九年級數(shù)學期末綜合試題及詳解這份期末綜合試題立足九年級數(shù)學核心知識，涵蓋二次函數(shù)、圓的性質(zhì)、相似三角形、概率統(tǒng)計等重點內(nèi)容，旨在考查學生的知識整合能力與解題思維。以下是試題及詳細解析，助力同學們梳理考點、突破難點。一、選擇題（每題3分，共30分）題目1：二次函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的頂點坐標為（）A.(2,-1)B.(2,1)C.(-2,-1)D.(-2,1)解析：求二次函數(shù)頂點坐標有兩種常用方法：配方法：將函數(shù)化為頂點式\(y=a(x-h)^2+k\)。對\(y=x^2-4x+3\)，配方得：\(y=x^2-4x+4-4+3=(x-2)^2-1\)，因此頂點為\((2,-1)\)。公式法：對于\(y=ax^2+bx+c\)，頂點橫坐標\(h=-\frac{2a}\)，縱坐標\(k=\frac{4ac-b^2}{4a}\)。此處\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=3\)，則：\(h=-\frac{-4}{2\times1}=2\)，\(k=\frac{4\times1\times3-(-4)^2}{4\times1}=\frac{12-16}{4}=-1\)，頂點為\((2,-1)\)。答案選A。易錯點：配方時易漏項或符號錯誤，需注意完全平方公式的應用。題目2：如圖，\(AB\)是\(⊙O\)的直徑，\(C\)是\(⊙O\)上一點，\(CD\)切\(zhòng)(⊙O\)于\(C\)，若\(∠ACD=40°\)，則\(∠ABC\)的度數(shù)為（）（圖：\(AB\)為直徑，\(O\)為圓心，\(CD\)切\(zhòng)(⊙O\)于\(C\)，連接\(OC\)、\(BC\)）A.40°B.50°C.60°D.70°解析：本題考查圓的切線性質(zhì)與圓周角定理。切線性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑，因此\(OC⊥CD\)，即\(∠OCD=90°\)。已知\(∠ACD=40°\)，則\(∠OCA=∠OCD-∠ACD=90°-40°=50°\)。因為\(OC=OA\)（都是半徑），所以\(△OAC\)是等腰三角形，\(∠OAC=∠OCA=50°\)。\(AB\)是直徑，根據(jù)圓周角定理，直徑所對的圓周角為直角，即\(∠ACB=90°\)。在\(Rt△ABC\)中，\(∠ABC=90°-∠OAC=90°-50°=40°\)。答案選A。題目3：已知\(△ABC\)與\(△DEF\)相似，且相似比為\(2:3\)，若\(△ABC\)的周長為12，則\(△DEF\)的周長為（）A.8B.16C.18D.24解析：相似三角形的周長比等于相似比。已知\(△ABC\)與\(△DEF\)的相似比為\(2:3\)，設\(△DEF\)的周長為\(x\)，則\(\frac{12}{x}=\frac{2}{3}\)，解得\(x=18\)。答案選C。易錯點：混淆相似比的順序，需注意“\(△ABC\)與\(△DEF\)相似比為\(2:3\)”即\(\frac{AB}{DE}=\frac{2}{3}\)，因此周長比也為\(2:3\)。二、填空題（每題3分，共18分）題目1：若二次根式\(\sqrt{x-2}\)有意義，則\(x\)的取值范圍是________。解析：二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負數(shù)，因此\(x-2≥0\)，解得\(x≥2\)。題目2：一個扇形的圓心角為\(60°\)，半徑為6，則該扇形的弧長為________（結果保留\(π\(zhòng))）。解析：扇形弧長公式為\(l=\frac{nπr}{180}\)（\(n\)為圓心角，\(r\)為半徑）。代入\(n=60\)，\(r=6\)，得：\(l=\frac{60π×6}{180}=2π\(zhòng))。題目3：如圖，點\(A\)在反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}(x>0)\)的圖象上，過\(A\)作\(AB⊥x\)軸于\(B\)，若\(△AOB\)的面積為3，則\(k=\)________。（圖：\(A\)在第一象限，\(AB⊥x\)軸，\(O\)為原點，\(△AOB\)為直角三角形）解析：反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)中，\(k\)的幾何意義為：過雙曲線上任意一點作\(x\)軸、\(y\)軸的垂線，所得三角形面積為\(\frac{|k|}{2}\)。已知\(△AOB\)的面積為3，且\(x>0\)，\(y>0\)（第一象限），因此\(\frac{|k|}{2}=3\)，又\(k>0\)（第一象限圖象），故\(k=6\)。三、解答題（共72分）題目1：解方程：\(x^2-5x+6=0\)（8分）解析：本題可通過因式分解法或公式法求解。因式分解法：將方程左邊分解因式，\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)，因此方程化為\((x-2)(x-3)=0\)。根據(jù)“若兩數(shù)之積為0，則至少其一為0”，得\(x-2=0\)或\(x-3=0\)，解得\(x_1=2\)，\(x_2=3\)。公式法：對于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)，求根公式為\(x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。此處\(a=1\)，\(b=-5\)，\(c=6\)，判別式\(Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×6=25-24=1\)。代入公式得\(x=\frac{5±\sqrt{1}}{2}=\frac{5±1}{2}\)，即\(x_1=3\)，\(x_2=2\)。題目2：如圖，\(AB\)是\(⊙O\)的直徑，\(D\)是\(⊙O\)上一點，\(AD\)的延長線與過\(B\)點的切線交于\(C\)，且\(AD=DC\)。求證：\(BD\)是\(∠ABC\)的平分線（10分）（圖：\(AB\)為直徑，\(BC\)切\(zhòng)(⊙O\)于\(B\)，\(C\)在\(BC\)上，\(AD=DC\)，連接\(BD\)）解析：證明角平分線，需證\(∠ABD=∠CBD\)。由切線性質(zhì)：\(BC\)切\(zhòng)(⊙O\)于\(B\)，故\(AB⊥BC\)，即\(∠ABC=90°\)。由直徑性質(zhì)：\(AB\)是直徑，故\(∠ADB=90°\)（直徑所對的圓周角為直角），即\(BD⊥AC\)。已知\(AD=DC\)，結合\(BD⊥AC\)，根據(jù)“線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等”，得\(AB=CB\)。又\(BD⊥AC\)，根據(jù)等腰三角形“三線合一”，\(BD\)平分\(∠ABC\)，即\(∠ABD=∠CBD\)。題目3：某商店銷售一種商品，每件成本為50元，經(jīng)市場調(diào)研，當售價為60元時，可銷售800件；售價每提高1元，銷售量將減少20件。設售價為\(x\)元（\(x≥60\)），總利潤為\(y\)元（12分）（1）求\(y\)與\(x\)的函數(shù)關系式；（2）當售價為多少元時，總利潤最大？最大利潤是多少？解析：利潤問題的核心是“利潤=每件利潤×銷售量”。（1）求函數(shù)關系式：每件利潤：售價\(x\)元-成本50元=\(x-50\)元。銷售量：原銷售量800件，售價每提高1元，銷量減少20件，因此銷量為\(800-20(x-60)\)件（\(x-60\)是售價提高的金額）。化簡銷量：\(800-20x+1200=2000-20x\)件?？偫麧橽(y=(x-50)(2000-20x)\)，展開得：\(y=-20x^2+3000x-____\)（\(x≥60\)）。（2）求最大利潤：函數(shù)\(y=-20x^2+3000x-____\)是二次函數(shù)，\(a=-20<0\)，圖象開口向下，頂點處取得最大值。頂點橫坐標（售價）：\(x=-\frac{2a}=-\frac{3000}{2×(-20)}=75\)元。頂點縱坐標（最大利潤）：將\(x=75\)代入函數(shù)，得：\(y=-20×75^2+3000×75-____=-____+____-____=____\)元。因此，當售價為75元時，總利潤最大，最大利潤為____元。題目4：某校為了解學生“體育大課間”的鍛煉效果，隨機抽取部分學生進行體能測試，成績分為A、B、C、D四個等級，繪制了如下統(tǒng)計圖（12分）（圖：條形圖顯示A等級20人，B等級40人，C等級？人，D等級10人；扇形圖顯示A占20%，B占40%，C占？%，D占10%）（1）求本次抽取的學生總數(shù)；（2）補全條形統(tǒng)計圖（求C等級人數(shù)）；（3）若該校共有1000名學生，估計體能成績?yōu)锳等級的學生人數(shù)；（4）從體能成績?yōu)锳的20名學生中隨機抽取2人參加市級比賽，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率（已知A等級中有12名男生，8名女生）。解析：（1）求學生總數(shù)：由扇形圖，A等級占20%，條形圖A等級有20人，因此總數(shù)\(N=\frac{20}{20\%}=100\)人。（2）補全條形圖（C等級人數(shù)）：總數(shù)100人，A20人，B40人，D10人，故C等級人數(shù)為\(100-20-40-10=30\)人。（3）估計A等級總人數(shù)：該校共1000人，A等級占比20%，因此估計人數(shù)為\(1000×20\%=200\)人。（4）求概率：A等級有12名男生（記為\(M_1,M_2,...,M_{12}\)）和8名女生（記為\(F_1,F_2,...,F_8\)），共20人。從20人中抽2人，總可能數(shù)為\(\frac{20×19}{2×1}=190\)種?！扒『?男1女”的可能數(shù)：從12男中抽1，從8女中抽1，即\(12×8=96\)種。因此概率\(P=\frac{96}{190}=\frac{48}{95}\)。總結