高數(shù)3考試內(nèi)容及答案一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)的定義域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\gt0\)C.\(x\lt0\)D.\(x\neq1\)答案：A2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\sinx\)與\(x\)是（）A.等價(jià)無窮小B.同階無窮小，但不等價(jià)C.高階無窮小D.低階無窮小答案：A3.設(shè)\(f(x)\)在\(x=0\)處可導(dǎo)，且\(f(0)=0\)，則\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\)等于（）A.\(f(0)\)B.\(f^\prime(0)\)C.\(0\)D.不存在答案：B4.曲線\(y=x^3-3x^2+1\)的拐點(diǎn)是（）A.\((0,1)\)B.\((1,-1)\)C.\((2,-3)\)D.不存在答案：C5.若\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，則\(\inte^{-x}f(e^{-x})dx\)等于（）A.\(F(e^{-x})+C\)B.\(-F(e^{-x})+C\)C.\(F(e^x)+C\)D.\(-F(e^x)+C\)答案：B6.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)的和是（）A.1B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.0答案：A7.設(shè)\(z=\ln(x^2+y^2)\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于（）A.\(\frac{2x}{x^2+y^2}\)B.\(\frac{2y}{x^2+y^2}\)C.\(\frac{1}{x^2+y^2}\)D.\(\frac{1}{2(x^2+y^2)}\)答案：A8.微分方程\(y^\prime+y=0\)的通解是（）A.\(y=Ce^{-x}\)B.\(y=Ce^{x}\)C.\(y=C\)D.\(y=1\)答案：A9.已知向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec=(3,2,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)等于（）A.10B.14C.12D.16答案：B10.直線\(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}\)與平面\(x+y+z=1\)的位置關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.直線在平面內(nèi)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(f(x)=\frac{1}{x}\)B.\(f(x)=e^x\)C.\(f(x)=\sinx\)D.\(f(x)=\begin{cases}x+1,x\geq0\\x-1,x\lt0\end{cases}\)答案：BCD2.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)B.\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}\)C.\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0-\Deltax)}{2\Deltax}\)D.\(\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)答案：ABCD3.下列積分可直接使用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算的有（）A.\(\int_{0}^{1}e^xdx\)B.\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sinxdx\)C.\(\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx\)D.\(\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx\)答案：AB4.下列級數(shù)收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)答案：ABC5.已知向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec=(3,2,1)\)，則與\(\vec{a}\)平行的向量有（）A.\((2,4,6)\)B.\((-1,-2,-3)\)C.\((\frac{1}{2},1,\frac{3}{2})\)D.\((3,2,1)\)答案：ABC三、判斷題1.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處必連續(xù)。（）答案：√2.常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0。（）答案：√3.若\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，則\(\intf(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C\)。（）答案：√4.若級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0\)。（）答案：√5.兩向量平行，則它們的對應(yīng)坐標(biāo)成比例。（）答案：√6.平面的一般方程\(Ax+By+Cz+D=0\)中，\(A\)、\(B\)、\(C\)不全為0。（）答案：√7.若函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上必有界。（）答案：√8.單調(diào)有界數(shù)列必有極限。（）答案：√9.若\(f(x)\)在\(x_0\)處不可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定不連續(xù)。（）答案：×10.兩個(gè)無窮小的商一定是無窮小。（）答案：×四、簡答題1.簡述函數(shù)連續(xù)性的定義。答案：如果函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量的增量\(\Deltax\to0\)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量\(\Deltay\to0\)，即\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\Deltay=0\)，則稱函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)。2.求函數(shù)\(y=x^2\lnx\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)，可得\(y^\prime=(x^2)^\prime\lnx+x^2(\lnx)^\prime=2x\lnx+x^2\times\frac{1}{x}=2x\lnx+x\)。3.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{1}e^{x^2}dx\)的值。答案：此定積分無法直接用初等函數(shù)表示其原函數(shù)，所以無法求出其精確值。4.說明級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)的斂散性。答案：級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是調(diào)和級數(shù)，它是發(fā)散的。因?yàn)楫?dāng)\(n\to\infty\)時(shí)，\(\frac{1}{n}\)不趨于0，根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件可知該級數(shù)發(fā)散。五、討論題1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2,x\leq1\\2x-1,x\gt1\end{cases}\)在\(x=1\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。答案：左極限\(\lim\limits_{x\to1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to1^{-}}x^2=1\)，右極限\(\lim\limits_{x\to1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to1^{+}}(2x-1)=1\)，且\(f(1)=1^2=1\)，左極限等于右極限等于函數(shù)值，所以函數(shù)在\(x=1\)處連續(xù)。左導(dǎo)數(shù)\(f^\prime_{-}(1)=\lim\limits_{h\to0^{-}}\frac{(1+h)^2-1}{h}=\lim\limits_{h\to0^{-}}(2+h)=2\)，右導(dǎo)數(shù)\(f^\prime_{+}(1)=\lim\limits_{h\to0^{+}}\frac{2(1+h)-1-1}{h}=\lim\limits_{h\to0^{+}}2=2\)，左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)，所以函數(shù)在\(x=1\)處可導(dǎo)。2.討論級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\)的斂散性，并說明是絕對收斂還是條件收斂。答案：這是一個(gè)交錯(cuò)級數(shù)，根據(jù)萊布尼茨判別法，\(\frac{1}{n}\)單調(diào)遞減且趨于0，所以該級數(shù)收斂。而\(\sum_{n=1}^{\infty}|\frac{(-1)^{n-1}}{n}|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是發(fā)散的，所以該級數(shù)是條件收斂。3.討論直線\(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}\)與直線\(\frac{x}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{0}\)的位置關(guān)系。答案：第一條直線的方向向量為\(\vec{m}=(1,1,-1)\)，第二條直線的方向向量為\(\vec{n}=(1,1,0)\)，因?yàn)閈(\vec{m}\cdot\vec{n}=1\times1+1\times1+(-1)\times0=2\neq0\)，所以兩直線不垂直；又因?yàn)閈(\frac{1}{1}\neq\frac{1}{1}\neq\frac{-1}{0}\)，所以兩直線不平行，所以兩直線相交但不垂直