專題03不等式性質(zhì)與證明真題特點分析：1.【2022年中科大3】已知，（1）求滿足什么條件恒成立。（2）若存在,使得則滿足什么條件。答案：，q=0解析：（1）令故即.的區(qū)間只有兩段.故當(dāng).即，則有四重根，即經(jīng)過對比系數(shù)，可知.故當(dāng).即，則有兩個不同根。于是只能一個是三重根，是一重根。即綜上所述，.【2020中科大11．】已知，證明：當(dāng)時，不等式成立，且當(dāng)時，該不等式不成立．解析：考慮積分不等式放縮，由于，從而當(dāng)時，該不等式不成立．3.【2020年武大】設(shè)正整數(shù)使得關(guān)于方程在區(qū)間內(nèi)恰有個實根，則（）A.B.C.D.，，成等差數(shù)列解析：根據(jù)對稱性可選ABC二、知識要點拓展1.作差比較與作商比較法作差比較：作商比較法：注：作完差之后，我們一般采用配方或因式分解只有正數(shù)的比較大小我們才會采用作商比較2.逐步調(diào)整法特征：變量的個數(shù)大等于三個；變量之間滿足對稱性；等號在相等或極端值時取到。注：逐步調(diào)整法可以和反證法相結(jié)合；這樣步驟顯得更精簡些。3.絕對值不等式公式：等號成立條件：A與B同號或異號時取到注：不等式中加減號的選取依照具體題目的特點而定，關(guān)鍵是削去變量。不等式中的等號成立條件一定要牢固掌握不等式可以從兩個進行推廣4．構(gòu)造法與放縮法構(gòu)造法：一般我們可以構(gòu)造函數(shù)，三角形或四邊形來解決不等式的證明問題；這些問題需要我們豐富的聯(lián)想和扎時的基礎(chǔ)。放縮法：一般運用在多變量求和的不等式中，許多式子在沒有放縮時是無法求和的，經(jīng)常是需要放縮之后，通過裂項相削來求和。所以，這類題目經(jīng)常和數(shù)列結(jié)合在一起考。5．不等式的衍生問題不等式經(jīng)常和函數(shù)，數(shù)列等內(nèi)容結(jié)合在一起考，屬于比較重要和綜合的考點；這更要求我們在打牢基礎(chǔ)的同時，積極思考，注意類比和推廣，這樣才能掌握好這塊內(nèi)容。三、應(yīng)試技巧和準備策略強基計劃中涉及到不等式的問題主要分為三類：不等式的證明、解不等式、不等式的應(yīng)用，其中“不等式的證明”是難點。證明不等式?jīng)]有固定的程序，證法因題而異，而且靈活多樣、技巧性強，一個不等式的證法常不止一種。證明不等式的基本方法主要有：反證法、數(shù)學(xué)歸納法、變量代換法、構(gòu)造法（如構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造圖形）等。四、例題精講例1.（復(fù)旦）設(shè)有集合，滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）。（B）（C）（D）?答案B?分析與解答：先解不等式或解得：即；再解不等式或或，或若，則T：不滿足條件；若，則T：或滿足條件；若，T：或滿足條件；若，則T：滿足條件；若，則T：或滿足條件。綜上，。例2.（復(fù)旦）設(shè)實數(shù)，且滿足，則函數(shù)的最大值是（）。（B）（C）（D）?答案C?分析與解答：由于，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。例3.（同濟）求證：對于任何實數(shù)，三個數(shù)中至少有一個不小于。?分析與解答：解法一：用反證法。①②③若，則①②③由①+②得：。由③得：，矛盾！解法二：由絕對值不等式性質(zhì)，得，故中至少有一個不小于。例4.（清華），數(shù)列滿足，且。求的通項；求證：。?分析與解答：（1），，所以，，所以。令，。，。（2）。時由均值不等式。所以。注意到單調(diào)遞增，且。所以。例5.（清華）如圖：，且，求面積的最大值。（原題為選擇題）?分析與解答：連結(jié)，。等號成立時，，即。例6.（復(fù)旦）設(shè)，則有性質(zhì)（）對任何實數(shù)，總是大于0對任何實數(shù)，總是小于0當(dāng)時，以上均不對?分析與解答：解法一：注意到含的偶次方冪的項，其系數(shù)為正；含的奇次方冪的項，其系數(shù)為負，故時，顯然成立。再注意到對，而，故當(dāng)時，也成立。最后當(dāng)時，，故仍成立。綜上，對，，選。解法二：配方法。注：配方法是最基本的方法，尤其在證明時常用。例7.設(shè)，且，求證?分析與解答：，也即，因此。例8.（北大）求的最小值。?分析與解答：首先設(shè)，。則由絕對值的幾何意義知，為奇數(shù)時，當(dāng)時，有最小值；為偶數(shù)時，當(dāng)任何值時，有最小值。回到原題，，共有：個點。設(shè)。因為?，F(xiàn)在求和的值。設(shè)，則，?？傻?。且，故時，的值最小。例9.已知，且，求的最小值。?分析與解答：方法（一）利用，再用基本不等式即可證明。方法（二）設(shè)，故有。。當(dāng)且僅當(dāng)同時成立時上述不等式取“=”，即，代入，解得，此時，故的最小值為36。例10.（清華）已知實數(shù)，，，當(dāng)取到最大值時，有多少個-6？?分析與解答：設(shè)，則，且，。于是原問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)取最大值時，有幾個。當(dāng)中有不少于兩個數(shù)，且同時不等于0，不等于16時，設(shè)為。①時，則（看作一個關(guān)于的一次函數(shù)，，單調(diào)遞減）。即，故不改變其他數(shù)字，用16代替，代替，增大；②時，則。故用0代替，代替，增大。綜上，當(dāng)取最大值時，至多只有一個，且。而，故中應(yīng)取6個16,1個14,3個0，即有3個-6.五、強基真題精練1.（復(fù)旦）若實數(shù)滿足：對任意正數(shù)，均有，則的取值范圍是（）（B）（C）（D）不能確定B。對，有，故，即，從而。2.（復(fù)旦）設(shè)為非負實數(shù)，且滿足方程，則的最大值和最小值（）?；榈箶?shù)（B）其和為13（C）其乘積為4（D）均不存在C。，所以或。從而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值，時取最小值。3.（復(fù)旦）下列不等式中正確的是（）（B）（C）（D）C。因為所以4.（交大）已知是非負整數(shù)，且，，則的取值范圍是。。，故，，所以。5.（交大）已知不等式組有唯一解，則。。由條件，，所以，得：。6.（復(fù)旦）是各不相同的自然數(shù)，，求證：。原式7.（復(fù)旦）滿足何條件，可使恒成立？。因為，所以，即且。由前一式得且；由后一式得，得：。所以。（復(fù)旦）求證：。，所以原式。（交大）已知正整數(shù)列，對大于的，有，。試證：中至少有一個小于。若結(jié)論不成立，則對任意有。設(shè)，則，且，，而，矛盾。高考真題精練【2021年】1．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）當(dāng)時，，表示數(shù)軸上的點到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點到和的距離之和不小于，當(dāng)或時所對應(yīng)的數(shù)軸上的點到所對應(yīng)的點距離之和等于6，∴數(shù)軸上到所對應(yīng)的點距離之和等于大于等于6得到所對應(yīng)的坐標的范圍是或，所以的解集為.（2）依題意，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，,故，所以或，解得.所以的取值范圍是.2．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)．（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）圖像見解析；（2）【分析】（1）可得，畫出圖像如下：，畫出函數(shù)圖像如下：（2），如圖，在同一個坐標系里畫出圖像，是平移了個單位得到，則要使，需將向左平移，即，當(dāng)過時，，解得或（舍去），則數(shù)形結(jié)合可得需至少將向左平移個單位，.3．（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】（1）函數(shù)的定義域為，又，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）因為，故，即，故，設(shè)，由（1）可知不妨設(shè).因為時，，時，，故.先證：，若，必成立.若，要證：，即證，而，故即證，即證：，其中.設(shè)，則，因為，故，故，所以，故在為增函數(shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立.設(shè)，則，結(jié)合，可得：，即：，故，要證：，即證，即證，即證：，即證：，令，則，先證明一個不等式：.設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，故成立由上述不等式可得當(dāng)時，，故恒成立，故在上為減函數(shù)，故，故成立，即成立.綜上所述，.【2012年——2020年】1．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標Ⅰ））已知函數(shù)．（1）畫出的圖像；（2）求不等式的解集．【答案】（1）詳解解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)分段討論法，即可寫出函數(shù)的解析式，作出圖象；（2）作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可解出．【詳解】（1）因為，作出圖象，如圖所示：（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：由，解得．所以不等式的解集為．2．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標Ⅱ））已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）當(dāng)時，.當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，，無解；當(dāng)時，，解得：；綜上所述：的解集為或.（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，解得：或，的取值范圍為.3．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標Ⅲ））設(shè)a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）證明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析.【分析】（1），.均不為，則，；（2）不妨設(shè)，由可知，，，.當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，，即.4．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標Ⅰ））已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即：（2），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號又，，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號同時成立）又5．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標Ⅱ））已知（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若時，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）當(dāng)時，原不等式可化為；當(dāng)時，原不等式可化為，即，顯然成立，此時解集為；當(dāng)時，原不等式可化為，解得，此時解集為空集；當(dāng)時，原不等式可化為，即，顯然不成立；此時解集為空集；綜上，原不等式的解集為；（2）當(dāng)時，因為，所以由可得，即，顯然恒成立；所以滿足題意；當(dāng)時，，因為時，顯然不能成立，所以不滿足題意；綜上，的取值范圍是.6．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標Ⅲ））設(shè)，且.（1）求的最小值；（2）若成立，證明：或.【答案】(1)；(2)見詳解.【分析】(1)故等號成立當(dāng)且僅當(dāng)而又因，解得時等號成立所以的最小值為.(2)因為，所以.根據(jù)柯西不等式等號成立條件，當(dāng)，即時有成立.所以成立，所以有或.7．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標I卷））已知.（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若時不等式成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【詳解】分析：(1)將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點分段將解析式化為，然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式的解集為；(2)根據(jù)題中所給的，其中一個絕對值符號可以去掉，不等式可以化為時，分情況討論即可求得結(jié)果.詳解：（1）當(dāng)時，，即故不等式的解集為．（2）當(dāng)時成立等價于當(dāng)時成立．若，則當(dāng)時；若，的解集為，所以，故．綜上，的取值范圍為．8．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理數(shù)（全國卷II））設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【詳解】：（1）當(dāng)時，可得的解集為．（2）等價于．而，且當(dāng)時等號成立．故等價于．由可得或，所以的取值范圍是．9．（2018年全國卷Ⅲ理數(shù)高考試題）設(shè)函數(shù)．（1）畫出的圖像；（2）當(dāng)，，求的最小值．【答案】（1）見解析（2）【詳解】：（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再畫出在各自定義域的圖像即可．（2）結(jié)合（1）問可得a，b范圍，進而得到a+b的最小值詳解：（1）的圖像如圖所示．（2）由（1）知，的圖像與軸交點的縱坐標為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當(dāng)且僅當(dāng)且時，在成立，因此的最小值為．10．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標1卷））已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【詳解】：（1）當(dāng)時，不等式等價于.①當(dāng)時，①式化為，無解；當(dāng)時，①式化為，從而；當(dāng)時，①式化為，從而.所以的解集為.（2）當(dāng)時，.所以的解集包含，等價于當(dāng)時.又在的最小值必為與之一，所以且，得.所以的取值范圍為.11．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（新課標2卷））已知，，，證明：(1)；(2).【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】證明：（1）由柯西不等式得：當(dāng)且僅當(dāng)ab5＝ba5，即a＝b＝1時取等號；（2）∵a3+b3＝2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，∴ab，由均值不等式可得：ab≤∴（a+b）3﹣2，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時等號成立．12．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標3卷））已知函數(shù)=│x+1│–│x–2│.（1）求不等式≥1的解集；（2）若不等式≥x2–x+m的解集非空，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，f（x）≥1，∴當(dāng)﹣1≤x≤2時，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；當(dāng)x＞2時，3≥1恒成立，故x＞2；綜上，不等式f（x）≥1的解集為{x|x≥1}．（2）原式等價于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，設(shè)g（x）＝f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x），當(dāng)x≤﹣1時，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其開口向下，對稱軸方程為x1，∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；當(dāng)﹣1＜x＜2時，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其開口向下，對稱軸方程為x∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）1；當(dāng)x≥2時，g（x）＝﹣x2+x+3，其開口向下，對稱軸方程為x2，∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；綜上，g（x）max，∴m的取值范圍為（﹣∞，]．13．（2016年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標1卷））（2016高考新課標Ⅰ，理24）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)fx（Ⅰ）畫出y=fx（Ⅱ）求不等式fx【答案】（1）見解析（2）x【解析】：（Ⅰ）的圖像如圖所示.（Ⅱ）由的表達式及圖像，當(dāng)時，可得或；當(dāng)時，可得或，故的解集為；的解集為，所以的解集為.14．（2016年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標2卷））選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，M為不等式的解集.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）證明：當(dāng)a，b時，.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【詳解】（I）先去掉絕對值，再分，和三種情況解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再進行因式分解，進而可證當(dāng)，時，．試題解析：（I）當(dāng)時，由得解得；當(dāng)時，；當(dāng)時，由得解得.所以的解集.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時，，從而，因此15．（2016年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試）已知函數(shù).（1）當(dāng)a=2時，求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù).當(dāng)時，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）．【詳解】：（1）當(dāng)時；（2）由等價于，解之得.試題解析：（1）當(dāng)時，.解不等式，得.因此，的解集為.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時等號成立，所以當(dāng)時，等價于.①當(dāng)時，①等價于，無解.當(dāng)時，①等價于，解得.所以的取值范圍是.16．（2015年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（新課標））已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）【解析】試題分析：（I）當(dāng)時，化為，當(dāng)時，不等式化為，無解；當(dāng)時，不等式化為，解得；當(dāng)時，不等式化為，解得．所以的解集為．（II）由題設(shè)可得，所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為，，，的面積為．由題設(shè)得，故．所以a的取值范圍為17．（2015年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（新課標Ⅱ））選修4-5不等式選講設(shè)均為正數(shù)，且，證明：（Ⅰ）若，則；（Ⅱ）是的充要條件．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析．【解析】（Ⅰ）因為，，由題設(shè)，，得．因此．（Ⅱ）（?。┤?，則．即．因為，所以，由（Ⅰ）得．（ⅱ）若，則，即．因為，所以，于是．因此，綜上，是的充要條件．18．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標Ⅰ））若且（I）求的最小值；（II）是否存在，使得？并說明理由.【答案】（1）最小值為;（2）不存在a，b，使得.【解析】：（1）根據(jù)題意由基本不等式可得：，得，且當(dāng)時等號成立，則可得：，且當(dāng)時等號成立.所以的最小值為;（2）由（1）知，，而事實上，從而不存在a，b，使得.試題解析：（1）由，得，且當(dāng)時等號成立.故，且當(dāng)時等號成立.所以的最小值為.（2）由（1）知，.由于，從而不存在a，b，使得.19．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（全國Ⅱ卷））設(shè)函數(shù)（1）證明：；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）詳見解析；（2）．【詳解】試題分析：本題第（1）問，可由絕對值不等式的幾何意義得出，從而得出結(jié)論；對第（2）問，由去掉一個絕對值號，然后去掉另一個絕對值號，解出的取值范圍.試題解析：（1）證明：由絕對值不等式的幾何意義可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以.（2）因為，所以，解得：.20．（2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（新課標1卷））選修4—5：