專題25排列組合二項(xiàng)式定理歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：有順序模型：書架插書法 1題型二：先分組再排列：球放盒子模型 2題型三：不相鄰與相鄰型：人坐座位模型 2題型四：多重限制模型 3題型五：相同元素模型：數(shù)字化法 4題型六：平均分配型 6題型七：空車位型 6題型八：地圖染色 7題型九：走樓梯型 8題型十：擋板法 9題型十一：公交車與電梯型 9題型十二：立體幾何空間型 10題型十三：跳棋模型 11題型十四：不定方程模型 12題型十五：二項(xiàng)式：賦值法 12題型十六：換元型賦值 13題型十七：系數(shù)最大 14題型十八：三項(xiàng)式展開 15題型一：有順序模型：書架插書法“書架插書”模型“書架插書”模型書架插書法：、書架上原有書的順序不變；（2）、新書要一本一本插；（3）、也可以把有順序的“書”最后放，先放沒順序得，但是得從“總座位”中選（百分比法）1．（22-23高二下·云南·期中）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為A．42 B．30 C．20 D．122．（21-22高二上·黑龍江鶴崗·期末）有10本不同的書緊貼著依次立放在書架上，擺成上層3本下層7本，現(xiàn)要從下層7本中任取2本再隨機(jī)分別調(diào)整到上層，若其他書本的相對(duì)順序不變，則上層新增的2本書不相鄰的概率為A． B． C． D．3．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）書架上某一層有5本不同的書，新買了3本不同的書插進(jìn)去，要保持原來5本書的順序不變，則不同的插法種數(shù)為（

）.A．60 B．120 C．336 D．5044．（22-23高二下·上海浦東新·期中）書架上某層有8本書，新買2本插進(jìn)去，要保持原有8本書的順序，則有種不同的插法（具體數(shù)字作答）5．（23-24高二下·四川廣安·期中）班會(huì)課上原定有3位同學(xué)依次發(fā)言，現(xiàn)臨時(shí)加入甲、乙2位同學(xué)也發(fā)言，若保持原來3位同學(xué)發(fā)言的相對(duì)順序不變，且甲、乙的發(fā)言順序不能相鄰，則不同的發(fā)言順序種數(shù)為（用數(shù)字作答）題型二：先分組再排列：球放盒子模型先分組后排列模型：又稱“球放盒子”先分組后排列模型：又稱“球放盒子”基礎(chǔ)型：冪指數(shù)型如四個(gè)不同的球放三個(gè)不同的盒子，有多少種方法？特征：1.先分組再排列（盡量遵循這個(gè)，否則容易出現(xiàn)重復(fù)）2.分組時(shí)候要注意是否存在“平均分配”的情況1．（2023·廣西南寧·一模）將紅、黑、藍(lán)、黃個(gè)不同的小球放入個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且紅球和藍(lán)球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法的種數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）將A，B，C，D四個(gè)小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子中至少放一個(gè)球且A，B不能放入同一個(gè)盒子中，則不同的放法種數(shù)為（

）A．15 B．30 C．20 D．423．（20-21高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)小球和編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)盒子，現(xiàn)將這5個(gè)小球放入5個(gè)盒子中．每個(gè)盒子內(nèi)投入1個(gè)球，并且至多有1個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)是相同的，則有（

）投放方法A．45種 B．53種 C．96種 D．89種4．（22-23高三上·河北·階段練習(xí)）桌子上有5個(gè)除顏色外完全相同的球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球，隨機(jī)拿起兩個(gè)球放入一個(gè)盒子中，則放入的球均是紅球的概率為．5．（22-23高二下·浙江溫州·期中）4個(gè)不同的球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)不大于盒子的編號(hào)，則共有種方法（用數(shù)字作答）．題型三：不相鄰與相鄰型：人坐座位模型一人一位；一人一位；2、有順序；3、座位可能空；4、人是否都來；5、必要時(shí)，座位拆遷，剩余座位隨人排列特征：相鄰：捆綁法捆綁的新的“大人”內(nèi)部有排列（小排列）不相鄰：插空法，一般不相鄰插入別的空隙限制條件較多。特多的限制條件，稱為“多重限制型題”，要有“主次”。屬于超難題1．（22-23高二下·湖南長(zhǎng)沙·期末）雅禮女籃一直是雅禮中學(xué)的一張靚麗的名片，在剛剛結(jié)束的2022到2023賽季中國(guó)高中籃球聯(lián)賽女子組總決賽中，雅禮中學(xué)女籃隊(duì)員們敢打敢拼，最終獲得了冠軍．在頒獎(jiǎng)儀式上，女籃隊(duì)員12人（其中1人為隊(duì)長(zhǎng)），教練組3人，站成一排照相，要求隊(duì)長(zhǎng)必須站中間，教練組三人要求相鄰并站在邊上，總共有多少種站法（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·浙江·期中）已知3名教師和4名學(xué)生排成一排照相，每位教師互不相鄰，且教師甲和學(xué)生乙必須相鄰，一共有多少種不同的排法？（

）A．144 B．288 C．576 D．7203．（21-22高二下·福建泉州·期中）2022年2月4日，中國(guó)北京第24屆奧林匹克冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計(jì)時(shí)創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾．衡陽(yáng)市某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國(guó)二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”、“驚蟄”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知識(shí)展板分別放置在六個(gè)并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（

）A．24 B．48 C．144 D．2444．（24-25高三·上海·課堂例題）、、、、五人排成一排，如果必須站在的右邊，且、不相鄰，則不同的排法共有種．5．（23-24高二下·浙江·期中）甲乙丙丁戊5個(gè)人排成一排拍照，要求甲不站在最左端，且甲乙不相鄰，則共有種不同的排法.題型四：多重限制模型多重限制型，屬于“人坐座位”模型多重限制型，屬于“人坐座位”模型特征：一人一位；有順序；座位可能空；人是否都來；要時(shí)，座位拆遷，剩余座位隨人排列難題特征：相鄰：捆綁法捆綁的新的“大人”內(nèi)部有排列（小排列）不相鄰：插空法限制條件較多。特多的限制條件，稱為“多重限制型題”，屬于超難題1．（22-23高二下·河南開封·期中）三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲與男生乙相鄰，且三名女生中恰好有兩名女生相鄰，則不同的站法共有A．72種 B．108種 C．36種 D．144種2．（21-22高三上·北京通州·期中）中國(guó)古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué)．某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每周安排一次講座，共講六次．講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．408種 B．240種 C．192種 D．120種3．（22-23高二下·湖南·期末）弘揚(yáng)國(guó)學(xué)經(jīng)典，傳承中華文化，國(guó)學(xué)乃我中華民族五千年留下的智慧精髓，其中“五經(jīng)”是國(guó)學(xué)經(jīng)典著作，“五經(jīng)”指《詩(shī)經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》．小明準(zhǔn)備學(xué)習(xí)“五經(jīng)”，現(xiàn)安排連續(xù)四天進(jìn)行學(xué)習(xí)且每天學(xué)習(xí)一種，每天學(xué)習(xí)的書都不一樣，其中《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》不能安排在相鄰兩天學(xué)習(xí)，《周易》不能安排在第一天學(xué)習(xí)，則不同安排的方式有（）A．32種 B．48種C．56種 D．68種4．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）陽(yáng)春三月，草長(zhǎng)鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉.三個(gè)家庭的3位媽媽帶著3名女寶和2名男寶共8人踏春.在沿行一條小溪時(shí)，為了安全起見，他們排隊(duì)前進(jìn)，三位母親互不相鄰照顧孩子；3名女寶相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男寶打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面.則不同的排法種數(shù)共有種（用數(shù)字作答）.5．（2021·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）某校高二年級(jí)共有10個(gè)班級(jí)，5位教學(xué)教師，每位教師教兩個(gè)班級(jí)，其中姜老師一定教1班，張老師一定教3班，王老師一定教8班，秋老師至少教9班和10班中的一個(gè)班，曲老師不教2班和6班，王老師不教5班，則不同的排課方法種數(shù)．題型五：相同元素模型：數(shù)字化法數(shù)字化法：標(biāo)記元素為數(shù)字或字母，重新組合。特別適用于“相同元素”1．（2022·新疆·一模）如圖，一次移動(dòng)是指：從某一格開始只能移動(dòng)到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動(dòng)，而一條移動(dòng)路線由若干次移動(dòng)構(gòu)成，如1→3→4→5→6→7就是一條移動(dòng)路線，則從數(shù)字“1”到“7”，漏掉兩個(gè)數(shù)字的移動(dòng)路線條數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（22-23高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在處，學(xué)校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（

）條．A．23 B．24 C．25 D．263．（2016·全國(guó)·高考真題）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為A．24 B．18 C．12 D．94．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，小明從街道的出發(fā)，選擇一條最短路徑到達(dá)處，但處正在維修不通，則不同的路線有（

）種

A．66 B．86 C．106 D．1265．（21-22高二下·黑龍江雙鴨山·階段練習(xí)）2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計(jì)劃去老年公寓參加志愿者活動(dòng)．小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條②小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條③小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率為④小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經(jīng)過F事件B；從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型六：平均分配型平均分成幾組，就除以幾組數(shù)的階乘，如果既有平均分組又有不平均分組的，也要除以相同組的組數(shù)的階乘平均分成幾組，就除以幾組數(shù)的階乘，如果既有平均分組又有不平均分組的，也要除以相同組的組數(shù)的階乘1．（【全國(guó)校級(jí)聯(lián)考】山西省臨汾一中、忻州一中、長(zhǎng)治二中、康杰中學(xué)2016-2017學(xué)校高二4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）某高校大一新生中的6名同學(xué)打算參加學(xué)校組織的“雅荷文學(xué)社”、“青春風(fēng)街舞社”、“羽乒協(xié)會(huì)”、“演講團(tuán)”、“吉他協(xié)會(huì)”五個(gè)社團(tuán)，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加，則這6個(gè)人中至多有1人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為A．4680 B．4770 C．5040 D．52002．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球，則不同的裝法種數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．103．（20-21高二·全國(guó)·單元測(cè)試）《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一本數(shù)學(xué)專著，該書介紹了我國(guó)古代14種算法，其中積算（即籌算）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運(yùn)籌算?了知算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算13種均需要計(jì)算器械.某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理這13種計(jì)算器械的相關(guān)資料，其中一人搜集5種，另兩人每人搜集4種，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2021·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知有5個(gè)不同的小球，現(xiàn)將這5個(gè)球全部放入到標(biāo)有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)盒子中，若裝有小球的盒子的編號(hào)之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（

）A．150 B．240 C．390 D．14405．（2024高三·全國(guó)·模擬）3名醫(yī)生和6名護(hù)士分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，有種分配方法.題型七：空車位型1．（21-22北京模擬）一個(gè)停車場(chǎng)有5個(gè)排成一排的空車位，現(xiàn)有2輛不同的車停進(jìn)這個(gè)停車場(chǎng)，若停好后恰有2個(gè)相鄰的停車位空著，則不同的停車方法共有A．6種 B．12種 C．36種 D．72種2．（22-23高二下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·階段練習(xí)）某電影院第一排共有9個(gè)座位，現(xiàn)有3名觀眾前來就座，若他們每?jī)扇硕疾荒芟噜彛乙竺咳俗笥抑炼鄡蓚€(gè)空位，則不同的坐法共有A．36種 B．42種 C．48種 D．96種3．（22-23高二下·河北·期末）一條長(zhǎng)椅上有6個(gè)座位，3個(gè)人坐．要求3個(gè)空位中恰有2個(gè)空位相鄰，則坐法的種數(shù)為（

）A．36 B．48 C．72 D．964．（16-17高二下·陜西西安·期中）某公共汽車站有6個(gè)候車位排成一排，甲、乙、丙三個(gè)乘客在該汽車站等候228路公交車的到來，由于市內(nèi)堵車，228路公交車一直沒到站，三人決定在座位上候車，且每人只能坐一個(gè)位置，則恰好有2個(gè)連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是A．48 B．54 C．72 D．845．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）地面上有并排的七個(gè)汽車位，現(xiàn)有紅、白、黃、黑四輛不同的汽車同時(shí)倒車入庫(kù).當(dāng)停車完畢后，恰有兩個(gè)連續(xù)的空車位，且紅、白兩車互不相鄰的情況有種.題型八：地圖染色染色問題，要從“顏色用了幾種”，“地圖有沒有公用區(qū)域”方向考慮：染色問題，要從“顏色用了幾種”，“地圖有沒有公用區(qū)域”方向考慮：1.用了幾種顏色。如果顏色沒有全部用完，就要有選色的步驟2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。所以要觀察“地圖”是否可以“拓?fù)洹鞭D(zhuǎn)化染色的地圖，還要從“拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”來轉(zhuǎn)化以下這倆圖，就是“拓?fù)洹币恢碌慕Y(jié)構(gòu)1．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（

）種不同的染色方案.A．96 B．144 C．240 D．3602．（22-23高二下·上海嘉定·階段練習(xí)）如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在替工5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（

）

A．120 B．420 C．300 D．以上都不對(duì)3．（23-24高二下·湖南·階段練習(xí)）給如圖所示的5塊區(qū)域A，B，C，D，E涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有公共邊的區(qū)域使用不同的顏色，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠、橙5種顏色可供選擇，則不同的涂色方法有（

）A．120種 B．720種 C．840種 D．960種4．（22-23高三浙江·模擬）用四種顏色給下圖的6個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，若四種顏色全用上，則共有多少種不同的涂法（

）A．72 B．96 C．108 D．1445．（23-24高二下·山西臨汾·期中）如圖，這是一面含A，B，C，D，E，F(xiàn)六塊區(qū)域的墻，現(xiàn)有含甲的五種不同顏色的油漆，一位工人要對(duì)這面墻涂色，相鄰的區(qū)域不同色，則共有種不同的涂色方法；若區(qū)域D不能涂甲油漆，則共有種不同的涂色方法.

題型九：走樓梯型走樓梯模型，可以轉(zhuǎn)化為“數(shù)字化”模型：一步一階設(shè)為數(shù)字1，一步兩階設(shè)為數(shù)字2，一步n階，記為數(shù)字n，則把n階臺(tái)階，變?yōu)閿?shù)字“和”形式。要注意數(shù)字的奇偶時(shí)是否能取到1．（20-21高二·全國(guó)·單元測(cè)試）某人在上樓梯時(shí)，一步上一個(gè)臺(tái)階或兩個(gè)臺(tái)階，設(shè)他從平地上到第一級(jí)臺(tái)階時(shí)有f（1）種走法，從平地上到第二級(jí)臺(tái)階時(shí)有f（2）種走法……則他從平地上到第n級(jí)(n≥3)臺(tái)階時(shí)的走法f(n)等于（

）A．f(n-1)+1 B．f(n-2)+2C．f(n-2)+1 D．f(n-1)+f(n-2)2．（22-23高二下·上海浦東新·階段練習(xí)）某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（

）A．45種 B．36種 C．28種 D．25種3．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）數(shù)學(xué)與自然、生活相伴相隨，無論是蜂的繁殖規(guī)律，樹的分枝，還是鋼琴音階的排列，當(dāng)中都蘊(yùn)含了一個(gè)美麗的數(shù)學(xué)模型Fibonacci（斐波那契數(shù)列）：1，1，2，3，5，8，13，21…，這個(gè)數(shù)列前兩項(xiàng)都是1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前面兩項(xiàng)之和，請(qǐng)你結(jié)合斐波那契數(shù)列，嘗試解答下面的問題：小明走樓梯，該樓梯一共6級(jí)臺(tái)階，小明每步可以上一級(jí)或二級(jí)，請(qǐng)問小明的不同走法種數(shù)是（

）A．20 B．13 C．12 D．154．（22-23高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）某樓梯一共有8個(gè)臺(tái)階，甲同學(xué)每步可以登一個(gè)或兩個(gè)臺(tái)階，一共用6步登上該樓梯，則甲同學(xué)登上該樓梯的不同方法數(shù)是（

）A．10 B．15 C．20 D．305．（22-23·江西·階段練習(xí)）某幢樓從二樓到三樓的樓梯共11級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用7步走完，則上樓梯的方法有______種．題型十：擋板法擋板法，適用于“相同元素”分配。如三好學(xué)生指標(biāo)，相同小球，各種指標(biāo)名額等等擋板法，適用于“相同元素”分配。如三好學(xué)生指標(biāo)，相同小球，各種指標(biāo)名額等等1．（20-21高二·全國(guó)·單元測(cè)試）將20個(gè)完全相同的小球放入編號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)，則不同的放法種數(shù)為（

）A．1615 B．1716C．286 D．3642．（22-23高二下·安徽合肥·期末）將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，則每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為（

）A．840 B．35 C．20 D．153．（21-22高三上·山東·期中）將10個(gè)完全相同的小球放入編號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)，則不同的放法種數(shù)為（）A．10 B．12 C．13 D．154．（2023高三·全國(guó)·模擬）把1995個(gè)不加區(qū)別的小球分別放在10個(gè)不同的盒子里，使得第個(gè)盒子中至少有個(gè)球（），則不同放法的總數(shù)是A． B． C． D．5．（21-22高二下·重慶萬州·期中）將個(gè)完全相同的小球放入編號(hào)分別為的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)，則不同的放法種數(shù)為.題型十一：公交車與電梯型公交車與電梯模型，可以轉(zhuǎn)化為球放盒子，然后先分組后排列。公交車與電梯模型，可以轉(zhuǎn)化為球放盒子，然后先分組后排列。要注意是否需要剔除掉“空”盒子1．（22-23高二下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）車上有6名乘客，沿途有3個(gè)車站，每名乘客可任選1個(gè)車站下車，則乘客不同的下車方法數(shù)為（

）A． B． C．120 D．202．（20-21高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）某公共汽車上有10位乘客，沿途5個(gè)車站，乘客下車的可能方式有（

）A．510種 B．105種C．50種 D．3024種3．（2020·四川達(dá)州·三模）有3人同時(shí)從底樓進(jìn)入同一電梯，他們各自隨機(jī)在第2至第7樓的任一樓走出電梯．如果電梯正常運(yùn)行，那么恰有兩人在第4樓走出電梯的概率是（

）A． B． C． D．4．（2022高二下·浙江寧波·學(xué)業(yè)考試）通蘇嘉甬高速鐵路起自南通西站，經(jīng)蘇州市、嘉興市后跨越杭州灣進(jìn)入寧波市，全線正線運(yùn)營(yíng)長(zhǎng)度，其中新建線路長(zhǎng)度，是《中長(zhǎng)期鐵路網(wǎng)規(guī)劃》中“八縱八橫”高速鐵路主通道之一的沿海通道的重要組成部分，是長(zhǎng)江三角洲城市群的重要城際通道，沿途共設(shè)南通西、張家港、常熟西、蘇州北、汾湖、嘉興北、嘉興南、海鹽西、慈溪、莊橋等10座車站.假設(shè)甲、乙兩人從首發(fā)站（南通西）同時(shí)上車，在沿途剩余9站中隨機(jī)下車，兩人互不影響，則甲、乙兩人在同一站下車的概率為（

）A． B． C． D．5．（20-21高三上·陜西西安·階段練習(xí)）汽車上有5名乘客，沿途有3個(gè)車站，每人在3個(gè)車站中隨機(jī)任選一個(gè)下車，直到乘客全部下車，不同的下站方法有種．（用數(shù)字作答）題型十二：立體幾何空間型立體型結(jié)構(gòu)，可以“拍扁了”，“拓?fù)洹睘槠矫嫘腿旧@是幾何體染色的一個(gè)小技巧所以注意這類圖形之間的互相轉(zhuǎn)化1．（21-22高二下·安徽安慶·期中）如圖所示，將四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)為（

）

A．120 B．96 C．72 D．482．（20-21高二下·福建莆田·期中）正方體六個(gè)面上分別標(biāo)有A、B、C、D、E、F六個(gè)字母，現(xiàn)用5種不同的顏色給此正方體六個(gè)面染色，要求有公共棱的面不能染同一種顏色，則不同的染色方案有（

）種.A．420 B．600 C．720 D．7803．（23-24·安徽·練習(xí)）如圖所示的幾何體是由一個(gè)正三棱錐P－ABC與正三棱柱ABC－A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的染色方案共有A．24種 B．18種 C．16種 D．12種4．（2022·江西撫州·模擬）已知三棱錐的6條棱代表6種不同的化工產(chǎn)品，有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是安全的，沒有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的現(xiàn)用編號(hào)為1，2，3的三個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這6種化工產(chǎn)品，每個(gè)倉(cāng)庫(kù)放2種，那么安全存放的不同方法種數(shù)為()A．12 B．24 C．36 D．485．（22-23高二下·山東·階段練習(xí)）現(xiàn)準(zhǔn)備給每面刻有不同點(diǎn)數(shù)的骰子涂色，每個(gè)面涂一種顏色，相鄰兩個(gè)面所涂顏色不能相同.若有5種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．720種 B．780種 C．600種 D．660種題型十三：跳棋模型1．（22-23·全國(guó)·模擬）一只小青蛙位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳動(dòng)一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次跳動(dòng)至少一個(gè)單位.若小青蛙經(jīng)過5次跳動(dòng)后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)2位于的點(diǎn)處，則小青蛙不同的跳動(dòng)方式共有種.A．105 B．95 C．85 D．752．（23-24高三上·河南漯河·期末）一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過4次飛行后，停在位于數(shù)軸上實(shí)數(shù)3的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有（

）A．22 B．24 C．26 D．283．（19-20高三上·北京大興·期末）動(dòng)點(diǎn)M位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，M每一次可以沿?cái)?shù)軸向左或者向右跳動(dòng)，每次可跳動(dòng)1個(gè)單位或者2個(gè)單位的距離，且每次至少跳動(dòng)1個(gè)單位的距離.經(jīng)過3次跳動(dòng)后，M在數(shù)軸上可能位置的個(gè)數(shù)為（）A．7 B．9 C．11 D．134．（2023全國(guó)階段練習(xí)）一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā),每秒末必須向右、或向左、或向上、或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度,則此質(zhì)點(diǎn)在第秒末到達(dá)點(diǎn)的跳法共有（

）A． B． C． D．5．（2021·湖北黃岡·模擬）點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，每步走一個(gè)單位，方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，則走10步時(shí)，所有可能終點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為A．66 B．45 C．55 D．72題型十四：不定方程模型1．（22-23高二下·江蘇徐州·期中）已知空間直角坐標(biāo)系中，，三棱錐內(nèi)部整數(shù)點(diǎn)（所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界）的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，其中為自然數(shù)且，則符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為（

）A．833 B．884 C．5050 D．51513．（22-23全國(guó)模擬）已知，則滿足的有序數(shù)組共有（

）個(gè)A． B． C． D．4．（·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）滿足不等式的有序整數(shù)組的數(shù)目為（

）A．228 B．229 C．230 D．2315．（2018高三·全國(guó)·競(jìng)賽）是一個(gè)正整數(shù)，的整數(shù)組解的數(shù)目是A．4的倍數(shù) B．6的倍數(shù)C．2的倍數(shù) D．8的倍數(shù)題型十五：二項(xiàng)式：賦值法賦值法原理：賦值法原理：1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若，則的值為（

）A．0