第1頁（共1頁）2025-2026學年湖南省長沙市北雅中學八年級（上）入學數(shù)學試卷一、單選題（共10題，每題3分）1．（3分）把無理數(shù)表示在數(shù)軸上，在這四個無理數(shù)中（如圖所示）覆蓋住的無理數(shù)是（）A． B． C． D．2．（3分）若a＜b，則下列不等式一定成立的是（）A．a(chǎn)+b＜2b B．a(chǎn)﹣c＜b+c C．a(chǎn)c＜bc D．3．（3分）下列等式正確的是（）A．＝﹣3 B．＝±12 C．＝﹣2 D．﹣＝﹣54．（3分）每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基礎，為了解某校800名初三學生的睡眠時間，下列說法正確的是（）A．800名學生是總體 B．100是樣本容量 C．17個班級是抽取的一個樣本 D．每名學生是個體5．（3分）有4根長度分別為2、4、6、7的木條，從中任意選出三根，其中能構(gòu)成三角形的有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種6．（3分）如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，F(xiàn)，且DE＝BF，若利用“HL”證明△DEC≌△BFA（）A．EC＝FA B．DC＝BA C．∠D＝∠B D．∠DCE＝∠BAF7．（3分）我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，那么有7人無房可?。蝗绻婚g客房住9人，若設該店有客房x間，房客y人（）A． B． C． D．8．（3分）俄羅斯方塊是一款經(jīng)典休閑益智游戲，如圖是小宇玩俄羅斯方塊時某一時刻的截圖，若在以O為原點建立的平面直角坐標系中，再向下移動6個格子后，點A恰好落在點B（3，1）處（）A．（4，7） B．（5，6） C．（5，7） D．（7，5）9．（3分）過一點畫已知直線的平行線（）A．有且只有一條 B．不存在 C．有兩條 D．不存在或有且只有一條10．（3分）已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB△ACE﹣S△BCE＝S△ADC．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（共6題，每題3分）11．（3分）如圖，這是小明同學在體育課上跳遠測量的方法，其中蘊含的數(shù)學道理是．12．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是．13．（3分）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高，交CD于點E，BC＝5，則△BCE的面積等于．14．（3分）一個零件的形狀如圖，按規(guī)定∠A＝90°，∠B＝∠D＝25°，只要檢驗∠BCD的度數(shù)就可以了．量得∠BCD＝140°，這個零件（填“合格”或“不合格”）．15．（3分）若關于x，y的方程組的解x與y互為相反數(shù)．16．（3分）已知關于x的不等式組的解集是﹣1＜x＜1，則（a+1）（b﹣1）＝．三、解答題17．（6分）計算：．18．（6分）求下列各式中x的值：（1）1；（2）（x﹣2）2＝169．19．（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）將△ABC平移得到△A1B1C1，其中A的對應點是A1（2，1）；（1）寫出點B，C的對應點B1，C1的坐標：B1，C1；（2）在圖中畫出△A1B1C1；（3）設點P在x軸上，且△BCP的面積等于△ABC的面積，求出點P的坐標．20．（8分）請將下列證明過程補充完整：如圖，已知CD⊥AB，GF⊥AB，求證：∠FEC+∠ECB＝180°．證明：∵CD⊥AB，GF⊥AB；∴∠CDF＝∠GFB＝90°；∴CD∥（同位角相等，兩直線平行）；∴∠FGB＝∠2；∵∠1＝∠2（已知）；∴∠1＝；∴EF∥BC（）；∴∠FEC+∠ECB＝180°（）．21．（8分）如圖，已知AB⊥CF于點B，DE⊥CF于點E，AH＝DG，∠C＝∠F．（1）求證：△ABH≌△DEG；（2）求證：CE＝FB．22．（9分）我國國產(chǎn)動畫電影“哪吒2魔童鬧?！逼狈客黄屏?50億，商家推出A、B兩種類型的哪吒紀念娃娃，若用380元可購進A種娃娃7件；用340元可購進A種娃娃11件，B種娃娃4件．（1）求A、B兩種娃娃的進價分別為多少？（2）若每件A種娃娃售價為25元，每件B種娃娃售價為37元，某商店準備用不超過900元購進A、B兩種娃娃40件，問共有幾種方案并求出利潤最大值？23．（9分）（1）如圖1，在△ABC中，∠B、∠C的平分線BE，∠ABC＝40°，∠A＝60°；（2）如圖2，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC＝42°，①求∠CAB的度數(shù)；②求∠CAP的度數(shù)．24．（10分）已知在平面直角坐標系中，點A的坐標是（0，2），點P是第一象限內(nèi)一動點．（1）如圖1，若動點P（a，b）滿足|3a﹣9|+（3﹣b）2＝0，求點P的坐標；（2）如圖2，在第（1）問的條件下，①求點B的坐標；②當∠APB＝∠CPD，求OD﹣OC的值．（3）如圖3，若OA＝OA′，且BM⊥PA′，問：的值是否發(fā)生變化？若變化，若不變化，請求出其值．25．（10分）我們約定：不等式組m＜x＜n，m＜x≤n，m≤x＜n，（m＜n），不等式組的整數(shù)解稱為不等式組的“整點”．例如：﹣2＜x≤2的“長度”d＝2﹣（﹣2）＝4，0，1，2．根據(jù)該約定，解答下列問題：（1）不等式組的“長度”d＝；“整點”為；（2）若不等式組的“長度”d＝2，求a的取值范圍；（3）若不等式組的“長度，此時是否存在實數(shù)m使得關于y的不等式組，若存在，求出m的取值范圍，請說明理由．

2025-2026學年湖南省長沙市北雅中學八年級（上）入學數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CADBBBBCDD一、單選題（共10題，每題3分）1．（3分）把無理數(shù)表示在數(shù)軸上，在這四個無理數(shù)中（如圖所示）覆蓋住的無理數(shù)是（）A． B． C． D．【解答】解：，35，＝2＜，﹣，則在這四個無理數(shù)中，被墨跡（如圖所示）覆蓋住的無理數(shù)是，故選：C．2．（3分）若a＜b，則下列不等式一定成立的是（）A．a(chǎn)+b＜2b B．a(chǎn)﹣c＜b+c C．a(chǎn)c＜bc D．【解答】解：A．∵a＜b，∴a+b＜2b，故A選項正確；B．∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，故B選項錯誤；C．∵a＜b，∴當c＞0時，ac＜bc，ac＞bc，ac＝bc，不符合題意；D．∵a＜b，∴當c＞8時，，當c＜0時，，不符合題意；故選：A．3．（3分）下列等式正確的是（）A．＝﹣3 B．＝±12 C．＝﹣2 D．﹣＝﹣5【解答】解：A、原式＝|﹣3|＝3；B、原式＝12；C、原式?jīng)]有意義；D、原式＝﹣3，故選：D．4．（3分）每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基礎，為了解某校800名初三學生的睡眠時間，下列說法正確的是（）A．800名學生是總體 B．100是樣本容量 C．17個班級是抽取的一個樣本 D．每名學生是個體【解答】解：每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基礎，從17個班級中抽取100名學生進行調(diào)查，A、800名學生的睡眠時間是總體；B、100是樣本容量；C、從17個班級中抽取100名學生的睡眠時間是抽取的一個樣本；D、每名學生的睡眠時間是個體．故選：B．5．（3分）有4根長度分別為2、4、6、7的木條，從中任意選出三根，其中能構(gòu)成三角形的有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【解答】解：從中任意選出三根，有以下4種情況：2、3、6，2、5、7，2、4、7，4、6、7，2+6＝6，不能構(gòu)成三角形，2+3＜7，不能構(gòu)成三角形，2+8＞7，能構(gòu)成三角形，4+3＞7，能構(gòu)成三角形，∴其中能構(gòu)成三角形的有2種．故選：B．6．（3分）如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，F(xiàn)，且DE＝BF，若利用“HL”證明△DEC≌△BFA（）A．EC＝FA B．DC＝BA C．∠D＝∠B D．∠DCE＝∠BAF【解答】解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°，∵DE＝BF，且DE和BF為直角邊，∴若利用“HL”證明△DEC≌△BFA，需要添加的條件是斜邊相等，∵DC、BA分別為兩個直角三角形的斜邊，∴需要添加的條件是DC＝BA，故選：B．7．（3分）我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，那么有7人無房可住；如果一間客房住9人，若設該店有客房x間，房客y人（）A． B． C． D．【解答】解：設該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意得：，故選：B．8．（3分）俄羅斯方塊是一款經(jīng)典休閑益智游戲，如圖是小宇玩俄羅斯方塊時某一時刻的截圖，若在以O為原點建立的平面直角坐標系中，再向下移動6個格子后，點A恰好落在點B（3，1）處（）A．（4，7） B．（5，6） C．（5，7） D．（7，5）【解答】解：根據(jù)坐標平移的性質(zhì)，∵點A先向左移動2個格子，再向下移動6個格子后的位置為點B，∴將點B（8，1）先向上移動6個格于，∴上方的方塊移動前點A所在位置的坐標為（4，7），綜上所述，只有選項C正確，故選：C．9．（3分）過一點畫已知直線的平行線（）A．有且只有一條 B．不存在 C．有兩條 D．不存在或有且只有一條【解答】解：若點在直線上，過這點不能畫已知直線的平行線；若點在直線外，根據(jù)平行公理．故選：D．10．（3分）已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB△ACE﹣S△BCE＝S△ADC．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：①在AE取點F，使EF＝BE．∵AB＝AD+2BE＝AF+EF+BE，EF＝BE，∴AB＝AD+2BE＝AF+3BE，∴AD＝AF，∴AB+AD＝AF+EF+BE+AD＝2AF+2EF＝3（AF+EF）＝2AE，∴AE＝（AB+AD）；②在AB上取點F，使BE＝EF．在△ACD與△ACF中，∵AD＝AF，AC＝AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC＝∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．又∵∠AFC+∠CFB＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠DAB+∠DCB＝360﹣（∠ADC+∠B）＝180°，故②正確；③由②知，△ACD≌△ACF，又∵CF＝CB，∴CD＝CB，故③正確；④易證△CEF≌△CEB，∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF＝S△ADC，∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ADC，故④正確．故選：D．二、填空題（共6題，每題3分）11．（3分）如圖，這是小明同學在體育課上跳遠測量的方法，其中蘊含的數(shù)學道理是垂線段最短．【解答】解：測量的依據(jù)是：垂線段最短．故答案為：垂線段最短．12．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是八．【解答】解：設多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)題意得，（n﹣2）?180°＝3×360°，解得n＝5，∴這個多邊形為八邊形．故答案為：八．13．（3分）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高，交CD于點E，BC＝5，則△BCE的面積等于5．【解答】解：過E作EF⊥BC于點F，∵CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，∴DE＝EF＝2，∴S△BCE＝BC?EF＝，故答案為：5．14．（3分）一個零件的形狀如圖，按規(guī)定∠A＝90°，∠B＝∠D＝25°，只要檢驗∠BCD的度數(shù)就可以了．量得∠BCD＝140°，這個零件合格（填“合格”或“不合格”）．【解答】解：延長BC交AD于E，∵∠BCD＝∠D+∠CED，∠CED＝∠A+∠B，∴∠BCD＝∠A+∠B+∠D，∵∠A＝90°，∠B＝∠D＝25°，∴∠BCD＝90°+25°+25°＝140°，∴這個零件合格．故答案為：合格．15．（3分）若關于x，y的方程組的解x與y互為相反數(shù)1．【解答】解：∵關于x，y的方程組，∴x+y＝0，∴，解得，把代入4x+y＝k中，故答案為：1．16．（3分）已知關于x的不等式組的解集是﹣1＜x＜1，則（a+1）（b﹣1）＝﹣6．【解答】解：，解不等式①得，，解不等式②得，x＞2b+3，∵不等式的解集為﹣1＜x＜1，∴，4b+3＝﹣1，解得：a＝2，b＝﹣2，∴（a+1）（b﹣2）＝（1+1）（﹣3﹣1）＝﹣6．故答案為：﹣3．三、解答題17．（6分）計算：．【解答】解：原式＝＝＝．18．（6分）求下列各式中x的值：（1）1；（2）（x﹣2）2＝169．【解答】解：（1）兩邊都乘以2得，x2＝62，所以x＝±；（2）由平方根的定義可得，x﹣5＝±13，解得x＝15或x＝﹣11．19．（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）將△ABC平移得到△A1B1C1，其中A的對應點是A1（2，1）；（1）寫出點B，C的對應點B1，C1的坐標：B1（2，﹣4），C1（﹣1，﹣1）；（2）在圖中畫出△A1B1C1；（3）設點P在x軸上，且△BCP的面積等于△ABC的面積，求出點P的坐標．【解答】解：（1）∵A（﹣1，5），A5（2，1），∴2﹣（﹣1）＝3，3﹣5＝﹣4∴將△ABC向右平移3個單位，向下平移4個單位1B5C1，∵B（﹣1，6），3），∴﹣1+7＝2，0﹣5＝﹣4，3﹣6＝﹣1，∴B1（5，﹣4），C1（﹣7，﹣1），故答案為：（2，﹣5），﹣1）；（2）將△ABC向右平移3個單位，向下平移5個單位1B1C6，如圖即為所求；（3）設點P的坐標為（m，0），∵△BCP的面積等于△ABC的面積，∴，解得：m＝4或m＝﹣6，∴點P的坐標為（6，0）或（﹣6．20．（8分）請將下列證明過程補充完整：如圖，已知CD⊥AB，GF⊥AB，求證：∠FEC+∠ECB＝180°．證明：∵CD⊥AB，GF⊥AB已知；∴∠CDF＝∠GFB＝90°垂線的定義；∴CD∥GF（同位角相等，兩直線平行）；∴∠FGB＝∠2兩直線平行，同位角相等；∵∠1＝∠2（已知）；∴∠1＝∠FGB；∴EF∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；∴∠FEC+∠ECB＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．【解答】證明：∵CD⊥AB，GF⊥AB（已知），∴∠CDF＝∠GFB＝90°（垂線的定義），∴CD∥GF（同位角相等，兩直線平行），∴∠FGB＝∠2（兩直線平行，同位角相等），∵∠1＝∠4（已知），∴∠1＝∠FGB；∴EF∥BC，（內(nèi)錯角相等；∴∠FEC+∠ECB＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．故答案為：已知；垂線的定義；兩直線平行；∠FGB，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．21．（8分）如圖，已知AB⊥CF于點B，DE⊥CF于點E，AH＝DG，∠C＝∠F．（1）求證：△ABH≌△DEG；（2）求證：CE＝FB．【解答】（1）證明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠DEG＝∠ABH＝90°，在Rt△ABH和Rt△DEG中，∵，∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）．（2）∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）．∴AB＝DE，在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴BC＝EF，∴CE＝FB．22．（9分）我國國產(chǎn)動畫電影“哪吒2魔童鬧?！逼狈客黄屏?50億，商家推出A、B兩種類型的哪吒紀念娃娃，若用380元可購進A種娃娃7件；用340元可購進A種娃娃11件，B種娃娃4件．（1）求A、B兩種娃娃的進價分別為多少？（2）若每件A種娃娃售價為25元，每件B種娃娃售價為37元，某商店準備用不超過900元購進A、B兩種娃娃40件，問共有幾種方案并求出利潤最大值？【解答】解：（1）設A、B進價分別為x元．，∴；答：A、B進價分別為20元．（2）設商店購進A種a件，，∴30≤a≤32；當a＝30，利潤：6×30+7×10＝220（元），當a＝31，利潤：5×31+5×9＝218元），當a＝32，利潤：5×32+7×8＝216（元），答：共有3種方案，當購進A種30件，獲得最大利潤220元．23．（9分）（1）如圖1，在△ABC中，∠B、∠C的平分線BE，∠ABC＝40°，∠A＝60°；（2）如圖2，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC＝42°，①求∠CAB的度數(shù)；②求∠CAP的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，∠A＝60°，∴∠ACB＝80°，∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點F，∴∠FBC＝∠ABC＝20°∠ACB＝40°，∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝120°；（2）①在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，∵PB、PC分別是∠ABC和∠ACD的平分線，∴∠PCD＝∠ACD∠ABC，∴∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝42°+∠ABC，∴∠ACD＝，∴∠ACD﹣∠ABC＝84°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝84°，即∠CAB＝84°．②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，∴PE＝PG，PF＝PG，∴PE＝PF，∴AP平分∠CAE，∴∠CAP＝∠CAE＝．24．（10分）已知在平面直角坐標系中，點A的坐標是（0，2），點P是第一象限內(nèi)一動點．（1）如圖1，若動點P（a，b）滿足|3a﹣9|+（3﹣b）2＝0，求點P的坐標；（2）如圖2，在第（1）問的條件下，①求點B的坐標；②當∠APB＝∠CPD，求OD﹣OC的值．（3）如圖3，若OA＝OA′，且BM⊥PA′，問：的值是否發(fā)生變化？若變化，若不變化，請求出其值．【解答】解：（1）∵|3a﹣9|+（7﹣b）2＝0，∴3a﹣9＝0，8﹣b＝0，∴a＝3，b＝8．∴P（3，3）．（2）①過點P作PE⊥OB于點E，PF⊥y軸于點F，∵P（4，3），PF⊥y軸于點F，∴四邊形PEOF為正方形，∴PE＝PF＝OE＝OF＝3，∠FPE＝90°，∴∠FPA+∠APE＝90°．∵點A的坐標是（3，2），∴OA＝2，∴FA＝OF﹣OA＝2．∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∴∠APE+∠EPB＝90°，∴∠FPA＝∠EPB．在△FPA和△EPB中，，∴△FPA≌△EPB（ASA），∴FA＝BE＝1，∴OB＝OE+BE＝3+1＝4，∴B（2，0）；②∵△FPA≌△EPB，∴PA＝PB，∠PAF＝∠PBE，∴∠PAC＝∠PBD．∵∠APB＝∠CPD，∴∠APC+∠CPB＝∠CPB+∠BPD，∴∠APC＝∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD（ASA），∴AC＝BD，∴OD﹣OC＝OB+BD﹣（AC﹣OA）＝4+BD﹣AC+5＝4+2＝5．（3）的值不會發(fā)生變化．理由：過點B作BH⊥PF于點H，設AB，如圖，∵OA＝OA′，OB⊥AA′，∴OB垂直平分AA′，∴BA＝BA′，∴∠ABO＝∠A′BO，∴∠ABA′＝2∠OBA′，∵∠APA′＝2∠OBA′