專題21等腰三角形【十六大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明】 3【題型2根據(jù)三線合一求解或證明】 4【題型3格點(diǎn)圖中畫等腰三角形】 5【題型4根據(jù)等角對(duì)等邊證明或求解】 6【題型5確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)】 8【題型6等腰三角形性質(zhì)與判定綜合】 9【題型7利用等邊三角形的性質(zhì)求解】 10【題型8等邊三角形的判定】 12【題型9等腰/等邊三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題】 13【題型10探究等腰/等邊三角形中線段間存在的關(guān)系】 14【題型11等腰/等邊三角形有關(guān)的新定義問題】 16【題型12等腰/等邊三角形有關(guān)的折疊問題】 18【題型13等腰/等邊三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題】 20【題型14利用等腰/等邊三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題】 21【題型15利用垂直平分線的性質(zhì)求解】 23【題型16線段垂直平分線的判定】 25【知識(shí)點(diǎn)等腰三角形】1.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線.底邊上的中線.底邊上的高重合。推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。（2）等腰三角形的其他性質(zhì)：①等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則<a④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B.∠C，則∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2.等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）。這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等。推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。垂直平分線1垂直平分線的概念：經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）.性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.【題型1根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明】【例1】（2025·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，若∠C=30°，則∠ABO的度數(shù)為（

）

點(diǎn)A，B，C在⊙O上，A．30° B．45° C．60° D．90°【變式1-1】（2025·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F在矩形ABCD邊上，連接OF．若∠ADB=38°，∠BOF=30°，則∠AOF=．【變式1-2】（2025·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=BC=16，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)B關(guān)于直線DE的軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B′，連接DB′，EB′，分別與AC相交于F點(diǎn)，G點(diǎn)，若AF=8

【變式1-3】（2025·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，點(diǎn)F在邊BC上，連接AE，EF，DE=BF，

(1)如圖①，求證△AED≌(2)如圖②，若AB=AD，AE≠ED，過點(diǎn)C作CH∥AE交BE于點(diǎn)H，在不添加任何軸助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖②中四個(gè)角（【題型2根據(jù)三線合一求解或證明】【例2】（2025·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC與BC相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接EF交AD于點(diǎn)P．若△ABC的面積是24，PD=1.5，則PE的長(zhǎng)是（

）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【變式2-1】（2025·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC=

【變式2-2】（2025·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE=CD，∠B=∠AED=∠C．

(1)求證：∠EAD=∠EDA；(2)若∠C=60°，DE=4時(shí)，求△AED的面積．【變式2-3】（2025·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）已知矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連接BE,CE,OE，且BE=CE．(1)如圖1，求證：△BEO≌△CEO；(2)如圖2，設(shè)BE與AC相交于點(diǎn)F，CE與BD相交于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作AC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)三角形（△AEF除外），使寫出的每個(gè)三角形的面積都與△AEF的面積相等．【題型3格點(diǎn)圖中畫等腰三角形】【例3】（2025·吉林·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖2均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A，點(diǎn)B均在格點(diǎn)上，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，以點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)畫一個(gè)等腰三角形；（2）在圖②中，以點(diǎn)A，B，D，E為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為3的平行四邊形．【變式3-1】（2025·廣東云浮·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A，B是4×4網(wǎng)格中的格點(diǎn)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，如果以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿足條件的所有格點(diǎn)C有（

）個(gè)．

A．6 B．7 C．8 D．9【變式3-2】（2025·浙江麗水·統(tǒng)考二模）如圖，是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)．線段AB的端點(diǎn)均在網(wǎng)格上，分別按要求作圖，每小題各畫出一個(gè)即可．

(1)在圖1中畫出以AB為邊的平行四邊形ABCD，且點(diǎn)C，D在格點(diǎn)上；(2)在圖2中畫出等腰三角形ABE，且點(diǎn)E在格點(diǎn)上；(3)在圖3中畫出直角三角形ABF，且點(diǎn)F在格點(diǎn)上．【變式3-3】（2025·浙江寧波·統(tǒng)考二模）在4×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，分別按要求畫出圖形（僅用無(wú)刻度直尺，并保留畫圖痕跡）．(1)在圖1中，已知線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，畫出一個(gè)以AB為腰的等腰△ABC，且C在格點(diǎn)上．(2)在圖2中，已知△ABC為格點(diǎn)三角形，作出△ABC的內(nèi)心點(diǎn)Ⅰ．【題型4根據(jù)等角對(duì)等邊證明或求解】【例4】（2025·山西大同·校聯(lián)考一模）如圖，AB=CD=3，∠A=15°，∠C=15°，∠D=105°，則線段AD的長(zhǎng)為．

【變式4-1】（2025·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，∠B=∠C，BD=CE，求證：△ABD≌△ACE【變式4-2】（2025·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，D，E是△ABC邊上的點(diǎn)，ED∥BC，BE平分

(1)求證：BD=DE；(2)若BD:BC=2:3．直接寫出S△ADE【變式4-3】（2025·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）折疊問題是我們常見的數(shù)學(xué)問題，它是利用圖形變化的軸對(duì)稱性質(zhì)解決的相關(guān)問題．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動(dòng)．【操作】如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在邊AD上，將矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，MD′與BC

【猜想】】MN=CN【驗(yàn)證】請(qǐng)將下列證明過程補(bǔ)充完整：∵矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊∴∠CMD=∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥∴∠CMD=（）∴=（等量代換）∴MN=CN（）【應(yīng)用】如圖2，繼續(xù)將矩形紙片ABCD折疊，使AM恰好落在直線MD′上，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B（1）猜想MN與EC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若CD=2，MD=4，求EC的長(zhǎng)．【題型5確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)】【例5】（2025·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個(gè)點(diǎn)(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個(gè)點(diǎn)P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是．【變式5-1】（2025·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，2），B（0，6），動(dòng)點(diǎn)C在直線y=x上．若以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．5【變式5-2】（2025·江蘇·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，點(diǎn)P是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，若滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，則AB的長(zhǎng)為．【變式5-3】（2025·江西南昌·三模）如圖，點(diǎn)A是直線y=?2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB垂直x軸于點(diǎn)B，y軸上存在點(diǎn)C，能使以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)．【題型6等腰三角形性質(zhì)與判定綜合】【例6】（2025·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)P，Q分別在AB和AC上，PQ∥BC，M為PQ上一點(diǎn)，且滿足PM=2MQ．連接AM、DM，若MA=MD，則AP的長(zhǎng)為．

【變式6-1】（2025·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=4，以A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，連接DE，分別以D，E為圓心，以大于12DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF，交DE于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥AB交BC于點(diǎn)N．則

【變式6-2】（2025·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，將矩形ABCD沿BE所在的直線折疊，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′，D′，連接AD

(1)若∠DED′=70°(2)連接EF，試判斷四邊形C′【變式6-3】（2025·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=6．點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AD上一點(diǎn)，將四邊形ABEF沿EF折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′H⊥BC于點(diǎn)H，若

【題型7利用等邊三角形的性質(zhì)求解】【例7】（2025·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A3,0，B0,4，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，連接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC為邊作等邊三角形BCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為；點(diǎn)D

【變式7-1】（2025·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，△BPC是等邊三角形，則陰影部分的面積為．

【變式7-2】（2025·遼寧·統(tǒng)考中考真題）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是射線BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AE，在AE的左側(cè)作等邊三角形AED，將線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段EF,連接BF．交DE于點(diǎn)M．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段DM與EM的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2．當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)BC=6，CE=2時(shí)，請(qǐng)直接寫出AM的長(zhǎng)．【變式7-3】（2025·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖1，點(diǎn)G為等邊△ABC的重心，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，連接GD并延長(zhǎng)至點(diǎn)O，使得DO=DG，連接GB，GC，OB，OC

(1)求證：四邊形BOCG為菱形．(2)如圖2，以O(shè)點(diǎn)為圓心，OG為半徑作⊙O①判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并予以證明．②點(diǎn)M為劣弧BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合），連接BM并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，連接CM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，求證：AE+AF為定值．【題型8等邊三角形的判定】【例8】（2025·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．邊BC關(guān)于BE對(duì)稱的線段為BF，連接AF．

(1)若∠ABE=15°，求證：△ABF是等邊三角形；(2)延長(zhǎng)FA，交射線BE于點(diǎn)G；①△BGF能否為等腰三角形？如果能，求此時(shí)∠ABE的度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由；②若AB=3+6，求△BGF【變式8-1】（2025·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線分別交AB和AC于點(diǎn)D，

(1)求證：AE=2CE；(2)連接CD，請(qǐng)判斷△BCD的形狀，并說明理由．【變式8-2】（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AB邊上求作一點(diǎn)P，使得PC=PB（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(2)連接CP，若∠ABC=30°，證明△ACP為等邊三角形．【變式8-3】（2025·河北承德·校聯(lián)考一模）如圖，已知在⊙O中，弦AB垂直平分半徑ON，NO的延長(zhǎng)線交⊙O于P，連接AP，過點(diǎn)A，B的切線相交于點(diǎn)

(1)求證：△ABM是等邊三角形；(2)若⊙O的半徑為2，求AP的長(zhǎng)．【題型9等腰/等邊三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題】【例9】（2025·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段AB=8，點(diǎn)C是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段BD，連接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90°,∠E=30°，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接AF

【變式9-1】（2025·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，E為AB邊上一點(diǎn)，以AE為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)D，連接AD，BE=3,BD=35．P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADP為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為

【變式9-2】（2025·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高BD上的動(dòng)點(diǎn)．連接CE，將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接AF，EF，DF，則△CDF周長(zhǎng)的最小值是．

【變式9-3】（2025·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為?8，6，過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)A，直線y=?2x?6與AB交于點(diǎn)D．與y軸交于點(diǎn)E．動(dòng)點(diǎn)M在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)N在直線y=?2x?6上，若△AMN是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)M

【題型10探究等腰/等邊三角形中線段間存在的關(guān)系】【例10】（2025·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）我們可以通過面積運(yùn)算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個(gè)關(guān)系解決相關(guān)問題．(1)如圖一，在等腰△ABC中，AB=AC，BC邊上有一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G.利用面積證明：DE+DF=CG．(2)如圖二，將矩形ABCD沿著EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B落在B′處，點(diǎn)G為折痕EF上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N.若BC=8，BE=3，求GM+GN的長(zhǎng)．(3)如圖三，在四邊形ABCD中，E為線段BC上的一點(diǎn)，EA⊥AB，ED⊥CD，連接BD，且ABCD=AEDE，BC=51，CD=3【變式10-1】（2025·浙江·統(tǒng)考中考真題）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對(duì)邊，a>b．記△ABC的面積為S．(1)如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為S1，正方形BGFC的面積為S①若S1=9，②延長(zhǎng)EA交GB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連結(jié)FN，交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：S2(2)如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為S1，等邊三角形CBE的面積為S2．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點(diǎn)C在△ABF內(nèi)），連結(jié)EF，CF．若EF⊥CF，試探索【變式10-2】（2025·湖北十堰·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE

(1)如圖1，連接EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是_________，位置關(guān)系是________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接EC，寫出此時(shí)線段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在四邊形ABCF中，∠ABC=∠ACB=∠AFC=45°．若BF=13,CF=5，請(qǐng)直接寫出AF的長(zhǎng)．【變式10-3】（2025·安徽滁州·?？寄M預(yù)測(cè)）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA=OB，OC=OD，連接AC、BD交于點(diǎn)M．(1)如圖1．若∠AOB=∠COD=40°，則AC與BD的數(shù)量關(guān)系為___________；∠AMB(2)如圖2，若∠AOB=∠COD=90°，判斷AC與BD之間存在怎樣的關(guān)系？并說明理由；(3)在（2）的條件下，當(dāng)∠ABC=60°，且點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出OD與OA之間存在的數(shù)量關(guān)系．【題型11等腰/等邊三角形有關(guān)的新定義問題】【例11】（2025·四川成都·統(tǒng)考二模）定義：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P在BC邊上，連接AP，若AP的長(zhǎng)恰好為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為BC邊上的“整點(diǎn)”．如圖2，已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為10，底邊長(zhǎng)為6，則底邊上的“整點(diǎn)”個(gè)數(shù)為；如圖3，在△ABC中，AB=25，AC=29，且BC邊上有6個(gè)“整點(diǎn)”，則BC的長(zhǎng)為【變式11-1】（2025·江蘇鹽城·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的3倍，這樣的三角形叫做“3倍長(zhǎng)三角形”．若等腰△ABC是“3倍長(zhǎng)三角形”，底邊BC的長(zhǎng)為3，則等腰△ABC的周長(zhǎng)為．【變式11-2】（2025·浙江湖州·統(tǒng)考二模）定義：如果四邊形的一條對(duì)角線把該四邊形分割成兩個(gè)等腰三角形，且這條對(duì)角線是這兩個(gè)等腰三角形的腰，那么我們稱這個(gè)四邊形為雙等腰四邊形．

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，連結(jié)BD，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連結(jié)AE，CE．①試判斷四邊形ABCE是否是雙等腰四邊形，并說明理由；②若∠AEC=90°，求∠ABC的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)E是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上一點(diǎn)，四邊形AEFD是雙等腰四邊形，且AD=DE．延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G，連結(jié)FG．若AD=5，∠EFG=90°，CGFC=3【變式11-3】（2025·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）給出一個(gè)新定義：有兩個(gè)等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點(diǎn)互相重合且其中一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的底邊上，那么這兩個(gè)等腰三角形互為“友好三角形”．

(1)如圖①，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（異于B點(diǎn)），AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=m°，連接CE，則CE______BD（填“<”或“=”或“>”），∠BCE=______°（用含m的代數(shù)式表示）．(2)如圖②，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，M、N分別是底邊BC、DE的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄縈N與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖③，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，BC=6，過D點(diǎn)作DF⊥AD，交直線CE于F點(diǎn)，若點(diǎn)D從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，直接寫出F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【題型12等腰/等邊三角形有關(guān)的折疊問題】【例12】（2025·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE,AC分別與DF,EF相交于G,H兩點(diǎn)．若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的長(zhǎng)是．

【變式12-1】（2025·寧夏·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題背景數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為36°的等腰三角形，對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究．

探究發(fā)現(xiàn)如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，折痕交AC于點(diǎn)D，連接DE，DB，則∠BDE=_______°，設(shè)AC=1，BC=x，那么AE=______（用含x的式子表示）；（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：底BC腰AC拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD=72°，AB=1．求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)．

【變式12-2】（2025·安徽蚌埠·一模）如圖，△ABC中，CA=CB，∠ACB=50°，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，沿DE折疊得△PDE，點(diǎn)P落在∠ACB的平分線上，PF垂直平分AC，F(xiàn)為垂足，則∠PDB的度數(shù)是°．【變式12-3】（2025·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）問題情境：如圖1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC邊上的中線．如圖2，將△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別沿EF,GH折疊后均與點(diǎn)D重合，折痕分別交AB,AC,BC于點(diǎn)E，G，F(xiàn)，

猜想證明：(1)如圖2，試判斷四邊形AEDG的形狀，并說明理由．問題解決；(2)如圖3，將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開后，重新沿MN折疊，使得頂點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，折痕分別交AB,BC于點(diǎn)M，N，BM的對(duì)應(yīng)線段交DG于點(diǎn)K，求四邊形MKGA的面積．【題型13等腰/等邊三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題】【例13】（2025·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）已知，△OA1A2,△A3A4A5

【變式13-1】（2025·山東棗莊·校考一模）如圖△OA1B1、△A1A2B2、△A2A3B3都是等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)B1、B2，【變式13-2】（2025·湖南婁底·校聯(lián)考一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圖形先向右平移a個(gè)單位，再繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫作圖形的γa,θ變換．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，△A1B1C1就是△ABC經(jīng)γ1,180°變換后所得的圖形，若△ABC經(jīng)γ1,180°變換后得到△A1B1C1，△A1B1C1

【變式13-3】（2025·湖北黃岡·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC為等腰三角形，AC=AB=5，BC=8，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)C在x軸正半軸上，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到△A1B1C，使得點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1在x軸上，記為第一次旋轉(zhuǎn)，再將△A1B1C繞點(diǎn)B1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到【題型14利用等腰/等邊三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題】【例14】（2025·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于12FG的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于12BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①∠AED=∠ABC；②BC=AE；③ED=1

A．1 B．2 C．3 D．4【變式14-1】（2025·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，BE>AE，連接DF交AE于點(diǎn)G,DE交AB于點(diǎn)H，連接CF．給出下面四個(gè)結(jié)論：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【變式14-2】（2025·四川·中考真題）如圖，點(diǎn)D為ΔABC的AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)前E為AD的中點(diǎn)，ΔADC為正三角形，給出下列結(jié)論，①CB=2CE,②tan∠B=34，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到AC、BC邊的距離分別為d1，d2【變式14-3】（2025·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊ΔABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D在邊AC上，AD=12，線段PQ在邊BA上運(yùn)動(dòng)，①CP與QD可能相等；②ΔAQD與ΔBCP可能相似；③四邊形PCDQ面積的最大值為31316；④四邊形PCDQ周長(zhǎng)的最小值為3+37A．①④ B．②④ C．①③ D．②③【題型15利用垂直平分線的性質(zhì)求解】【例15】（2025·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，為制作角度尺，將長(zhǎng)為10，寬為4的矩形OABC分割成4×10的小正方形網(wǎng)格．在該矩形邊上取點(diǎn)P，來表示∠POA的度數(shù)．閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：

（答題卷用）作法（如圖）結(jié)論

①在CB上取點(diǎn)P1，使C∠P1OA=45°，點(diǎn)P②以O(shè)為圓心，8為半徑作弧，與BC交于點(diǎn)P2∠P2OA=30°，點(diǎn)P③分別以O(shè),P2為圓心，大于OP2長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)E,F，連結(jié)EF與…④以P2為圓心，OP2的長(zhǎng)為半徑作弧，與射線CB交于點(diǎn)D，連結(jié)OD交AB…(1)分別求點(diǎn)P3(2)用直尺和圓規(guī)在該矩形的邊上作點(diǎn)P5，使該點(diǎn)表示37.5°【變式15-1】（2025·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=90°，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于12BC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；作直線MN交AB于點(diǎn)E．若線段AE=5，AC=12，則BE長(zhǎng)為

【變式15-2】（2025·遼寧·中考真題）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線EG交AB于點(diǎn)E，交AB的平行線CG于點(diǎn)G，DF⊥EG，交AC于點(diǎn)F．(1)求證：BE＝CG；(2)判斷BE＋CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式15-3】（2025·陜西·統(tǒng)考中考真題）問題提出(1)如圖1，AD是等邊△ABC的中線，點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線上，且AP=AC，則∠APC的度數(shù)為__________．問題探究(2)如圖2，在△ABC中，CA=CB=6,∠C=120°．過點(diǎn)A作AP∥BC，且AP=BC，過點(diǎn)P作直線l⊥BC，分別交AB、BC于點(diǎn)O、E，求四邊形OECA的面積．問題解決(3)如圖3，現(xiàn)有一塊△ABC型板材，∠ACB為鈍角，∠BAC=45°．工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)△ABP型部件，并要求∠BAP=15°,AP=AC．工人師傅在這塊板材上的作法如下：①以點(diǎn)C為圓心，以CA長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD；②作CD的垂直平分線l，與CD于點(diǎn)E；③以點(diǎn)A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)P，連接AP、BP，得△ABP．請(qǐng)問，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【題型16線段垂直平分線的判定】【例16】（2025·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ΔABC中，AB=BC=3,∠BAC=30°，分別以點(diǎn)A,C為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接DA,DC,則四邊形ABCD的面積為（A．63 B．9 C．6 D．【變式16-1】（2025·四川成都·成都實(shí)外?？家荒＃┤鐖D，已知等腰△ABC，AD⊥BC于D，點(diǎn)E是AC邊上的一點(diǎn)，將△ABC沿線段BE翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在BC的延長(zhǎng)線上，若CF=2DC，則sin∠FBE的值是【變式16-2】（2025·河北保定·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)D在等邊△ABC的外部，連接AD、CD，AD=CD，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E．(1)判斷△CEF的形狀，并說明理由；(2)連接BD，若BC=10，CF=4，求DE的長(zhǎng)．【變式16-3】（2025·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P,Q分別是邊BC，線段OD上的點(diǎn)，連接AP,QP,AP與OB相交于點(diǎn)E．

(1)如圖1，連接QA．當(dāng)QA=QP時(shí)，試判斷點(diǎn)Q是否在線段PC的垂直平分線上，并說明理由；(2)如圖2，若∠APB=90°，且∠BAP=∠ADB，①求證：AE=2EP；②當(dāng)OQ=OE時(shí)，設(shè)EP=a，求PQ的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）．

專題21等腰三角形【十六大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明】 1【題型2根據(jù)三線合一求解或證明】 6【題型3格點(diǎn)圖中畫等腰三角形】 12【題型4根據(jù)等角對(duì)等邊證明或求解】 16【題型5確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)】 22【題型6等腰三角形性質(zhì)與判定綜合】 25【題型7利用等邊三角形的性質(zhì)求解】 32【題型8等邊三角形的判定】 41【題型9等腰/等邊三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題】 48【題型10探究等腰/等邊三角形中線段間存在的關(guān)系】 55【題型11等腰/等邊三角形有關(guān)的新定義問題】 66【題型12等腰/等邊三角形有關(guān)的折疊問題】 74【題型13等腰/等邊三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題】 81【題型14利用等腰/等邊三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題】 86【題型15利用垂直平分線的性質(zhì)求解】 93【題型16線段垂直平分線的判定】 101【知識(shí)點(diǎn)等腰三角形】1.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線.底邊上的中線.底邊上的高重合。推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。（2）等腰三角形的其他性質(zhì)：①等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則<a④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B.∠C，則∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2.等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）。這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等。推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。垂直平分線1垂直平分線的概念：經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）.性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.【題型1根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明】【例1】（2025·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C=30°，則∠ABO的度數(shù)為（

）

A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠AOB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠OBA=∠OAB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】解：∵∠C=30°，∴∠AOB=2∠C=60°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠AOB度數(shù)和得出∠OAB=∠OBA．【變式1-1】（2025·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F在矩形ABCD邊上，連接OF．若∠ADB=38°，∠BOF=30°，則∠AOF=．【答案】46°或106°【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分點(diǎn)F在AB上和BC上兩種情況討論即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OD，∴∠ADO=∠OAD，∵∠ADB=38°，∴∠ADO=∠OAD=38°∴∠AOB=∠ADO+∠OAD=76°，如圖所示，當(dāng)F點(diǎn)在AB上時(shí)，

∵∠BOF=30°，∴∠AOF=∠AOB?∠BOF=76°?30°=46°如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，

∵∠BOF=30°，∴∠AOF=∠AOB+∠BOF=76°+30°=106°，故答案為：46°或106°．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形的外角的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2025·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=BC=16，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)B關(guān)于直線DE的軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B′，連接DB′，EB′，分別與AC相交于F點(diǎn)，G點(diǎn)，若AF=8

【答案】4.5【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角和折疊的性質(zhì)證明∠A=∠B′，進(jìn)而證明△AFD∽△B′FG，則AF【詳解】解：∵AC=BC=16，∴∠A=∠B，由折疊的性質(zhì)可得∠B=∠B∴∠A=∠B又∵∠AFD=∠B∴△AFD∽△B∴AFB′F∴GF=3.5，∴CG=AC?AF?GF=4.5，故答案為：4.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)等角等等，證明△AFD∽△B【變式1-3】（2025·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，點(diǎn)F在邊BC上，連接AE，EF，DE=BF，

(1)如圖①，求證△AED≌(2)如圖②，若AB=AD，AE≠ED，過點(diǎn)C作CH∥AE交BE于點(diǎn)H，在不添加任何軸助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖②中四個(gè)角（【答案】(1)見解析；(2)∠BEA=∠EFC=∠DCH=∠DHC=∠BAE，理由見解析．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AD=BC=BE，BC∥AD，進(jìn)而有∠ADE=∠EBF，從而利用SAS即可證明結(jié)論成立；（2）先證四邊形ABCD是菱形，得AB=BC=BE=CD=AD，又證△ABE≌△CDHAAS，得∠BAE=∠DCH=∠BEA=∠DHC，由（1）得△AED【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，BE=BC∴AD=BC=BE，BC∥AD，∴∠ADE=∠EBF，∵DE=BF，∠ADE=∠EBF，∴△AED≌（2）解：∠BEA=∠EFC=∠DCH=∠DHC=∠BAE，理由如下：∵AB=AD，四邊形ABCD∴四邊形ABCD是菱形，BC∥AD，AB∥CD∴AB=BC=BE=CD=AD，∠ADE=∠EBF，∠ABE=∠CDH，∴∠BEA=∠BAE，∵CH∥∴∠BEA=∠DHC，∴△ABE≌∴∠BAE=∠DCH=∠BEA=∠DHC，由（1）得△AED≌∴∠AED=∠EFB，∵∠AED+∠BEA=∠EFB+∠EFC=180°，∴∠BEA=∠EFC=∠DCH=∠DHC=∠BAE．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊對(duì)等角、全等三角形的判定及性質(zhì)以及等角的補(bǔ)角相等．熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型2根據(jù)三線合一求解或證明】【例2】（2025·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC與BC相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接EF交AD于點(diǎn)P．若△ABC的面積是24，PD=1.5，則PE的長(zhǎng)是（

）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【答案】A【分析】連接DE，取AD的中點(diǎn)G，連接EG，先由等腰三角形“三線合一“性質(zhì)，證得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，求出S△EGD=3，然后證△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，從而得DG=3，即可由三角形面積公式求出EG長(zhǎng)，由勾股定理即可求出PE長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接DE，取AD的中點(diǎn)G，連接EG，∵AB=AC，AD平分∠BAC與BC相交于點(diǎn)D，∴AD⊥BC，BD=CD，∴S△ABD=12∵E是AB的中點(diǎn)，∴S△AED=12∵G是AD的中點(diǎn)，∴S△EGD=12∵E是AB的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，∴EG∥BC，EG=12BD=12∴∠EGP=∠FDP=90°，∵F是CD的中點(diǎn)，∴DF=12CD∴EG=DF，∵∠EPG=∠FPD，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴GP=PD=1.5，∴GD=3，∵S△EGD=12GD?EG=3，即∴EG=2，在Rt△EGP中，由勾股定理，得PE=EG故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形中線分三角形兩部分的面積相等是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2025·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC=

【答案】2【分析】取AB的中點(diǎn)D，連接AC,CD，先根據(jù)勾股定理可得AC=BC=10,CD=5【詳解】解：如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接AC,CD，

∵AC=1∴AC=BC，又∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴sin故答案為：22【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、等腰三角形的三線合一、正弦，熟練掌握正弦的求解方法是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2025·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE=CD，∠B=∠AED=∠C．

(1)求證：∠EAD=∠EDA；(2)若∠C=60°，DE=4時(shí)，求△AED的面積．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由∠B=∠AED求出∠BAE=∠CED，然后利用AAS證明△BAE?△CED，可得EA=ED，再由等邊對(duì)等角得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)求出DF和AD，然后利用勾股定理求出EF，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵∠B=∠AED，∴180°?∠B=180°?∠AED，即∠BEA+∠BAE=∠BEA+∠CED，∴∠BAE=∠CED，在△BAE和△CED中，∠B=∠C∠BAE=∠CED∴△BAE?△CEDAAS∴EA=ED，∴∠EAD=∠EDA；（2）解：過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，由（1）知EA=ED，∵∠AED=∠C=60°，∴∠AEF=∠DEF=30°，∵DE=4，∴DF=1∴AD=2DF=4，EF=D∴S△AED

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確尋找證明三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2025·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）已知矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連接BE,CE,OE，且BE=CE．(1)如圖1，求證：△BEO≌△CEO；(2)如圖2，設(shè)BE與AC相交于點(diǎn)F，CE與BD相交于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作AC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)三角形（△AEF除外），使寫出的每個(gè)三角形的面積都與△AEF的面積相等．【答案】(1)見解析(2)△DEG、△DEH、△BFO、△CHO【分析】（1）利用SSS證明兩個(gè)三角形全等即可;（2）先證明Rt△ABE≌Rt△DCE得到AE=DE，則S△AOE=S△DOE，根據(jù)三線合一定理證明∴OE⊥AD，推出AB∥OE，得到S△AOE=SBOE，即可證明S△BFO=S△AEF由△BEO≌△CEO，得到∠OBF=∠OCH，S△BOE【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC與BD相等且互相平分，∴OB=OC，∵BE=CE，OE=OE，∴△BEO≌△CEO（SSS）；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°，OA=OD=OB=OC，又∵BE=CE，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）∴AE=DE，∴S△AOE∵OA=OD，AE=DE，∴OE⊥AD，∴AB∥∴S△AOE∴S△AOE∴S△BFO∵△BEO≌△CEO，∴∠OBF=∠OCH，S△BOE又∵∠BOF=∠COH，OB=OC，∴△BOF≌△COH（ASA），∴S△BFO∴S△BOE∴S△OEF∴S△AOE∴S△DEH∵AC∥∴∠AFE=∠DGE，∠EAF=∠EDG，又∵AE=DE，∴△AEF≌△DEGAAS∴S△AEF綜上所述，△DEG、△DEH、△BFO、△CHO這4個(gè)三角形的面積與△AEF的面積相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定等等，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【題型3格點(diǎn)圖中畫等腰三角形】【例3】（2025·吉林·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖2均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A，點(diǎn)B均在格點(diǎn)上，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，以點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)畫一個(gè)等腰三角形；（2）在圖②中，以點(diǎn)A，B，D，E為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為3的平行四邊形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義畫出圖形即可：如以B為頂點(diǎn)，AC為底邊，即可做出等腰三角形；（2）作底為1，高為3的平行四邊形即可．【詳解】解：（1）如圖①中，此時(shí)以B為頂點(diǎn)，AC為底邊，該△ABC即為所求（答案不唯一）．（2）如圖②中，此時(shí)底AE=1，高?=3，因此四邊形ABDE即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握等腰三角形和平行四邊形的基本性質(zhì)．【變式3-1】（2025·廣東云浮·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A，B是4×4網(wǎng)格中的格點(diǎn)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，如果以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿足條件的所有格點(diǎn)C有（

）個(gè)．

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的判定，分三種情況：當(dāng)BA=BC時(shí)；當(dāng)AB=AC時(shí)；當(dāng)CA=CB時(shí)；即可解答．【詳解】解：如圖：

分三種情況：當(dāng)BA=BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，以BA長(zhǎng)半徑作圓，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)為C1，C當(dāng)AB=AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)半徑作圓，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)為C3，C當(dāng)CA=CB時(shí)，作AB的垂直平分線，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)為C5，C6，C7綜上所述：滿足條件的所有格點(diǎn)C有8個(gè)，故選：C．【變式3-2】（2025·浙江麗水·統(tǒng)考二模）如圖，是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)．線段AB的端點(diǎn)均在網(wǎng)格上，分別按要求作圖，每小題各畫出一個(gè)即可．

(1)在圖1中畫出以AB為邊的平行四邊形ABCD，且點(diǎn)C，D在格點(diǎn)上；(2)在圖2中畫出等腰三角形ABE，且點(diǎn)E在格點(diǎn)上；(3)在圖3中畫出直角三角形ABF，且點(diǎn)F在格點(diǎn)上．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）找到格點(diǎn)C,D，根據(jù)AD=BC=2，且AD∥BC，即可得出四邊形（2）AB,AE分別為兩個(gè)小菱形的對(duì)角線，即可求解；（3）作菱形ABMN對(duì)角線AM,BN交于點(diǎn)F，則AF⊥BF，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，AD=BC=2，且AD∴四邊形ABCD是平行四邊形，

（2）解：如圖所示，AB,AE分別為兩個(gè)小菱形的對(duì)角線，∴AB=AE，∴△ABE是等腰三角形，

（3）解：如圖所示，∵AB,AN,MN,BM分別等于兩個(gè)菱形的對(duì)角線長(zhǎng)，∴四邊形ABMN是菱形，對(duì)角線AM,BN交于點(diǎn)F，則AF⊥BF∴△ABF是直角三角形．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，等腰三角形的定義，菱形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2025·浙江寧波·統(tǒng)考二模）在4×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，分別按要求畫出圖形（僅用無(wú)刻度直尺，并保留畫圖痕跡）．(1)在圖1中，已知線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，畫出一個(gè)以AB為腰的等腰△ABC，且C在格點(diǎn)上．(2)在圖2中，已知△ABC為格點(diǎn)三角形，作出△ABC的內(nèi)心點(diǎn)Ⅰ．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）勾股定理求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)等腰三角形兩腰相等進(jìn)行作圖即可；（2）根據(jù)內(nèi)心是三角形的角平分線的交點(diǎn)，以及等腰三角形三線合一，進(jìn)行作圖即可．【詳解】（1）解：如圖所示，△ABC即為所求；∵AB=3∴△ABC是以AB為腰的等腰三角形；（2）解：在BC上取格點(diǎn)E，使AB=BE，連接AE，取BC的中點(diǎn)D，AE的中點(diǎn)F，連接AD,BF，AD,BF的交點(diǎn)即為△ABC的內(nèi)心點(diǎn)Ⅰ，如圖所示：∵AB=BE，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，∴BF是∠ABC的角平分線，同理可得：AD是∠BAC的角平行線，∴AD,BF的交點(diǎn)即為△ABC的內(nèi)心點(diǎn)Ⅰ．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)心．熟練等腰三角形兩腰相等，三線合一，是解題的關(guān)鍵．【題型4根據(jù)等角對(duì)等邊證明或求解】【例4】（2025·山西大同·校聯(lián)考一模）如圖，AB=CD=3，∠A=15°，∠C=15°，∠D=105°，則線段AD的長(zhǎng)為．

【答案】3【分析】過點(diǎn)A作AE∥CD，且AE=CD，連接BE，CE，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可得AD=CE，AD∥CE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAE=60°，∠BCE=90°，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)可得BE=AB=3，∠ABE=60°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BC=EC，根據(jù)勾股定理求得BE=3【詳解】解：過點(diǎn)A作AE∥CD，且AE=CD，連接BE，CE，如圖：

∵AE∥CD，AE=CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴AD=CE，AD∥CE，∵AE∥CD，AD∥CE，∠D=105°，∴∠DAE=180°?105°=75°，∠DCE=180°?105°=75°，又∵∠DAB=15°，∠DCB=15°，∴∠BAE=∠DAE?∠DAB=75°?15°=60°，∠BCE=∠DCE+∠DCB=75°+15°=90°，∵∠BAE=60°，AE=CD，∴三角形ABE是等邊三角形，∴BE=AB=3，∠ABE=60°，∵∠DAB=∠DCB，∠DOA=∠COB，∠D=105°，∴∠D=∠ABC=105°，∴∠EBC=∠ABC?∠ABE=105°?60°=45°，∴∠EBC=∠BEC=45°，∴BC=EC，在Rt△BCE中，EC2∴2BC解得：BE=3即AD=3故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，勾股定理等，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2025·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，∠B=∠C，BD=CE，求證：△ABD≌△ACE【答案】證明見解析【分析】由等腰三角形的判定得出AC=AB，再利用SAS定理即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵∠B=∠C，∴AC=AB，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2025·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，D，E是△ABC邊上的點(diǎn)，ED∥BC，BE平分

(1)求證：BD=DE；(2)若BD:BC=2:3．直接寫出S△ADE【答案】(1)見解析(2)2:1【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠CBE=∠BED，由角平分線的定義可得∠DBE=∠CBE，即∠DBE=∠BED，即可解答；（2）由已知條件可得DEBC=23，再說明△ADE～△ABC可得AEAC=DEBC=【詳解】（1）證明：∵ED∥∴∠CBE=∠BED,∵BE平分∠ABC，∴∠DBE=∠CBE,∴∠DBE=∠BED∴BD=DE．（2）解：∵BD:BC=2:3，BD=DE，∴DEBC∵ED∥∴△ADE～△ABC∴AEAC=如圖：過D作DG⊥AC∴S△ADE∴S△ADE

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2025·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）折疊問題是我們常見的數(shù)學(xué)問題，它是利用圖形變化的軸對(duì)稱性質(zhì)解決的相關(guān)問題．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動(dòng)．【操作】如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在邊AD上，將矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，MD′與BC

【猜想】】MN=CN【驗(yàn)證】請(qǐng)將下列證明過程補(bǔ)充完整：∵矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊∴∠CMD=∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥∴∠CMD=（）∴=（等量代換）∴MN=CN（）【應(yīng)用】如圖2，繼續(xù)將矩形紙片ABCD折疊，使AM恰好落在直線MD′上，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B（1）猜想MN與EC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若CD=2，MD=4，求EC的長(zhǎng)．【答案】【驗(yàn)證】∠CMD′；∠MCN；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠CMD′；【驗(yàn)證】（1）由折疊得∠AME=∠A′ME，由平行線性質(zhì)，得∠AME=∠MEN，于是∠A′ME=∠MEN，進(jìn)而可得證MN=EN（2）由折疊得∠D=∠D′=90°，DC=D′C=2，MD=MD【詳解】解：【驗(yàn)證】∵矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊∴∠CMD=∠CM∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥∴∠CMD=∠MCN（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠CMD∴MN=CN（等角對(duì)等邊

）【應(yīng)用】（1）EC=2MN

理由如下：∵由四邊形ABEM折疊得到四邊形A′∴∠AME=∠∵四邊形ABCD是矩形

∴AD∥∴∠AME=∠MEN（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠A∴MN=EN（等角對(duì)等邊）∵M(jìn)N=CN∴MN=EN=NC

即EC=2MN；

（2）∵矩形ABCD沿MC所在直線折疊∴∠D=∠D′=90°，DC=設(shè)MN=NC=x∴N在Rt△ND∴ND∴(4?x)2+2∴EC=2MN=5.【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等角對(duì)等邊；根據(jù)折疊的性質(zhì)得到線段相等、角相等是解題的關(guān)鍵．【題型5確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)】【例5】（2025·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個(gè)點(diǎn)(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個(gè)點(diǎn)P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是．【答案】a＞8或a=4【分析】如圖，作線段MN的垂直平分線交OB于點(diǎn)OP，連接PM，PN，則PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外當(dāng)△PMN是等邊三角形時(shí)，滿足構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)．【詳解】如圖，作線段MN的垂直平分線交OB于點(diǎn)OP，連接PM，PN，則PM=PN，△PMN是等腰三角形，過點(diǎn)M作MH⊥OB于H，當(dāng)MH＞MN，即MH＞4時(shí)，滿足構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，當(dāng)MH=4時(shí)，∵∠AOB=30°，∴OM=2MH=8，∴當(dāng)a＞8時(shí)，滿足構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，另外當(dāng)△PMN是等邊三角形時(shí)，滿足構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，此時(shí)a=4，故答案為：a＞8或a=4【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)特殊位置解決問題．【變式5-1】（2025·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，2），B（0，6），動(dòng)點(diǎn)C在直線y=x上．若以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】解：如圖，AB的垂直平分線與直線y=x相交于點(diǎn)C1，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6-2=4，以點(diǎn)A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，與直線y=x的交點(diǎn)為C2，C3，∵OB=6，∴點(diǎn)B到直線y=x的距離為6×22∵32∴以點(diǎn)B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，與直線y=x沒有交點(diǎn)，AB的垂直平分線與直線的交點(diǎn)有一個(gè)所以，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是1+2=3．故選B．【變式5-2】（2025·江蘇·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，點(diǎn)P是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，若滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，則AB的長(zhǎng)為．【答案】4．【詳解】試題分析：如圖，當(dāng)AB=AD時(shí)，滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），則AB=AD=4，故答案為4．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；分類討論．【變式5-3】（2025·江西南昌·三模）如圖，點(diǎn)A是直線y=?2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB垂直x軸于點(diǎn)B，y軸上存在點(diǎn)C，能使以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】(0,1),(0,0),(0,?3),(0,【分析】分點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)、點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)、點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)三種情況，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式分別列出等式求解即可得．【詳解】由題意，設(shè)A(a,?2a+3),B(a,0),C(0,c)，則ABACBC由等腰直角三角形的定義，分以下三種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，AB=AC時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，則AB代入解得c=1或c=?3，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)或(0,?3)；（2）當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，AB=BC時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，由圖可知，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0)；（3）當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，AC=BC時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，則AC代入解得c=3此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3綜上，所有符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1),(0,0),(0,?3),(0,3故答案為：(0,1),(0,0),(0,?3),(0,3【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的定義與性質(zhì)、一次函數(shù)、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)題意，正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．【題型6等腰三角形性質(zhì)與判定綜合】【例6】（2025·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)P，Q分別在AB和AC上，PQ∥BC，M為PQ上一點(diǎn)，且滿足PM=2MQ．連接AM、DM，若MA=MD，則AP的長(zhǎng)為．

【答案】3【分析】可令A(yù)P的長(zhǎng)為x，證明△APQ∽△ABC，可得APAB=PQBC，即PQ=32x【詳解】解：設(shè)AP的長(zhǎng)為x，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴APAB又∵AB=4，BC=6，∴PQ=3又∵PM=2MQ，∴PM=x，MQ=1∴PM=PA，又∵∠APM=90°，∴△APM是等腰直角三角形，∴AM=2x，∴∠DAM=45°，又∵M(jìn)A=MD，∴∠ADM=∠DAM=45°，∴△MAD是等腰直角三角形，∴AD=2AM，即∴x=3，∴AP=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，通過相似比找出其他線段與AP的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2025·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=4，以A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，連接DE，分別以D，E為圓心，以大于12DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF，交DE于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥AB交BC于點(diǎn)N．則

【答案】4【分析】由尺規(guī)作圖可知，射線AF是∠BAD的角平分線，由于AD=AE=4，結(jié)合等腰三角形“三線合一”得M是DE邊中點(diǎn)，再由MN∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到N是邊BC中點(diǎn)，利用梯形中位線的判定與性質(zhì)得到MN=1【詳解】解：由題意可知AD=AE=4，射線AF是∠BAD的角平分線，∴由等腰三角形“三線合一”得M是DE邊中點(diǎn)，∵M(jìn)N∥AB，∴由平行線分線段成比例定理得到BNNC=EMMD=1∴MN是梯形BCDE的中位線，∴MN=1在?ABCD中，CD=AB=6，BE=AB?AE=6?4=2，則MN=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形背景下求線段長(zhǎng)問題，涉及尺規(guī)作圖、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、梯形中位線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握梯形中位線的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2025·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，將矩形ABCD沿BE所在的直線折疊，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′，D′，連接AD

(1)若∠DED′=70°(2)連接EF，試判斷四邊形C′【答案】(1)∠DAD′(2)矩形，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，沿BE所在的直線折疊，可得△AED（2）如圖所示，連接EF，點(diǎn)H是BE上的一點(diǎn)，根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)可得四邊形BED′F是平行四邊形，如圖所示，連接EC，EC′，過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE，∵沿BE所在的直線折疊，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′∴DE=D∴AE=D′E∴∠D∵∠DED′=70°∴∠D∴∠DAD′的度數(shù)為（2）解：如圖所示，連接EF，點(diǎn)H是BE上的一點(diǎn)，

∵四邊形ABCD是矩形，∴DE∥BC，∠C=∠D=90°，即CD⊥BC，∵沿BE所在的直線折疊，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′∴∠C′=∠D′=∠C=∠D=90°，由（1）可知，∠EAD∴∠ED∴AD′∥BE∴四邊形BED′F是平行四邊形，則BF=E如圖所示，連接EC，EC′，過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)

∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，EG⊥BC，∴點(diǎn)G是線段BC的中點(diǎn)，則AE=DE=BG=CG，∴在△BEG,△CEG中，BG=CG∠BGE=∠CGE=90°∴△BEG≌△CEG(SAS∴BE=CE，∠EBG=∠ECG，∵沿BE所在的直線折疊，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′∴∠C′=∠D′在△BCBC∴△BC∴EC′=EC∴EC∴EC∴四邊形C′∵∠C∴平行四邊形C′【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，矩形的判定，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握矩形折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2025·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=6．點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AD上一點(diǎn)，將四邊形ABEF沿EF折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′H⊥BC于點(diǎn)H，若

【答案】3+3或【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，設(shè)B′E交AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，則四邊形ABEM為矩形AB=ME=6，AM=BE=3，由折疊可知BE=B′E=3，∠BEF=∠B′EF，由平行線的性質(zhì)可得∠GFE=∠BEF，于是∠GFE=∠B′EF，F(xiàn)G=EG，利用勾股定理求得EH=1，證明△EMG∽△B′HE，利用相似三角形的性質(zhì)求得EG=332=FG，MG=32，于是FM=FG?MG=3，AF=3?3，則FD=AD?AF，代入計(jì)算即可得到答案；當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè)時(shí)，設(shè)B′F交BC【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，如圖，設(shè)B′E交AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，則∠AME=90°，∵點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，∴BE=CE=1∵四邊形ABCD為矩形，BC=6，∴AD=BC=6，∠A=∠B=90°，AD∥∴∠AME=∠A=∠B=90°，∴四邊形ABEM為矩形，∴AB=ME=6，AM=BE=3由折疊可知，BE=B′E=3∵AD∥∴∠GFE=∠BEF，∴∠GFE=∠B′EF∴FG=EG，∵B∴∠B在Rt△B′∵M(jìn)E⊥BC，B′∴∠EMG=∠B∵AD∥∴∠EGM=∠B∴△EMG∽△B∴EMB′H∴EG=332∴FM=FG?MG=3∴AF=AM?FM=3?3∴FD=AD?AF=6?(3?3當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè)時(shí)，如圖，設(shè)B′F交BC于點(diǎn)P，過點(diǎn)F作FK⊥BC于點(diǎn)同理可得：B′E=3，F(xiàn)P=EP，四邊形KCDF為矩形，F(xiàn)K=AB=6在Rt△B′∵△B∴B′EFP∴FP=332∴EK=EP?PK=3∴DF=CK=CE?EK=3?3綜上，F(xiàn)D的長(zhǎng)是3+3或3?故答案為：3+3或3?【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題是解題關(guān)鍵．【題型7利用等邊三角形的性質(zhì)求解】【例7】（2025·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A3,0，B0,4，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，連接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC為邊作等邊三角形BCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為；點(diǎn)D

【答案】?2,0?1?23,2+【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)tan∠ABC=2，設(shè)BE=x,CE=2x，則BC=5x，根據(jù)勾股定理可得求出AB=OA2+OB2=5，用等面積法推出OC=52x?3，最后在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC2+O【詳解】解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，∵tan∠ABC=2∴CEBE設(shè)BE=x,CE=2x，根據(jù)勾股定理可得：BC=B∵A3,0，B∴OA=3,OB=4，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理可得：AB=∵S△ABC∴12×5×2x=1在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理可得：O∴52解得：x1∴OC=5∴C

∵B0,4，C∴OB=4,OC=2，∴BC設(shè)Dm,n則BD2=∵△BCD為等邊三角形，∴BC即m2整理得m2②?①得：4m+8n=12，則將m=3?2n代入①得：3?2n2解得：n1=2+3當(dāng)n=2+3時(shí)，m=3?2n=?1?23，即當(dāng)n=2?3時(shí)，m=3?2n=23?1故答案為：?2,0；?1?23,2+3【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，掌握等邊三角形三邊相等，以及勾股定理．【變式7-1】（2025·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，△BPC是等邊三角形，則陰影部分的面積為．

【答案】12?43/【分析】作PM⊥DC于M點(diǎn)，PN⊥BC于N點(diǎn)，首先求出正方形的面積，然后根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)求出PM和PN，從而求出△PBC和△PCD的面積，最后作差求解即可．【詳解】解：如圖所示，作PM⊥DC于M點(diǎn)，PN⊥BC于N點(diǎn)，

∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，∴∠BCD=90°，BC=CD=4，S正方形∵△BPC是等邊三角形，∴∠BCP=60°，BC=CP=4，BN=CN=2，∴PN=C∴S△PBC∵∠BCD=90°，∠BCP=60°，∴∠PCM=30°，∴在Rt△PCM中，PM=∴S△PCD∵S陰影∴S陰影故答案為：12?43【點(diǎn)睛】本題考查正方和等邊三角形的性質(zhì)，以及30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，掌握?qǐng)D形的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（2025·遼寧·統(tǒng)考中考真題）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是射線BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AE，在AE的左側(cè)作等邊三角形AED，將線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段EF,連接BF．交DE于點(diǎn)M．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段DM與EM的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2．當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)BC=6，CE=2時(shí)，請(qǐng)直接寫出AM的長(zhǎng)．【答案】(1)DM=EM；(2)DM=EM仍然成立，理由見解析；(3)AM=39或21【分析】（1）可證得∠BAD=（2）連接BD、DF，可證明△BAD≌△CAE，從而∠ABD=∠ACE=120°，BD=CE，進(jìn)而得出∠DBE=60°，從而得出∠DBE+∠BEF=60°+120°=180°，從而BD∥EF（3）分為兩種情形∶當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，作AG⊥BC于G，可得出CG=3，AG=33，從而EG=CG+CE=3+2=5，進(jìn)而得出AE=213，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，作AG⊥BC于G，可得出EG=1，AE=【詳解】（1）解∶∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴∠BAC=60°，∠BAE=12∴∠BAE=30°∵△ADE是等邊三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE∴∠BAD=∴∠DAE=∴DM=EM；（2）解：如圖l，DM=EM仍然成立，理由如下∶連接BD、DF，

∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠DAE=∴∠BAC?∴∠BAD=∴△BAD≌△CAE(SAS∴∠ABD=∠ACE=180°?∴∠DBE=∴∠DBE+∴BD∥EF，∵CE=EF，∴BD=EF，∴四邊形BDFE是平行四邊形，∴DM=EM；（3）解：如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，作AG?BC于G，

∵∠ACB=60°∴CG=AC?cos60°=1∴EG=CG+CE=3+2=5，∴AE=A由（2）知∶DM=EM，∴AM⊥DE，∴∠AME=90°∴∠AED=60°∴AM=AE?sin如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，作AG⊥BC于G，

由上知∶AG=33∴EG=CG?CE=3?2=1，∴AE=A∴AM=27綜上所述∶AM=39或21【點(diǎn)睛】本題