高中數(shù)學(xué)期末考試經(jīng)典試題集前言期末考試是檢驗一學(xué)期學(xué)習(xí)成果的重要環(huán)節(jié)，也是對知識掌握程度的綜合考量。為幫助同學(xué)們更好地進(jìn)行復(fù)習(xí)備考，我們精心編撰了這份《高中數(shù)學(xué)期末考試經(jīng)典試題集》。本試題集精選了高中數(shù)學(xué)各主要知識模塊的典型題目，注重基礎(chǔ)與能力的結(jié)合，旨在引導(dǎo)同學(xué)們梳理知識脈絡(luò)、掌握解題方法、提升應(yīng)試技巧。希望同學(xué)們能通過對這些經(jīng)典試題的研習(xí)，查漏補(bǔ)缺，鞏固所學(xué)，在期末考試中取得理想成績。本試題集力求覆蓋核心知識點，題型多樣，解析詳盡，愿能成為同學(xué)們備考路上的得力助手。一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，在期末考試中占據(jù)舉足輕重的地位，題型靈活多變，綜合性強(qiáng)。重點考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)、函數(shù)與方程及不等式的綜合應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、極值與最值等方面的工具性作用。（一）函數(shù)的圖像與性質(zhì)例題1：已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(\mathbf{R}\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\geq0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)。（1）求函數(shù)\(f(x)\)的解析式；（2）畫出函數(shù)\(f(x)\)的圖像，并根據(jù)圖像寫出函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間。解答：（1）設(shè)\(x<0\)，則\(-x>0\)。因為當(dāng)\(x\geq0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，所以\(f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x\)。又因為\(f(x)\)是奇函數(shù)，所以\(f(-x)=-f(x)\)，即\(-f(x)=x^2+2x\)，故\(f(x)=-x^2-2x\)（\(x<0\)）。當(dāng)\(x=0\)時，由奇函數(shù)性質(zhì)\(f(0)=0\)，代入\(x\geq0\)時的表達(dá)式也成立。綜上，函數(shù)\(f(x)\)的解析式為：\[f(x)=\begin{cases}x^2-2x&(x\geq0)\\-x^2-2x&(x<0)\end{cases}\]（2）當(dāng)\(x\geq0\)時，\(f(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1\)，圖像為開口向上的拋物線，頂點在\((1,-1)\)，與x軸交于\((0,0)\)和\((2,0)\)。當(dāng)\(x<0\)時，\(f(x)=-x^2-2x=-(x^2+2x)=-(x+1)^2+1\)，圖像為開口向下的拋物線，頂點在\((-1,1)\)，與x軸交于\((0,0)\)。根據(jù)圖像（此處略，同學(xué)們可自行繪制），函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,-1]\)和\([1,+\infty)\)。解題反思：本題主要考查奇函數(shù)的定義、分段函數(shù)解析式的求法以及二次函數(shù)圖像與性質(zhì)。求奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的解析式是常見題型，關(guān)鍵在于利用奇函數(shù)的定義\(f(-x)=-f(x)\)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。畫分段函數(shù)圖像時要注意各段的定義域，并準(zhǔn)確標(biāo)出關(guān)鍵點。（二）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例題2：已知函數(shù)\(f(x)=x^3-ax^2+3x\)在區(qū)間\([1,+\infty)\)上是增函數(shù)，求實數(shù)\(a\)的取值范圍。解答：由題意，函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\(\mathbf{R}\)。對\(f(x)\)求導(dǎo)，得\(f'(x)=3x^2-2ax+3\)。因為函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([1,+\infty)\)上是增函數(shù)，所以\(f'(x)\geq0\)在區(qū)間\([1,+\infty)\)上恒成立，即：\[3x^2-2ax+3\geq0\]在\([1,+\infty)\)上恒成立。移項可得\(2ax\leq3x^2+3\)。因為\(x\in[1,+\infty)\)，所以\(x>0\)，兩邊同時除以\(2x\)，得：\[a\leq\frac{3x^2+3}{2x}=\frac{3}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\]令\(g(x)=\frac{3}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\)，則問題轉(zhuǎn)化為\(a\leqg(x)\)在\([1,+\infty)\)上恒成立，即\(a\leqg(x)_{\min}\)。對\(g(x)\)求導(dǎo)，得\(g'(x)=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\)。當(dāng)\(x\in[1,+\infty)\)時，\(x^2\geq1\)，則\(\frac{1}{x^2}\leq1\)，所以\(1-\frac{1}{x^2}\geq0\)，即\(g'(x)\geq0\)。因此，函數(shù)\(g(x)\)在\([1,+\infty)\)上單調(diào)遞增，其最小值為\(g(1)=\frac{3}{2}(1+1)=3\)。所以，\(a\leq3\)。故實數(shù)\(a\)的取值范圍是\((-\infty,3]\)。解題反思：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則其導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上非負(fù)；單調(diào)遞減，則導(dǎo)函數(shù)非正。對于恒成立問題，常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。本題中通過分離參數(shù)\(a\)，構(gòu)造新函數(shù)\(g(x)\)，利用導(dǎo)數(shù)求出\(g(x)\)的最小值，從而得到\(a\)的取值范圍。注意，當(dāng)\(x\)的取值范圍包含負(fù)數(shù)時，分離參數(shù)時要注意不等號方向的變化。二、三角函數(shù)與解三角形三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，解三角形則是其在實際問題中的直接應(yīng)用。期末考試中，這部分內(nèi)容常以選擇題、填空題和解答題的形式出現(xiàn)，重點考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角恒等變換以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用。（一）三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)例題3：已知函數(shù)\(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)\)（其中\(zhòng)(A>0\)，\(\omega>0\)，\(|\varphi|<\frac{\pi}{2}\)）的部分圖像如圖所示（圖像略，描述：圖像經(jīng)過點\((0,1)\)，在\(x=\frac{\pi}{6}\)時達(dá)到最大值2），求函數(shù)\(f(x)\)的解析式。解答：由題意知，函數(shù)\(f(x)\)的最大值為2，所以\(A=2\)。因為函數(shù)圖像經(jīng)過點\((0,1)\)，所以將\(x=0\)，\(y=1\)代入\(f(x)=2\sin(\omegax+\varphi)\)，得：\(2\sin(\varphi)=1\)，即\(\sin\varphi=\frac{1}{2}\)。又因為\(|\varphi|<\frac{\pi}{2}\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)。此時函數(shù)解析式為\(f(x)=2\sin(\omegax+\frac{\pi}{6})\)。圖像在\(x=\frac{\pi}{6}\)時達(dá)到最大值，即當(dāng)\(x=\frac{\pi}{6}\)時，\(\omegax+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)，\(k\in\mathbf{Z}\)。代入\(x=\frac{\pi}{6}\)，得\(\omega\cdot\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)?；喌肻(\frac{\omega\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+2k\pi\)，即\(\omega=2+12k\)，\(k\in\mathbf{Z}\)。因為\(\omega>0\)，通常在沒有其他條件限制時，取\(k=0\)，得\(\omega=2\)。故函數(shù)\(f(x)\)的解析式為\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)。解題反思：由三角函數(shù)圖像求解析式，關(guān)鍵在于確定\(A\)、\(\omega\)、\(\varphi\)三個參數(shù)。\(A\)由最值確定；\(\omega\)通常由周期\(T\)確定，\(\omega=\frac{2\pi}{T}\)，若圖像給出了相鄰的最值點或零點之間的距離，也可據(jù)此求出周期；\(\varphi\)則需要利用圖像上的已知點代入解析式，結(jié)合\(\varphi\)的取值范圍求解。（二）解三角形例題4：在\(\triangleABC\)中，角\(A\)、\(B\)、\(C\)所對的邊分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，已知\(a=3\)，\(b=2\sqrt{6}\)，\(B=2A\)。（1）求\(\cosA\)的值；（2）求\(c\)的值。解答：（1）在\(\triangleABC\)中，由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)。因為\(B=2A\)，所以\(\sinB=\sin2A=2\sinA\cosA\)。已知\(a=3\)，\(b=2\sqrt{6}\)，代入正弦定理得：\[\frac{3}{\sinA}=\frac{2\sqrt{6}}{2\sinA\cosA}\]因為\(\sinA\neq0\)（\(A\)為三角形內(nèi)角），兩邊同時約去\(\sinA\)，得：\[3=\frac{2\sqrt{6}}{2\cosA}\]化簡得\(3=\frac{\sqrt{6}}{\cosA}\)，所以\(\cosA=\frac{\sqrt{6}}{3}\)。（2）由（1）知\(\cosA=\frac{\sqrt{6}}{3}\)，因為\(A\)為三角形內(nèi)角，所以\(\sinA=\sqrt{1-\cos^2A}=\sqrt{1-\frac{6}{9}}=\sqrt{\frac{3}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。因為\(B=2A\)，所以\(\cosB=\cos2A=2\cos^2A-1=2\times\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2-1=2\times\frac{6}{9}-1=\frac{12}{9}-1=\frac{1}{3}\)。則\(\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)。在\(\triangleABC\)中，\(C=\pi-(A+B)\)，所以\(\sinC=\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB\)\[=\frac{\sqrt{3}}{3}\times\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{6}}{3}\times\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{9}+\frac{2\sqrt{12}}{9}=\frac{\sqrt{3}}{9}+\frac{4\sqrt{3}}{9}=\frac{5\sqrt{3}}{9}\]再由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\)，得\(c=\frac{a\sinC}{\sinA}=\frac{3\times\frac{5\sqrt{3}}{9}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=5\)。解題反思：本題考查正弦定理、余弦定理以及二倍角公式、兩角和的正弦公式在解三角形中的綜合應(yīng)用。第（1）問直接利用正弦定理結(jié)合二倍角公式求出\(\cosA\)；第（2）問求出\(\cosA\)后，可先求出\(\sinA\)，再通過二倍角公式求出\(\cosB\)和\(\sinB\)，進(jìn)而求出\(\sinC\)，最后由正弦定理求出\(c\)。解三角形時，要根據(jù)已知條件靈活選擇正弦定理或余弦定理，注意角的范圍對三角函數(shù)值的影響。三、數(shù)列數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，等差數(shù)列與等比數(shù)列是其基礎(chǔ)。期末考試中，數(shù)列問題常涉及通項公式的求解、前n項和的計算，以及數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識的綜合應(yīng)用，著重考查運算能力和邏輯推理能力。（一）等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算例題5：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，且\(a_3=5\)，\(S_{15}=225\)。（1）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式；（2）設(shè)\(b_n=2^{a_n}+2n\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項和\(T_n\)。解答：（1）設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的首項為\(a_1\)，公差為\(d\)。因為\(a_3=5\)，所以\(a_1+2d=5\)①。又因為\(S_{15