八年級(jí)一次函數(shù)習(xí)題集及詳細(xì)解析同學(xué)們，一次函數(shù)是我們初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要基石，它不僅連接著代數(shù)與幾何，更是后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜函數(shù)的基礎(chǔ)。掌握一次函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)及應(yīng)用，需要通過適量的練習(xí)來鞏固。下面這份習(xí)題集，希望能幫助你系統(tǒng)梳理知識(shí)，提升解題能力。每道題都附有詳細(xì)的解析，建議你先獨(dú)立思考，嘗試解答，然后再對(duì)照解析查漏補(bǔ)缺。一、概念辨析與基礎(chǔ)鞏固1.下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？(1)\(y=3x-2\)(2)\(y=\frac{1}{x}\)(3)\(y=x^2+1\)(4)\(y=-0.5x\)(5)\(y=2\)解析：一次函數(shù)的一般形式是\(y=kx+b\)（其中\(zhòng)(k\)、\(b\)是常數(shù)，且\(k\neq0\)）。當(dāng)\(b=0\)時(shí)，一次函數(shù)就變成了正比例函數(shù)\(y=kx\)（\(k\neq0\)）。(1)\(y=3x-2\)：符合\(y=kx+b\)的形式，\(k=3\neq0\)，\(b=-2\)，是一次函數(shù)。(2)\(y=\frac{1}{x}\)：可變形為\(y=x^{-1}\)，自變量\(x\)的次數(shù)是-1，不是一次函數(shù)。(3)\(y=x^2+1\)：自變量\(x\)的次數(shù)是2，不是一次函數(shù)。(4)\(y=-0.5x\)：符合\(y=kx\)的形式，\(k=-0.5\neq0\)，是正比例函數(shù)，也是一次函數(shù)。(5)\(y=2\)：可看作\(y=0x+2\)，但此時(shí)\(k=0\)，不符合一次函數(shù)定義中\(zhòng)(k\neq0\)的條件，不是一次函數(shù)。結(jié)論：一次函數(shù)有(1)(4)；正比例函數(shù)有(4)。2.已知函數(shù)\(y=(m-1)x^{|m|}+2\)是一次函數(shù)，求\(m\)的值。解析：因?yàn)楹瘮?shù)是一次函數(shù)，所以必須滿足兩個(gè)條件：1.自變量\(x\)的次數(shù)為1，即\(|m|=1\)；2.自變量\(x\)的系數(shù)不為0，即\(m-1\neq0\)。由\(|m|=1\)可得\(m=1\)或\(m=-1\)。由\(m-1\neq0\)可得\(m\neq1\)。綜上，\(m=-1\)。答案：\(m=-1\)二、函數(shù)表達(dá)式的求解3.已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)\(A(2,4)\)和點(diǎn)\(B(-1,-5)\)，求此一次函數(shù)的表達(dá)式。解析：設(shè)該一次函數(shù)的表達(dá)式為\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）。因?yàn)楹瘮?shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)\(A(2,4)\)和點(diǎn)\(B(-1,-5)\)，所以將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入表達(dá)式中，得到方程組：\[\begin{cases}4=2k+b\\-5=-k+b\end{cases}\]我們用消元法來解這個(gè)方程組。用第一個(gè)方程減去第二個(gè)方程：\(4-(-5)=(2k+b)-(-k+b)\)\(9=3k\)解得\(k=3\)。將\(k=3\)代入第一個(gè)方程\(4=2\times3+b\)，得\(4=6+b\)，解得\(b=-2\)。所以，此一次函數(shù)的表達(dá)式為\(y=3x-2\)。答案：\(y=3x-2\)4.已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖像與\(y\)軸交于點(diǎn)\((0,-3)\)，且與直線\(y=2x\)平行，求此函數(shù)的表達(dá)式。解析：兩條直線平行，它們的斜率（即\(k\)值）相等。已知所求直線與\(y=2x\)平行，所以\(k=2\)。又因?yàn)楹瘮?shù)圖像與\(y\)軸交于點(diǎn)\((0,-3)\)，這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是\(b\)的值，所以\(b=-3\)。因此，此一次函數(shù)的表達(dá)式為\(y=2x-3\)。答案：\(y=2x-3\)三、函數(shù)圖像的繪制與性質(zhì)分析5.在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)\(y=2x+1\)和\(y=-x+4\)的圖像，并求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)。解析：繪制一次函數(shù)圖像，通常采用“兩點(diǎn)法”。對(duì)于\(y=2x+1\)：當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=1\)，得到點(diǎn)\((0,1)\)；當(dāng)\(y=0\)時(shí)，\(2x+1=0\)，解得\(x=-0.5\)，得到點(diǎn)\((-0.5,0)\)。連接這兩點(diǎn)，即可得到\(y=2x+1\)的圖像。對(duì)于\(y=-x+4\)：當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=4\)，得到點(diǎn)\((0,4)\)；當(dāng)\(y=0\)時(shí)，\(-x+4=0\)，解得\(x=4\)，得到點(diǎn)\((4,0)\)。連接這兩點(diǎn)，即可得到\(y=-x+4\)的圖像。求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解方程組：\[\begin{cases}y=2x+1\\y=-x+4\end{cases}\]將第一個(gè)方程代入第二個(gè)方程：\(2x+1=-x+4\)移項(xiàng)得：\(2x+x=4-1\)\(3x=3\)解得\(x=1\)將\(x=1\)代入\(y=2x+1\)，得\(y=2\times1+1=3\)所以，交點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,3)\)。答案：交點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,3)\)6.已知一次函數(shù)\(y=(k-1)x+2k-3\)。(1)\(k\)為何值時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過原點(diǎn)？(2)\(k\)為何值時(shí)，函數(shù)圖像與\(y\)軸的交點(diǎn)在\(x\)軸的上方？(3)\(k\)為何值時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過第一、二、四象限？解析：(1)函數(shù)圖像經(jīng)過原點(diǎn)\((0,0)\)，將\(x=0\)，\(y=0\)代入函數(shù)表達(dá)式：\(0=(k-1)\times0+2k-3\)即\(2k-3=0\)，解得\(k=1.5\)。同時(shí)，一次函數(shù)要求\(k-1\neq0\)，當(dāng)\(k=1.5\)時(shí)，\(k-1=0.5\neq0\)，滿足條件。所以，當(dāng)\(k=1.5\)時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過原點(diǎn)。(2)函數(shù)圖像與\(y\)軸的交點(diǎn)，即\(x=0\)時(shí)的\(y\)值。此時(shí)\(y=2k-3\)。交點(diǎn)在\(x\)軸上方，即\(y>0\)，所以\(2k-3>0\)，解得\(k>1.5\)。同樣，需滿足\(k-1\neq0\)，即\(k\neq1\)。但\(k>1.5\)已包含\(k\neq1\)，故只需\(k>1.5\)。所以，當(dāng)\(k>1.5\)時(shí)，函數(shù)圖像與\(y\)軸的交點(diǎn)在\(x\)軸上方。(3)函數(shù)圖像經(jīng)過第一、二、四象限，對(duì)于一次函數(shù)\(y=kx+b\)（這里的\(k\)是題目中的\(k-1\)，\(b\)是題目中的\(2k-3\)），需要滿足：斜率小于0：\(k-1<0\)，即\(k<1\)；與\(y\)軸交點(diǎn)在正半軸：\(2k-3>0\)，即\(k>1.5\)。但是，\(k<1\)與\(k>1.5\)沒有交集，這意味著不存在這樣的\(k\)值能使函數(shù)圖像同時(shí)經(jīng)過第一、二、四象限。答案：(1)\(k=1.5\)(2)\(k>1.5\)(3)不存在這樣的\(k\)值。四、一次函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系7.利用函數(shù)圖像解不等式\(3x-2>x+1\)。解析：可以將不等式\(3x-2>x+1\)的求解，轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)一次函數(shù)值的大小。設(shè)\(y_1=3x-2\)，\(y_2=x+1\)。原不等式即\(y_1>y_2\)。首先，求出\(y_1\)與\(y_2\)的交點(diǎn)。令\(3x-2=x+1\)，解得\(2x=3\)，\(x=1.5\)。將\(x=1.5\)代入\(y_2\)得\(y=1.5+1=2.5\)，交點(diǎn)坐標(biāo)為\((1.5,2.5)\)。在同一坐標(biāo)系中畫出\(y_1=3x-2\)和\(y_2=x+1\)的圖像。\(y_1\)的斜率為3，\(y_2\)的斜率為1，\(y_1\)比\(y_2\)更陡。觀察圖像可知，當(dāng)\(x>1.5\)時(shí)，直線\(y_1\)在直線\(y_2\)的上方，即\(y_1>y_2\)。所以，不等式\(3x-2>x+1\)的解集為\(x>1.5\)。答案：\(x>1.5\)8.已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖像經(jīng)過點(diǎn)\((1,3)\)和點(diǎn)\((-2,-3)\)，求關(guān)于\(x\)的方程\(kx+b=0\)的解。解析：首先，利用已知的兩個(gè)點(diǎn)求出一次函數(shù)的表達(dá)式。將點(diǎn)\((1,3)\)和\((-2,-3)\)代入\(y=kx+b\)，得：\[\begin{cases}3=k+b\\-3=-2k+b\end{cases}\]用第一個(gè)方程減去第二個(gè)方程：\(3-(-3)=(k+b)-(-2k+b)\)\(6=3k\)，解得\(k=2\)。將\(k=2\)代入第一個(gè)方程：\(3=2+b\)，解得\(b=1\)。所以，函數(shù)表達(dá)式為\(y=2x+1\)。方程\(kx+b=0\)即\(2x+1=0\)，解得\(x=-0.5\)。從函數(shù)圖像的角度看，方程\(kx+b=0\)的解就是函數(shù)\(y=kx+b\)的圖像與\(x\)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。答案：\(x=-0.5\)五、一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用9.小明從家出發(fā)去學(xué)校，先走一段平路，然后上坡到達(dá)學(xué)校。他行走的路程\(s\)（米）與所用時(shí)間\(t\)（分鐘）的關(guān)系如圖所示（假設(shè)各段均為勻速行走）。(1)小明走平路時(shí)的速度是多少？上坡時(shí)的速度是多少？(2)小明家到學(xué)校的總路程是多少？(3)若小明放學(xué)后按原路返回，且下坡速度是上坡速度的1.5倍，平路速度不變，那么他從學(xué)校到家需要多少分鐘？*(說明：此處原題應(yīng)有圖，但文字描述為：圖像分為兩段，第一段從(0,0)到(5,300)，第二段從(5,300)到(11,540)。)*解析：(1)圖像的第一段是平路，從\(t=0\)到\(t=5\)分鐘，路程從0米到300米。平路速度\(v_平=\frac{路程}{時(shí)間}=\frac{300}{5}=60\)米/分鐘。圖像的第二段是上坡，從\(t=5\)分鐘到\(t=11\)分鐘，所用時(shí)間為\(11-5=6\)分鐘，路程從300米到540米，上坡路程為\(540-300=240\)米。上坡速度\(v_上=\frac{240}{6}=40\)米/分鐘。(2)小明家到學(xué)校的總路程就是圖像終點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即540米。(3)放學(xué)原路返回，那么上坡路變?yōu)橄缕侣罚铰凡蛔?。下坡路程?40米，下坡速度是上坡速度的1.5倍，即\(v_下=1.5\timesv_上=1.5\times40=60\)米/分鐘。下坡所用時(shí)間\(t_下=\frac{240}{60}=4\)分鐘。平路路程為300米，平路速度不變，仍為60米/分鐘，所用時(shí)間\(t_平=\frac{300}{60}=5\)分鐘?？倳r(shí)間\(t_總=t_下+t_平=4+5=9\)分鐘。答案：(1)平路速度60米/分鐘，上坡速度40米/分鐘。(2)總路程540米。(3)從學(xué)校到