三角函數(shù)公式及應(yīng)用匯編表格三角函數(shù)作為數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)工具，在幾何、物理、工程等眾多領(lǐng)域均有廣泛應(yīng)用。掌握其核心公式并靈活運(yùn)用，是解決相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵。本文旨在系統(tǒng)梳理三角函數(shù)的常用公式，并輔以簡(jiǎn)要說(shuō)明與應(yīng)用場(chǎng)景，以期為讀者提供一份實(shí)用的參考資料。一、三角函數(shù)的基本定義在直角坐標(biāo)系中，設(shè)角\(\alpha\)的終邊上任意一點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)為\((x,y)\)，它與原點(diǎn)的距離為\(r=\sqrt{x^2+y^2}>0\)，則：函數(shù)名稱定義式直角三角形中定義(銳角\(\alpha\)):-------:-----------:----------------------------------正弦\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)對(duì)邊/斜邊余弦\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)鄰邊/斜邊正切\(zhòng)(\tan\alpha=\frac{y}{x}\)(\(x\neq0\))對(duì)邊/鄰邊余切\(zhòng)(\cot\alpha=\frac{x}{y}\)(\(y\neq0\))鄰邊/對(duì)邊正割\(\sec\alpha=\frac{r}{x}\)(\(x\neq0\))斜邊/鄰邊余割\(\csc\alpha=\frac{r}{y}\)(\(y\neq0\))斜邊/對(duì)邊>說(shuō)明：在單位圓（\(r=1\)）中，\(\sin\alpha=y\)，\(\cos\alpha=x\)，這為三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)研究提供了便利。二、常用三角函數(shù)公式匯編（一）同角三角函數(shù)基本關(guān)系關(guān)系類型公式內(nèi)容說(shuō)明與應(yīng)用:-----------:-----------------------------------------------------------------------:-------------------------------------------------------------------------平方關(guān)系\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)已知一個(gè)三角函數(shù)值，求同角的其他三角函數(shù)值；化簡(jiǎn)三角函數(shù)式。\(1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha\)\(1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha\)商數(shù)關(guān)系\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)將正切、余切化為正余弦，簡(jiǎn)化表達(dá)式或證明恒等式。\(\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\)倒數(shù)關(guān)系\(\sin\alpha\cdot\csc\alpha=1\)正余函數(shù)間的轉(zhuǎn)換。\(\cos\alpha\cdot\sec\alpha=1\)\(\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1\)（二）誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式的記憶口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”?！捌孀兣疾蛔儭敝傅氖钱?dāng)\(\frac{\pi}{2}\)的倍數(shù)為奇數(shù)時(shí)，三角函數(shù)名稱發(fā)生變化（正弦變余弦，正切變余切等）；為偶數(shù)時(shí)，名稱不變?！胺?hào)看象限”指的是將\(\alpha\)視為銳角時(shí)，原三角函數(shù)在相應(yīng)象限的符號(hào)即為結(jié)果的符號(hào)。公式形式正弦值余弦值正切值:---------------------------:-----------:-----------:-----------\(\sin(-\alpha)\)\(-\sin\alpha\)\(\cos\alpha\)\(-\tan\alpha\)\(\cos(-\alpha)\)\(\cos\alpha\)\(\sin\alpha\)\(-\cot\alpha\)\(\tan(-\alpha)\)\(-\tan\alpha\)\(-\cot\alpha\)\(\tan\alpha\)\(\sin(\pi-\alpha)\)\(\sin\alpha\)\(-\cos\alpha\)\(-\tan\alpha\)\(\cos(\pi-\alpha)\)\(-\cos\alpha\)\(-\sin\alpha\)\(\cot\alpha\)\(\tan(\pi-\alpha)\)\(-\tan\alpha\)\(\cot\alpha\)\(-\tan\alpha\)\(\sin(\pi+\alpha)\)\(-\sin\alpha\)\(-\cos\alpha\)\(\tan\alpha\)\(\cos(\pi+\alpha)\)\(-\cos\alpha\)\(\sin\alpha\)\(-\cot\alpha\)\(\tan(\pi+\alpha)\)\(\tan\alpha\)\(-\cot\alpha\)\(\tan\alpha\)\(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\)\(\cos\alpha\)\(\sin\alpha\)\(\cot\alpha\)\(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\)\(\sin\alpha\)\(\cos\alpha\)\(\tan\alpha\)\(\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\)\(\cos\alpha\)\(-\sin\alpha\)\(-\cot\alpha\)\(\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\)\(-\sin\alpha\)\(\cos\alpha\)\(-\tan\alpha\)>應(yīng)用：將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，以便計(jì)算或化簡(jiǎn)。（三）和差角公式和角公式差角公式:---------------------------------------:---------------------------------------\(\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB\)\(\sin(A-B)=\sinA\cosB-\cosA\sinB\)\(\cos(A+B)=\cosA\cosB-\sinA\sinB\)\(\cos(A-B)=\cosA\cosB+\sinA\sinB\)\(\tan(A+B)=\frac{\tanA+\tanB}{1-\tanA\tanB}\)\(\tan(A-B)=\frac{\tanA-\tanB}{1+\tanA\tanB}\)>說(shuō)明與應(yīng)用：用于計(jì)算兩個(gè)角的和或差的三角函數(shù)值，是推導(dǎo)倍角、半角公式的基礎(chǔ)，在解三角形、物理運(yùn)動(dòng)合成等問(wèn)題中應(yīng)用廣泛。（四）二倍角公式函數(shù)二倍角公式另一種常用形式(降冪公式):---------:---------------------------------------------:--------------------------------------------正弦\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)余弦\(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)\(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1\)\(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\)正切\(zhòng)(\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\)降冪公式\(\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}\)用于降低三角函數(shù)的冪次，便于積分或化簡(jiǎn)。\(\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}\)>應(yīng)用：已知單角三角函數(shù)值求二倍角三角函數(shù)值，進(jìn)行恒等變形，解決與角的倍數(shù)相關(guān)的幾何和物理問(wèn)題。（五）半角公式半角公式可由二倍角公式推導(dǎo)得出，常用于將一個(gè)角的三角函數(shù)表示為其半角的三角函數(shù)。函數(shù)半角公式(帶符號(hào)):---------:-------------------------------------------------------------------------------正弦\(\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\)余弦\(\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\)正切\(zhòng)(\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\)\(\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\)>說(shuō)明：公式中的正負(fù)號(hào)由\(\frac{\alpha}{2}\)所在的象限決定。后兩個(gè)正切半角公式不帶根號(hào)，計(jì)算時(shí)更方便，且無(wú)需判斷符號(hào)。（六）和差化積與積化和差公式和差化積公式積化和差公式:-------------------------------------------:-----------------------------------------------\(\sinA+\sinB=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)\(\sinA\cosB=\frac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)]\)\(\sinA-\sinB=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)\(\cosA\sinB=\frac{1}{2}[\sin(A+B)-\sin(A-B)]\)\(\cosA+\cosB=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)\(\cosA\cosB=\frac{1}{2}[\cos(A+B)+\cos(A-B)]\)\(\cosA-\cosB=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)\(\sinA\sinB=-\frac{1}{2}[\cos(A+B)-\cos(A-B)]\)>應(yīng)用：和差化積用于將三角函數(shù)的和差形式轉(zhuǎn)化為乘積形式，便于因式分解或化簡(jiǎn)；積化和差則相反，常用于積分運(yùn)算或把乘積形式的三角函數(shù)化為和差形式以簡(jiǎn)化計(jì)算。（七）輔助角公式（合一變形公式）對(duì)于形如\(a\sin\alpha+b\cos\alpha\)的表達(dá)式，可以化為一個(gè)單一的三角函數(shù)形式：\[a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\varphi)\]其中，\(\tan\varphi=\frac{a}\)（或\(\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\sin\varphi=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}\)），\(\varphi\)角所在的象限由\(a,b\)的符號(hào)確定。也可表示為余弦形式：\[a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\alpha-\theta)\]其中，\(\tan\theta=\frac{a}\)。>應(yīng)用：求三角函數(shù)的最值、單調(diào)區(qū)間，化簡(jiǎn)三角函數(shù)表達(dá)式，分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)等周期性現(xiàn)象。三、應(yīng)用示例簡(jiǎn)舉1.利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值：已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)為第二象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)。解：由\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)得\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac{4}{5}\)（第二象限余弦為負(fù)），則\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}\)。2.利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)\(\sin(\pi+\alpha)\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)\)。解：\(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\sin\alpha\)，故原式=\((-\sin\alpha)(-\sin\alpha)=\sin^2\alpha\)。3.利用和差角公式證明：證明\(\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\sin^2\