3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)1.了解橢圓的實(shí)際背景．2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.數(shù)學(xué)抽象直觀想象知識點(diǎn)1橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．注：在橢圓的定義中必須要注意以下兩個(gè)問題(1)定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，而不能是變量．(2)常數(shù)(2a)必須大于兩定點(diǎn)間的距離，否則軌跡不是橢圓．①若，M的軌跡為線段；②若，M的軌跡無圖形【即學(xué)即練1】(多選)下列說法中正確的是()A．已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是線段B．已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓C．平面內(nèi)到點(diǎn)F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(5,3)到F1，F(xiàn)2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓D．平面內(nèi)到點(diǎn)F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓【即學(xué)即練2】設(shè)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，若是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則等于()A．10

B．8

C．5

D．4【即學(xué)即練3】若橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,4)＝1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為3，則點(diǎn)P到另一焦點(diǎn)F2的距離為()A．6 B．7C．8 D．9知識點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2注：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)以經(jīng)過橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，如圖所示，此時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)和F2(c,0)．根據(jù)橢圓的定義，設(shè)M與焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于2a.由橢圓的定義可知，橢圓可看作點(diǎn)集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因?yàn)閨MF1|＝eq\r(x＋c2＋y2)，|MF2|＝eq\r(x－c2＋y2)，所以eq\r(x＋c2＋y2)＋eq\r(x－c2＋y2)＝2a.①為了化簡方程①，我們將其左邊一個(gè)根式移到右邊，得eq\r(x＋c2＋y2)＝2a－eq\r(x－c2＋y2).②對方程②兩邊平方，得(x＋c)2＋y2＝4a2－4aeq\r(x－c2＋y2)＋(x－c)2＋y2，整理，得a2－cx＝aeq\r(x－c2＋y2)，③對方程③兩邊平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④將方程④兩邊同除以a2(a2－c2)，得eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－c2)＝1，⑤由橢圓的定義可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a2－c2>0.令b＝eq\r(a2－c2)，那么方程⑤就是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．⑥我們將方程⑥稱為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程．如圖，如果焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，且F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是(0，－c)，(0，c)，a，b的意義同上，那么橢圓的方程是什么？答：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征①幾何特征：橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸或y軸上．②代數(shù)特征：方程右邊為1，左邊是關(guān)于eq\f(x,a)與eq\f(y,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,a)與\f(x,b)))的平方和，并且分母為不相等的正值．③給出橢圓方程(，,),判斷該方程所表示的橢圓的焦點(diǎn)位置的方法是:橢圓的焦點(diǎn)在軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中項(xiàng)的分母較大;橢圓的焦點(diǎn)在軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中項(xiàng)的分母較大,這是判斷橢圓焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的重要方法.可簡記作:焦點(diǎn)位置看大小,焦點(diǎn)跟著大的跑.（x2項(xiàng)和y2項(xiàng)誰的分母大，焦點(diǎn)就在誰的軸上．）【即學(xué)即練4】橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,169)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(±5,0) B．(0，±5)C．(0，±12) D．(±12,0)【即學(xué)即練5】若橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則實(shí)數(shù)m的值為()A．1 B．2C．4 D．6【即學(xué)即練6】若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距為2，則m的值為()A．5 B．3C．5或3 D．8【即學(xué)即練7】若橢圓的焦距為6，a－b＝1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．【即學(xué)即練8】已知P為橢圓C上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，且|F1F2|＝2eq\r(3)，若2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1D.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,45)＝1或eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,48)＝1知識點(diǎn)3橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形．解決焦點(diǎn)三角形問題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理．以橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點(diǎn)的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則(1)橢圓的定義：|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)面積公式：S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，當(dāng)|y0|＝b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S△PF1F2取最大值，為bc.重要結(jié)論：S△PF1F2=推導(dǎo)過程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ得由三角形的面積公式可得S△PF1F2==注：S△PF1F2===（是三角形內(nèi)切圓的半徑）(4)焦點(diǎn)三角形的周長為2(a＋c)．(5)在橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中,F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任意的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，最大.【即學(xué)即練9】已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過左焦點(diǎn)F1，作直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則三角形ABF2的周長為（

）A．10 B．15 C．20 D．25【即學(xué)即練10】橢圓的焦點(diǎn)為點(diǎn)在橢圓上，若則的大小為___．【即學(xué)即練11】已知點(diǎn)在橢圓上，與分別為左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解題方略：確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個(gè)方面(1)“定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對位置，在中心為原點(diǎn)的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式；(2)“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解．【例1-1】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－4,0)，(4,0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10；(2)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，－2)，(0,2)，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))；(3)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，a∶b＝2∶1，c＝eq\r(6)；(4)經(jīng)過兩點(diǎn)(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(5)過點(diǎn)(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同的焦點(diǎn)．變式1：已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1變式2：已知點(diǎn)P在橢圓上，且P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別為5,3.過P且與橢圓的長軸垂直的直線恰好經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．考點(diǎn)二橢圓的定義及其應(yīng)用解題方略：橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，則點(diǎn)M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a.(2)直線過左焦點(diǎn)與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，則的周長為4a，即（直線過右焦點(diǎn)亦同）.（3）涉及焦點(diǎn)三角形面積時(shí)，可把|PF1|·|PF2|看作一個(gè)整體，運(yùn)用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而無需單獨(dú)求解．（一）根據(jù)橢圓的方程求參數(shù)的范圍【例2-1】若方程表示的曲線是橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為______．變式1：已知方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．（－3，1） B．（－3，5）C．（4，5） D．變式2：已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式3：“”是方程“表示橢圓”的（

）．A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件變式4：已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則的取值范圍是______．（二）橢圓的焦點(diǎn)三角形問題（1）求焦點(diǎn)三角形的內(nèi)角或邊長【例2-2】橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝6，則∠F1PF2的大小為________．變式1：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則（

）A． B． C． D．變式2：已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，若，則這樣的點(diǎn)P有______個(gè)．【例2-3】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足，則的值是（

）A．14 B．17 C．20 D．23變式1：設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段的中點(diǎn)在y軸上，則的值為（

）A． B． C． D．變式2：已知橢圓：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，過的直線交橢圓于兩點(diǎn).若是等邊三角形，則的值等于_________.（2）求焦點(diǎn)三角形的周長【例2-4】橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，一直線過F1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長為________．變式1：已知點(diǎn)是橢圓上的任意點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的周長為（

）A． B． C． D．變式2：已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上，的周長為16，則___________.變式3：若F為橢圓C：的右焦點(diǎn)，A，B為C上兩動(dòng)點(diǎn)，則△ABF周長的最大值為（

）A．4 B．8 C．10 D．20變式4：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的最大值為10，則的值是（

）A． B． C． D．求焦點(diǎn)三角形的面積【例2-5】設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且，則的面積為（

）A． B． C．4 D．6變式1：如圖所示，P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面積．變式2：設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且.則的面積為（

）A．6 B． C．8 D．變式3：已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上，且滿足，則的面積為___________.變式4：已知橢圓的焦點(diǎn)為，，若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，且△的面積等于4.則實(shí)數(shù)b的值為___________.變式5：設(shè)、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上，且的面積為，則（

）A． B． C． D．變式6：已知、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為上的點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A． B．2 C． D．4焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓問題【例2-6】已知橢圓兩焦點(diǎn)、，為橢圓上一點(diǎn)，若，則的內(nèi)切圓半徑為______變式1：已知橢圓，、為的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則內(nèi)切圓半徑的最大值為________．變式2：已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，如圖是過且垂直于長軸的弦，則的內(nèi)切圓方程是（

）A． B．C． D．（5）焦點(diǎn)三角形的綜合問題【例2-7】【多選】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與交于，兩點(diǎn)，則（

）A．的周長為4B．的周長為8C．橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1D．橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為3變式1：【多選】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，為橢圓上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的周長為6 B．的面積為C．的內(nèi)切圓的半徑為 D．的外接圓的直徑為變式2：已知橢圓M：的左右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，P是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．周長為B．面積最大值為C．存在點(diǎn)P滿足：D．若面積為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)為考點(diǎn)三與橢圓有關(guān)的軌跡問題解題方略：解決與橢圓有關(guān)的軌跡問題的三種方法(1)直接法：直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡為f(x，y)＝0.(2)定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．(3)相關(guān)點(diǎn)法：有些問題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法．（一）直接法【例3-1】點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(0,1)，(0，－1)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M.且直線AM的斜率與直線BM的斜率的乘積是－eq\f(1,2)，求點(diǎn)M的軌跡方程．變式1：已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足：直線的斜率與直線的斜率之積為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．（二）定義法【例3-2】若動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【例3-3】已知的周長等于10，，通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，頂點(diǎn)的軌跡方程可以是（

）A． B．C． D．【例3-4】已知兩圓：，：.動(dòng)圓在圓內(nèi)部且和圓相內(nèi)切，和圓相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．變式1：求過點(diǎn)P(3,0)且與圓x2＋6x＋y2－91＝0相內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程．變式2：已知，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．（三）相關(guān)點(diǎn)法【例3-5】已知P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段OP中點(diǎn)Q的軌跡方程為________．變式1：已知圓，從圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．變式2：如圖，設(shè)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的射影，M為PD上的一點(diǎn)，且．當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C方程；題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)(2,0)和點(diǎn)(0,1)；(2)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為P(0，－10)，點(diǎn)P到離它較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2.2、若，則“”是“方程表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3、已知，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)方程表示橢圓；(2)方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；(3)方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．4、橢圓具有如下的光學(xué)性質(zhì)：從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓內(nèi)壁反射后恰好穿過另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)從橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦點(diǎn)F發(fā)出的一條光線，經(jīng)過橢圓內(nèi)壁兩次反射后，回到點(diǎn)F，則光線所經(jīng)過的總路程為________．5、已知點(diǎn)滿足，點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對稱且，則的最大值為（

）A．10 B．9 C．8 D．26、已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，則的周長為____