專題03立體幾何（40題難題）（10單選10多選10填空10大題）一、單選題1．（2024·廣東·模擬預(yù)測）若在長方體中，．則四面體與四面體公共部分的體積為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）在三棱錐中，，，，，且，則二面角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2024·山西·一模）如圖，在體積為1的三棱錐的側(cè)棱上分別取點，使，記為平面?平面?平面的交點，則三棱錐的體積等于（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知長方體中，，，為正方形的中心點，將長方體繞直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)．若平面滿足直線與所成的角為，直線，則旋轉(zhuǎn)的過程中，直線與夾角的正弦值的最小值為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）在三棱錐中，底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰直角三角形，，是平面內(nèi)一點，且，若，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．6．（2024·河北邯鄲·三模）已知在四面體中，，二面角的大小為，且點A，B，C，D都在球的球面上，為棱上一點，為棱的中點．若，則（

）A． B． C． D．7．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知四棱錐的底面是邊長為2的菱形，為的交點，平面，，則四棱錐的內(nèi)切球的體積為（

）

A． B． C． D．8．（2024·湖南衡陽·二模）已知三棱錐中，，三棱錐的體積為，其外接球的體積為，則線段長度的最大值為（

）A．7 B．8 C． D．109．（2024·浙江湖州·一模）在四棱錐中，棱長為2的側(cè)棱垂直底面邊長為2的正方形，為棱的中點，過直線的平面分別與側(cè)棱、相交于點、，當(dāng)時，截面的面積為（

）A．2 B．3 C． D．10．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）某包裝設(shè)計部門為一球形塑料玩具設(shè)計一種正四面體形狀的外包裝盒（盒子厚度忽略不計），已知該球形玩具的直徑為2，每盒需放入10個塑料球，則該種外包裝盒的棱長的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題11．（2024·湖南長沙·二模）在正方體中，為的中點，是正方形內(nèi)部一點（不含邊界），則（

）A．平面平面B．平面內(nèi)存在一條直線與直線成角C．若到邊距離為，且，則點的軌跡為拋物線的一部分D．以的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，到平面的距離的取值范圍是12．（2024·浙江溫州·二模）已知半徑為球與棱長為1的正四面體的三個側(cè)面同時相切，切點在三個側(cè)面三角形的內(nèi)部（包括邊界），記球心到正四面體的四個頂點的距離之和為，則（

）A．有最大值，但無最小值 B．最大時，球心在正四面體外C．最大時，同時取到最大值 D．有最小值，但無最大值13．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知四棱錐中，四邊形是正方形，平面，則（

）A．若平面平面，且平面平分四棱錐的體積，平面，則B．若平面平面，且平面將四棱錐的體積分為的兩部分，平面，則C．若平面平面，且平面，則平面將四棱錐的體積分為的兩部分D．若平面平面，且平面，則平面將四棱錐的體積分為的兩部分14．（2024·湖南·二模）如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，是線段的中點，則（

）A．若點滿足，則動點的軌跡長度為B．三棱錐體積的最大值為C．當(dāng)直線與所成的角為時，點的軌跡長度為D．當(dāng)在底面上運動，且滿足平面時，線段長度最大值為15．（2024·河北唐山·一模）在透明的密閉正三棱柱容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，已知．如圖，當(dāng)豎直放置時，水面與地面距離為3．固定容器底面一邊AC于地面上，再將容器按如圖方向傾斜，至側(cè)面與地面重合的過程中，設(shè)水面所在平面為α，則（

）

A．水面形狀的變化：三角形?梯形?矩形B．當(dāng)時，水面的面積為C．當(dāng)時，水面與地面的距離為D．當(dāng)側(cè)面與地面重合時，水面的面積為1216．（2024·湖北·二模）如圖，棱長為2的正方體中，為棱的中點，為正方形內(nèi)一個動點（包括邊界），且平面，則下列說法正確的有（

）

A．動點軌跡的長度為B．三棱錐體積的最小值為C．與不可能垂直D．當(dāng)三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為17．（2024·廣東佛山·二模）對于棱長為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計），下列說法正確的是（

）A．底面半徑為，高為的圓錐形罩子（無底面）能夠罩住水平放置的該正方體B．以該正方體的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為C．該正方體內(nèi)能同時整體放入兩個底面半徑為，高為的圓錐D．該正方體內(nèi)能整體放入一個體積為的圓錐18．（2024·全國·二模）如圖，在正四面體中，分別為側(cè)棱上的點，且，為的中點，為四邊形內(nèi)（含邊界）一動點，，則（

）

A．B．五面體的體積為C．點的軌跡長度為D．與平面所成角的正切值為19．（2024·山東·一模）已知四棱錐，底面ABCD是正方形，平面，，PC與底面ABCD所成角的正切值為，點M為平面內(nèi)一點（異于點A），且，則（

）A．存在點M，使得平面B．存在點M，使得直線與所成角為C．當(dāng)時，三棱錐的體積最大值為D．當(dāng)時，以P為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長為20．（2024·安徽·二模）已知正方體的棱長為1，，分別為棱，上的動點，則（

）A．四面體的體積為定值 B．四面體的體積為定值C．四面體的體積最大值為 D．四面體的體積最大值為三、填空題21．（2024·山東臨沂·一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是，與之對應(yīng)的球缺的體積公式是.如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點，，則扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為，體積為.

22．（2024·山東菏澤·一模）如圖，在正四棱臺中，，，該棱臺體積，則該棱臺外接球的表面積為．

23．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在正方體中，是棱的中點，記平面與平面的交線為，平面與平面的交線為，若直線分別與所成的角為，則，.24．（2024·遼寧遼陽·一模）如圖，在矩形中，分別在線段上，，將沿折起，使到達(dá)的位置，且平面平面，若直線與平面所成角的正切值為，則四面體的外接球的半徑為.25．（2024·廣東韶關(guān)·二模）在三棱錐中，側(cè)面所在平面與平面的夾角均為，若，且是直角三角形，則三棱錐的體積為．26．（2024·河北滄州·一模）如圖，已知點是圓臺的上底面圓上的動點，在下底面圓上，，則直線與平面所成角的余弦值的最小值為．27．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，四邊形為菱形，，平面平面，為的中點，為的中點，則三棱錐的外接球的表面積為.28．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知四棱錐的底面為矩形，平面為的中點，點分別在線段上運動，當(dāng)最小時，三棱錐的體積為．

29．（2024·江蘇南通·二模）若正四棱錐的棱長均為2，則以所有棱的中點為頂點的十面體的體積為，該十面體的外接球的表面積為.30．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知四面體中，，過點的其外接球直徑與、夾角正弦值分別為、，則與夾角正弦值為.四、解答題31．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在四面體中，分別是線段的中點，.

(1)證明：平面；(2)是否存在，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出此時的長度；若不存在，請說明理由.32．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，垂直于平面．點，，分別為邊，，上的動點（不包括頂點），且滿足．(1)求三棱錐的體積的最大值；(2)記平面與平面所成的銳二面角為，當(dāng)最小時，求的值，并說明點所處的位置．33．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知直角的直角邊，，點是從左到右的四等分點（非中點）.已知橢圓所在的平面垂直平面，且其左右頂點為，左右焦點為，點在上.

(1)求三棱錐體積的最大值；(2)證明：二面角的大小小于.34．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，在梯形中，，，.將沿對角線折到的位置，點P在平面內(nèi)的射影H恰好落在直線上.(1)求二面角的正切值；(2)點F為棱上一點，滿足，在棱上是否存在一點Q，使得直線與平面所成的角為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.35．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖1，在平行四邊形中，，將沿折起，使點D到達(dá)點P位置，且，連接得三棱錐，如圖2．(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在點M，使平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．36．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）在四棱雉中，四邊形為矩形，，，點為線段的中點．已知點在平面上的射影在四邊形外，且直線與平面所成的角為．(1)設(shè)點為線段的中點，求證：；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．37．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知四棱錐的底面為平行四邊形，點分別為的中點．(1)證明：平面；(2)若平面將四棱錐分成體積為和的兩部分（其中），求的值．38．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖1，已知在正方形中，，，，分別是邊，，的中點，現(xiàn)將矩形沿翻折至矩形的位置，使平面平面，如圖2所示．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)是線段上一點，且二面角