專題40重要的幾何模型之12345模型初中幾何，直角三角形具有舉足輕重的地位，貫徹初中數(shù)學(xué)的始終，無論是一次函數(shù)、平行四邊形、特殊平行四邊形、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、相似、圓，都離不開直角三角形。今天我們要重點(diǎn)介紹的“12345”模型就是中考（選填題）解題神器，需要我們反復(fù)斷鉆研、領(lǐng)悟?，F(xiàn)在帶領(lǐng)大家領(lǐng)略一下，“12345”模型的獨(dú)特魅力?！灸Ｐ徒庾x】模型1、12345模型及其衍生模型【模型來源】2024年北京市中考如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝（）°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格交點(diǎn)）．該類問題解法很多，這里我們就根據(jù)現(xiàn)有的方格紙來構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形。如圖，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。上面的∠PAB和∠PBA便是今天要說的特殊角，除了它們的和為45°之外，用三角函數(shù)的觀點(diǎn)來看：tan∠PAB=，tan∠PBA=，對于這里的數(shù)據(jù)，為了便于記憶，總結(jié)為“12345”模型?！境Ｒ娔Ｐ汀肯旅婺Ｐ椭?，，2，3，，均為對應(yīng)角的正切值。 ∠α+∠β＝45°；∠α+45°＝∠GAF；∠DAF+45°＝∠EAH；∠α+∠β＝135°；∠α+∠β＝90°；∠ADB+∠DBA＝∠BAC；∠ADB+∠DBA＝∠BAC；切記：做題不光要知道題目告訴我什么，還要根據(jù)已知的信息，思考這里需要什么，而“12345”模型用來解決相關(guān)的選填題非常方便。下面所列舉的個(gè)別題，利用“12345”解題也許未必是最簡，最巧妙的，但至少可以成為一種通性通法，可以在短時(shí)間內(nèi)快速破題。畢竟在考試的時(shí)候時(shí)間非常寶貴的。例1．（2025·四川樂山·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若，，則CD的長為（

）A． B．3 C． D．2例2.（2025.成都市中考模擬）如圖，正方形，，點(diǎn)E為上一動點(diǎn)，將三角形沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接并延長，與邊交于點(diǎn)G，若點(diǎn)G為中點(diǎn)，則．例3.（2025.湖北黃岡.中考真題）如圖，矩形中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于長為半徑畫弧交于點(diǎn)P，作射線，過點(diǎn)C作的垂線分別交于點(diǎn)M，N，則的長為（

）

A． B． C． D．4例4.（2025.四川廣元中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)在點(diǎn)右方，連接，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

例5.（2025.四川瀘州中考真題）如圖，在邊長為3的正方形中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，過點(diǎn)作的垂線交正方形外角的平分線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，連接交邊于點(diǎn)，則的長為（

）A． B． C． D．1例6.（2025.內(nèi)蒙古.中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．連接，交于點(diǎn)D，則的值為．

例7.（2025.呼和浩特中考真題）如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接分別交，于點(diǎn)，，且，連接，則，．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1.（2025·深圳市高級中學(xué)聯(lián)考）如圖，正方形中，是中點(diǎn)，連接，，作交于，交于，交于，延長交延長線于，則的值為（

）

A． B． C． D．2.（2024湖北中考真題）如圖，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中點(diǎn)，將△ABG沿AG對折至△AFG，延長GF交DC于點(diǎn)E，則DE長是()A．1

B．1.5

C．2

D．2.53.（2024宜賓中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，將矩形紙片沿CE，CF折疊，點(diǎn)B落在H處，點(diǎn)D落在G處，點(diǎn)C，H，G恰好在同一直線上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，則DF的長是（）．A．2B．C．D．3CCDBAEFGH4.（2025.湖北九年級期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是AB邊延長線上一點(diǎn)，BE＝2，F(xiàn)是AB邊上一點(diǎn)，將△CEF沿CF翻折，使點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)G落在AD邊上，連接EG交折痕CF于點(diǎn)H，則FH的長是（

）A． B． C．1 D．5.（2025.浙江中考模擬）如圖，A，B，C，D是邊長為1的小正方形組成的6×5網(wǎng)格中的格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，連接．給出4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④6.（2025.山東九年級期中）如圖，將已知矩形紙片ABCD的邊BC斜著向AD邊對折，使點(diǎn)B落在AD上，記為點(diǎn)B'，折痕為CE，再將CD邊斜向下對折，使點(diǎn)D落在B'C上，記為點(diǎn)D'，折痕為CF，若B'D'＝2，BE＝，則矩形紙片ABCD的面積為_________．AADBCEFD′B′7.（2025.貴州中考真題）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點(diǎn)落在點(diǎn)處，分別延長、交于點(diǎn)、，若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則cm．8.（2025.成都市九年級期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∠EAF＝45°，連接AE與BF交于點(diǎn)G，連接AF與DG交于點(diǎn)H，則的值為_________．AADBCEFGH9.（2025.北部灣中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB＝，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)E作EF⊥BE，分別交CD，BD于點(diǎn)F，G，連接BF交AC于點(diǎn)H，將△EFH沿EF翻折，點(diǎn)H的對應(yīng)點(diǎn)H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，則△EGH′的周長是_________．AADEH′FGHOBC10.（2025.成都市九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，則AF的長為.11.（2024鹽城中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x-1的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點(diǎn)C，則直線BC的函數(shù)表達(dá)式是_______________．12.（2017無錫中考真題）在如圖的正方形方格紙上，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于__________．13.（2025甘肅天水中考模擬）如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連接OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’位置，OB=，tan∠BOC=，則點(diǎn)A’的坐標(biāo)為____________．14.（2025.廣東九年級期中）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，分別延長ME，DE交AB于點(diǎn)F，G，若點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，則FG＝_________cm．DDCABFMEG15.（2017浙江麗水中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+m分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（2，0），點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連接PA、PC，若∠CPA=∠ABO，則m的值是__________．16.（2025·龍華區(qū)九年級上期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線AE折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，AF交對角線BD于點(diǎn)G，則FG的長是________．17.（2025·山東·中考模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，BE＝2，則DF的長為_________．AADBCEF18.（2025.廣東九年級期中）如圖，已知點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則．

19．（21·22·深圳·模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)A在反比例函數(shù)y的圖象上．作射線AB，再將射線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交y軸于C點(diǎn)，則△ABC面積為．20．（2025上·紹興·期中）如圖，已知點(diǎn)A（3，3），點(diǎn)B（0，），點(diǎn)A在二次函數(shù)y＝x2+x﹣9的圖象上，作射線AB，再將射線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．21．（21·22下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的解析式為分別交軸，軸于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)．（1）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，；（2）設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，，若，則的值是．22．（22·23下·泰安·一模）如圖，把一個(gè)矩形紙片放入平面直角坐標(biāo)系中，使分別落在x軸，y軸上，連接，將紙片沿翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)位置，若，，直線與y軸交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為．23．（22·23上·齊齊哈爾·期末）如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，則的值為．

專題40重要的幾何模型之12345模型初中幾何，直角三角形具有舉足輕重的地位，貫徹初中數(shù)學(xué)的始終，無論是一次函數(shù)、平行四邊形、特殊平行四邊形、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、相似、圓，都離不開直角三角形。今天我們要重點(diǎn)介紹的“12345”模型就是中考（選填題）解題神器，需要我們反復(fù)斷鉆研、領(lǐng)悟。現(xiàn)在帶領(lǐng)大家領(lǐng)略一下，“12345”模型的獨(dú)特魅力?！灸Ｐ徒庾x】模型1、12345模型及其衍生模型【模型來源】2024年北京市中考如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝（）°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格交點(diǎn)）．該類問題解法很多，這里我們就根據(jù)現(xiàn)有的方格紙來構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形。如圖，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。上面的∠PAB和∠PBA便是今天要說的特殊角，除了它們的和為45°之外，用三角函數(shù)的觀點(diǎn)來看：tan∠PAB=，tan∠PBA=，對于這里的數(shù)據(jù)，為了便于記憶，總結(jié)為“12345”模型?！境Ｒ娔Ｐ汀肯旅婺Ｐ椭?，，2，3，，均為對應(yīng)角的正切值。 ∠α+∠β＝45°；∠α+45°＝∠GAF；∠DAF+45°＝∠EAH；∠α+∠β＝135°；∠α+∠β＝90°；∠ADB+∠DBA＝∠BAC；∠ADB+∠DBA＝∠BAC；切記：做題不光要知道題目告訴我什么，還要根據(jù)已知的信息，思考這里需要什么，而“12345”模型用來解決相關(guān)的選填題非常方便。下面所列舉的個(gè)別題，利用“12345”解題也許未必是最簡，最巧妙的，但至少可以成為一種通性通法，可以在短時(shí)間內(nèi)快速破題。畢竟在考試的時(shí)候時(shí)間非常寶貴的。例1．（2025·四川樂山·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若，，則CD的長為（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【分析】法1：先根據(jù)，，再由12345模型知：∠BDC＝45°，從而可求出CD．法2：先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出，再由勾股定理求出過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，依據(jù)三角函數(shù)值可得從而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，從而可求出CD．【詳解】解法1：∵，，∴根據(jù)12345模型知：∠BDC＝45°，∵，∴三角形BCD為等腰直角三角形，∵，∴CD=解法2（常規(guī)解法）：在中，，，∴∴由勾股定理得,過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，如圖，∵，，∴∴∴∴∵∴∴∴,在中,∴∵∴故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長，正確作輔助線求出DE的長是解答本題的關(guān)鍵．例2.（2025.成都市中考模擬）如圖，正方形，，點(diǎn)E為上一動點(diǎn)，將三角形沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接并延長，與邊交于點(diǎn)G，若點(diǎn)G為中點(diǎn)，則．【答案】【詳解】解法1：延長EF至H,易證△BFH≌△BCH(HL),則∠EBH=45°，又因?yàn)镠F=HC=HD，所以∠CFD=90°，則∠CBH=∠FBH=∠FCD=∠ADG，因?yàn)椋鶕?jù)“12345”模型，易知故解法2（常規(guī)解法）：如圖，過點(diǎn)作的平行線，分別交于點(diǎn)，四邊形是正方形，，，，四邊形是矩形，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，，，，即，設(shè)，則，，由折疊的性質(zhì)得：，，又，，，在和中，，，，即，解得，，，又，，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，不是所列方程的解，例3.（2025.湖北黃岡.中考真題）如圖，矩形中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于長為半徑畫弧交于點(diǎn)P，作射線，過點(diǎn)C作的垂線分別交于點(diǎn)M，N，則的長為（

）

A． B． C． D．4【答案】A【詳解】解法1：因?yàn)?，所以，如圖，根據(jù)“12345”模型，易知，故。

解法2（常規(guī)解法）：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)R，作于點(diǎn)Q，矩形中，，，．由作圖過程可知，平分，四邊形是矩形，，又，，在和中，，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，解得，．．，．，，，，即，解得．例4.（2025.四川廣元中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)在點(diǎn)右方，連接，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【詳解】解法1：因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)，所以因?yàn)?，根?jù)“12345”模型，易知,故.解法2（常規(guī)解法）：∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，，∵，∴，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，是的角平分線，∴∵∴設(shè)，則，，∴解得：或（舍去），∴例5.（2025.四川瀘州中考真題）如圖，在邊長為3的正方形中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，過點(diǎn)作的垂線交正方形外角的平分線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，連接交邊于點(diǎn)，則的長為（

）A． B． C． D．1【答案】B【詳解】解法1：因?yàn)锳B=AD=3,，所以AE=1,BE=2,所以根據(jù)“12345”模型，易知，，因?yàn)椤螪EF=90°，所以，所以，故，故CDCDABENMHGF解法2（常規(guī)解法）：在AD上截取AH＝AE，連接HE．則∠AHE＝∠AEH＝45°，∴∠DHE＝135°．由題意，AD＝AB，∠EBF＝135°，∴DH＝BE，∠DHE＝∠EBF．∵∠A＝∠DEF＝90°，∴∠HDE＝∠BEF＝90°－∠DEA，∴△HDE≌△BEF，∴DE＝EF，∴∠EDF＝45°．∵BE＝2AE，AD＝AB＝3AE，∴tan∠ADE＝，∴tan∠CDN＝，BN＝CN＝BC＝．∵∠A＝∠DEM＝∠EBM＝90°，∴△ADE≌△BEM，∴BM＝BE＝，∴MN＝BN－BM＝．例6.（2025.內(nèi)蒙古.中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．連接，交于點(diǎn)D，則的值為．

【答案】5【詳解】解法1：因?yàn)?，根?jù)“12345”模型，易知，故。解法2（常規(guī)解法）：解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，∵，，，∴，∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，即，∵，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，，∴，故答案為：5．例7.（2025.呼和浩特中考真題）如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接分別交，于點(diǎn)，，且，連接，則，．【答案】2【詳解】解法1：易知，，接下來對△AME分析，如圖易知，過M作AE的垂線段，設(shè)EM=5x，則，，則解法2（常規(guī)解法）：如圖，證明，得到，勾股定理求出的長，等積法求出的長，證明，相似比求出的長，證明，求出的長，證明，求出的長，再利用勾股定理求出的長．【常規(guī)法】解：∵正方形的邊長為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；∵，∴，，∴，∴，∴，故點(diǎn)作，則：，∴，∴，∴，∴，∴課后專項(xiàng)訓(xùn)練1.（2025·深圳市高級中學(xué)聯(lián)考）如圖，正方形中，是中點(diǎn)，連接，，作交于，交于，交于，延長交延長線于，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【簡證】【常規(guī)法詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∵是中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴；故選：C.2.（2024湖北中考真題）如圖，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中點(diǎn)，將△ABG沿AG對折至△AFG，延長GF交DC于點(diǎn)E，則DE長是()A．1

B．1.5

C．2

D．2.5【答案】C【解析】根據(jù)BG是AB的一半，可得tan∠BAG=，連接AE，易證△AEF≌△AED，∴∠GAE＝45°，∴∠α+∠β＝45°，根據(jù)12345模型知：tan∠DAE=，∴DE=2，故此題選C3.（2024宜賓中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，將矩形紙片沿CE，CF折疊，點(diǎn)B落在H處，點(diǎn)D落在G處，點(diǎn)C，H，G恰好在同一直線上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，則DF的長是（）．A．2B．C．D．3CCDBAEFGH【答案】A【解析】由題意，∠BCE＝∠HCE，∠DCF＝∠GCF．∵∠BCD＝90°，∴∠BCE＋∠DCF＝45°．∵tan∠BCE＝＝＝，∴tan∠DCF＝，∴＝，∴DF＝CD＝24.（2025.湖北九年級期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是AB邊延長線上一點(diǎn)，BE＝2，F(xiàn)是AB邊上一點(diǎn)，將△CEF沿CF翻折，使點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)G落在AD邊上，連接EG交折痕CF于點(diǎn)H，則FH的長是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【簡證】易知，故，【常規(guī)法詳解】解：∵四邊形是邊長為的正方形，∴，，∴，由翻折得，，垂直平分，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，且，∴，解得，∵，∴，解得5.（2025.浙江中考模擬）如圖，A，B，C，D是邊長為1的小正方形組成的6×5網(wǎng)格中的格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，連接．給出4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【簡證】易知，，，故③錯(cuò)誤，選B【詳解】解：連接，，為格點(diǎn)，如圖，由題意得：，，，．在和中，，，，，，，為等腰直角三角形，．，，，，，，，，．①的結(jié)論正確；，，．，，．②的結(jié)論正確；，，，在中， ，，③的結(jié)論不正確；，，，，，④的結(jié)論正確．綜上，正確的結(jié)論有：①②④．6.（2025.山東九年級期中）如圖，將已知矩形紙片ABCD的邊BC斜著向AD邊對折，使點(diǎn)B落在AD上，記為點(diǎn)B'，折痕為CE，再將CD邊斜向下對折，使點(diǎn)D落在B'C上，記為點(diǎn)D'，折痕為CF，若B'D'＝2，BE＝，則矩形紙片ABCD的面積為_________．AADBCEFD′B′【答案】15【解析】由題意，BC＝B'C，CD＝C'D，∠BCE＝∠B'CE，∠DCF＝∠D'CF．∵∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠B'CE＋∠D'CF＝45°．∵BE＝，∴tan∠BCE＝，∴tan∠D'CF＝，tan∠B'CB＝．∵AD∥BC，∴∠FB'D'＝∠B'CB，∴tan∠FB'D'＝，∴DF＝D'F＝BD’＝，∴CD＝CD'＝2D'F＝3，∴BC＝B'C＝B'D'＋CD'＝2＋3＝5，∴S矩形ABCD＝BC·CD＝5×3＝15．7.（2025.貴州中考真題）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點(diǎn)落在點(diǎn)處，分別延長、交于點(diǎn)、，若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則cm．【答案】【簡證】連接易知△ADF≌△EDF（HL），記，，則故,【常規(guī)法】解：連接如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴由折疊得，∠∴∠，設(shè)則有∴又在中，，∵∴∴在中，∴解得，（舍去）∴∴∴∵∠∴∠∴∠又∠∴△∴即∴8.（2025.成都市九年級期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∠EAF＝45°，連接AE與BF交于點(diǎn)G，連接AF與DG交于點(diǎn)H，則的值為_________．AADBCEFGH【答案】【解析】過點(diǎn)G作GM⊥AF于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥AF于點(diǎn)N．AADBCEFMGHN∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴tan∠DAF＝∠tan∠CBF＝．∵∠AFB＝180°－∠AFD－∠BFC＝2(90°－∠AFD)＝2∠DAF，∴＝tan∠AFB＝tan2∠DAF＝．設(shè)AM＝GM＝4a，則FM＝3a，AF＝7a，AN＝2DN＝4FN，F(xiàn)N＝AF＝，DN＝2FN＝，∴＝＝＝．9.（2025.北部灣中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB＝，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)E作EF⊥BE，分別交CD，BD于點(diǎn)F，G，連接BF交AC于點(diǎn)H，將△EFH沿EF翻折，點(diǎn)H的對應(yīng)點(diǎn)H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，則△EGH′的周長是_________．AADEH′FGHOBC【答案】5＋【解析】過點(diǎn)E作EP⊥AC，交CB的延長線于點(diǎn)P．AADEH′FGHOBPC∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ECB＝∠ECF＝45°．∴∠P＝45°，∴∠P＝∠ECF，∴EP＝EC．∵∠BEF＝90°，∴∠PEB＝∠CEF，∴△EPB≌△ECF，∴EB＝EF，∴∠EBH＝∠EFH＝45°．∵∠OBC＝45°，∴∠EBO＝∠FBC．∵點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，∴tan∠EBO＝tan∠FBC＝．∵AB＝，∴OB＝4，∴OE＝2．∵∠H′EF＝∠HEF＝90°－∠BEO＝∠EBO，∴tan∠HEF＝tan∠EBO＝，∴tan∠H′EO＝，∴OG＝OE＝1，OH′＝OE＝，EH′＝OE＝，∴EG＝，GH′＝－1＝，∴△EGH′的周長＝EH'＋EG＋GH'＝＋＋＝5＋10.（2025.成都市九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，則AF的長為.【答案】【解析】根據(jù)AB=2，AE=，∠B=90°得到：BE=2，可得tan∠BAE=，∵∠FAE＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，根據(jù)12345模型知：tan∠DAF=，∴DF=，再根據(jù)勾股定理求得：AF=，故答案為：11.（2024鹽城中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x-1的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點(diǎn)C，則直線BC的函數(shù)表達(dá)式是_______________．【答案】【解析】∵一次函數(shù)y=2x-1的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B。∴A（，0）B（0，-1），AO=，BO=1，可得tanα=，∵∠α+∠β+∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，根據(jù)12345模型知：tanβ=，∴OC=3，C（3，0）∵B（0，-1），C（3，0），∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：，故答案為：。12.（2017無錫中考真題）在如圖的正方形方格紙上，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于__________．【答案】3【解析】如圖所示，取點(diǎn)E，設(shè)∠OAE=α，易知∠OEA=45°，tanα=∵根據(jù)外角定理：∠BOD=α+45°，根據(jù)12345模型知：tan∠BOD=3，故答案為：3。13.（2025甘肅天水中考模擬）如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連接OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’位置，OB=，tan∠BOC=，則點(diǎn)A’的坐標(biāo)為____________．【答案】（-，）【解析】設(shè)∠OAB=α，過點(diǎn)A’作A’H⊥AB.∵OB=，tan∠BOC=，∴OA=1，AB=2.根據(jù)翻折知：∠ABO=∠BOC，∴tan∠ABO=tan∠BOC=，A’B=AB=2.根據(jù)12345模型知：tan∠ABA’=，即BH：A’H：A’B=3:4:5，故A’H=，BH=，A坐標(biāo)（-，）．

14.（2025.廣東九年級期中）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，分別延長ME，DE交AB于點(diǎn)F，G，若點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，則FG＝_________cm．DDCABFMEG【答案】【解析】連接DF．由題意，DE＝DC＝DA，∠DEF＝∠A＝90°．∵DF＝DF，∴△DEF≌△DAF，∴∠EDF＝∠ADF．∵∠CDM＝∠EDM，∠ADC＝90°，∴∠FDM＝45°．∵tan∠CDM＝＝，∴tan∠ADF＝＝，tan∠DGA＝tan∠CDG＝．∵AD＝AB＝4cm，∴EF＝AF＝cm，∴FG＝＝cm．15.（2017浙江麗水中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+m分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（2，0），點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連接PA、PC，若∠CPA=∠ABO，則m的值是__________．【答案】2【解析】∵一次函數(shù)y=2x-1的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B。∴A（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，設(shè)∠PAO=α，∠OPC=β，∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，∵點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，∴P（0，），PO=，可得tanα=，根據(jù)12345模型知：tanβ=，∴3OC=OP，∵C（2,0）∴OP=6，∴OA=12，m=12．16.（2025·龍華區(qū)九年級上期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線AE折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，AF交對角線BD于點(diǎn)G，則FG的長是________．【答案】【解析】∵E為BC的中點(diǎn)，AB=6，∴BE=3，可得tan∠BAE=，由翻折知：tan∠FAE=，根據(jù)12345模型知：tan∠GAD=，過點(diǎn)G作GH⊥AD，∵ABCD是正方形，∴DH=GH設(shè)AH=4x，則GH=DH=3x，AG=5x，AD=7x，故AB=AF=7x，GF=2x?！逜B=6，∴7x=6，x=，GH=，故答案為：。17.（2025·山東·中考模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，BE＝2，則DF的長為_________．AADBCEF【答案】2【解析】∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°．∵tan∠BAE＝＝＝，∴tan∠DAF＝，∴＝，∴DF＝＝2．18.（2025.廣東九年級期中）如圖，已知點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則．

【答案】【詳解】法一：易知，故.

法二：常規(guī)法解：作軸于點(diǎn)，連接，如圖所示，點(diǎn)，，，，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，，，即，，，，，，設(shè)，，，解得：，，19．（21·22·深圳·模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)A在反比例函數(shù)y的圖象上．作射線AB，再將射線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交y軸于C點(diǎn)，則△ABC面積為．【答案】20【分析】過B作BF⊥AC于F，過F作FD⊥y軸于D，過A作AE⊥DF延長線于E，證明△AEF≌△FDB（AAS），設(shè)BD＝a，則EF＝a，由點(diǎn)A（4，4）和點(diǎn)B（0，2）可得AE+OD＝4，求得，可得F（3，1），進(jìn)而求得直線AC的解析式為y＝3x﹣8，令x＝0，得出C（0，﹣8），即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y的圖象上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，∴A（4，4），過B作BF⊥AC于F，過F作FD⊥y軸于D，過A作AE⊥DF延長線于E，∵，則△ABF為等腰直角三角形，∴在△AEF與△FDB中∴△AEF≌△FDB（AAS），設(shè)BD＝a，則EF＝a，∵點(diǎn)A（4，4）和點(diǎn)B（0，2），∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，∵AE+OD＝4，∴4﹣a+2﹣a＝4，解得a＝1，∴F（3，1），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，則，解得，∴y＝3x﹣8，令x＝0，則y＝﹣8，∴C（0，﹣8），∴BC＝10，∴20，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與幾何圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．20．（2025上·紹興·期中）如圖，已知點(diǎn)A（3，3），點(diǎn)B（0，），點(diǎn)A在二次函數(shù)y＝x2+x﹣9的圖象上，作射線AB，再將射線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【答案】【分析】過點(diǎn)B作軸，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出的長度，設(shè)，則，則，根據(jù)三角函數(shù)得出，則，解之可得，求得直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立可得點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解：過點(diǎn)B作軸，過點(diǎn)A作于