jù)。圖12圖13圖14【答案】（1）；（2），；（3）見(jiàn)解析【詳解】（1）電荷量為Q的點(diǎn)電荷，在與之相距r處放一試探電荷q，根據(jù)庫(kù)侖定律，該試探電荷受到的電場(chǎng)力為由電場(chǎng)強(qiáng)度得電荷量為Q的點(diǎn)電荷，在與之相距r處電場(chǎng)強(qiáng)度（2）一個(gè)帶電金屬球達(dá)到靜