專業(yè)數(shù)學(xué)考試題庫(kù)及答案一、單項(xiàng)選擇題1.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處（）A.連續(xù)B.可微C.連續(xù)且可微D.以上都不對(duì)答案：C2.極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在答案：B3.設(shè)\(f(x)=x^2\)，則\(f^\prime(1)\)等于（）A.2B.1C.0D.-2答案：A4.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.2答案：A5.函數(shù)\(f(x)=\lnx\)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.\((-\infty,0)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((-\infty,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)答案：B6.直線\(y=2x+1\)的斜率為（）A.1B.2C.-1D.-2答案：B7.圓\(x^2+y^2=1\)的圓心坐標(biāo)為（）A.(0,0)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,1)答案：A8.若向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow\)等于（）A.(4,6)B.(-2,-2)C.(2,2)D.(6,8)答案：A9.二項(xiàng)式\((x+\frac{1}{x})^6\)的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A.15B.20C.60D.120答案：B10.已知\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為\((1,2)\)、\((3,4)\)，則\(\overrightarrow{AB}\)的坐標(biāo)為（）A.(2,2)B.(-2,-2)C.(4,6)D.(-4,-6)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(f(x)=\frac{1}{x}\)B.\(f(x)=x^2\)C.\(f(x)=\sinx\)D.\(f(x)=\lnx\)答案：BCD2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x\)答案：ABCD3.下列求導(dǎo)公式正確的有（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\cosx)^\prime=-\sinx\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)答案：ABCD4.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)B.\(\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx=\ln2\)C.\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2\)D.\(\int_{0}^{\pi}\cosxdx=0\)答案：ABD5.下列直線中與直線\(2x-y+1=0\)平行的有（）A.\(2x-y-1=0\)B.\(x-2y+1=0\)C.\(2x+y-1=0\)D.\(4x-2y+1=0\)答案：AD三、判斷題1.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）答案：√2.極限\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1}=1\)。（）答案：√3.函數(shù)\(f(x)=x^3\)的導(dǎo)數(shù)為\(f^\prime(x)=3x^2\)。（）答案：√4.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)表示由曲線\(y=f(x)\)，直線\(x=a\)，\(x=b\)及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形的面積。（）答案：×5.兩向量平行，則它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例。（）答案：√6.二項(xiàng)式\((a+b)^n\)展開式的通項(xiàng)公式為\(T_{r+1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}\)。（）答案：√7.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時(shí)為0）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）答案：×8.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處取得極值，則\(f^\prime(x_0)=0\)。（）答案：×9.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量的符號(hào)無(wú)關(guān)。（）答案：√10.向量\(\overrightarrow{a}\)與向量\(-\overrightarrow{a}\)的模相等。（）答案：√四、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系。函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)一定連續(xù)；但函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。例如\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)處連續(xù)，但不可導(dǎo)。2.求極限\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)。對(duì)\(\frac{x^2-1}{x-1}\)進(jìn)行化簡(jiǎn)，\(\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1\)，當(dāng)\(x\to1\)時(shí)，極限值為\(1+1=2\)。3.求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的單調(diào)區(qū)間。對(duì)\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(f^\prime(x)>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，令\(f^\prime(x)<0\)，解得\(0<x<2\)，所以單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((0,2)\)。4.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{2\pi}|\cosx|dx\)。因?yàn)閈(\cosx\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上大于0，在\([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)上小于0，在\([\frac{3\pi}{2},2\pi]\)上大于0，所以\(\int_{0}^{2\pi}|\cosx|dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cosxdx-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\cosxdx+\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\cosxdx=\sinx|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\sinx|_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}+\sinx|_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}=1-(-1-1)+(1-(-1))=4\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+1\)的極值點(diǎn)及極值。對(duì)\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\)，令\(f^\prime(x)=0\)，解得\(x=3\)或\(x=-1\)。當(dāng)\(x<-1\)時(shí)，\(f^\prime(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(-1<x<3\)時(shí)，\(f^\prime(x)<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>3\)時(shí)，\(f^\prime(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。所以\(x=-1\)為極大值點(diǎn)，極大值為\(f(-1)=\frac{1}{3}\times(-1)^3-(-1)^2-3\times(-1)+1=\frac{8}{3}\)；\(x=3\)為極小值點(diǎn)，極小值為\(f(3)=\frac{1}{3}\times3^3-3^2-3\times3+1=-8\)。2.討論直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時(shí)為0）與直線\(mx+ny+p=0\)（\(m\)、\(n\)不同時(shí)為0）平行的條件。兩直線平行，則它們的斜率相等。直線\(Ax+By+C=0\)的斜率為\(-\frac{A}{B}\)，直線\(mx+ny+p=0\)的斜率為\(-\frac{m}{n}\)，所以當(dāng)\(-\frac{A}{B}=-\frac{m}{n}\)且\(\frac{C}{B}\neq\frac{p}{n}\)時(shí)兩直線平行。3.討論向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)與向量\(\overrightarrow=(2,4)\)的關(guān)系。因?yàn)閈(\overrightarrow=