二次函數中考復習要點及題型訓練二次函數作為初中數學的核心內容之一，在中考中占據著舉足輕重的地位。其知識點密集，綜合性強，既能單獨命題，也常與幾何圖形、實際應用問題相結合，形成具有一定難度的綜合題。因此，扎實掌握二次函數的基礎知識，靈活運用其性質和解題方法，是中考數學取得優(yōu)異成績的關鍵。本文將結合中考命題特點，對二次函數的復習要點進行梳理，并輔以典型題型的訓練指導，希望能為同學們的復習備考提供有益的參考。一、復習要點梳理要攻克二次函數，首先必須對其核心概念、圖像性質及基本應用有清晰、準確的理解和把握。1.二次函數的定義與表達式二次函數的一般形式是`y=ax2+bx+c`（其中`a`、`b`、`c`是常數，且`a≠0`）。理解定義時，需明確自變量`x`的最高次數是2，且二次項系數`a`不能為零，這是判斷一個函數是否為二次函數的關鍵。除了一般式，二次函數還有另外兩種重要的表達式：*頂點式：`y=a(x-h)2+k`，其中`(h,k)`是拋物線的頂點坐標。這種形式在已知頂點或需要求最值時尤為便捷。*交點式（兩根式）：`y=a(x-x?)(x-x?)`，其中`x?`和`x?`是拋物線與`x`軸交點的橫坐標（即對應一元二次方程的根）。當已知拋物線與`x`軸的兩個交點時，使用交點式可以快速確定函數表達式。這三種表達式之間可以相互轉化，例如一般式通過配方可以轉化為頂點式，通過因式分解（在有實根的情況下）可以轉化為交點式。熟練掌握它們的轉化方法，能在解題時根據具體情況靈活選用最合適的表達式，達到事半功倍的效果。2.二次函數的圖像與性質二次函數的圖像是一條拋物線，其性質主要由二次項系數`a`、一次項系數`b`和常數項`c`共同決定。*開口方向與開口大?。河蒨a`的符號和絕對值決定。`a>0`時，拋物線開口向上；`a<0`時，拋物線開口向下。`|a|`的值越大，拋物線的開口越窄；`|a|`的值越小，拋物線的開口越寬。*頂點坐標與對稱軸：拋物線是軸對稱圖形。對于一般式`y=ax2+bx+c`，其對稱軸是直線`x=-b/(2a)`，頂點坐標是`(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))`。頂點是拋物線的最高點（當`a<0`時）或最低點（當`a>0`時），也是函數取得最大值或最小值的點。*增減性：以對稱軸為界，拋物線的增減性發(fā)生變化。當`a>0`時，在對稱軸左側（`x<-b/(2a)`），`y`隨`x`的增大而減小；在對稱軸右側（`x>-b/(2a)`），`y`隨`x`的增大而增大。當`a<0`時，情況相反。*最值：當`a>0`時，函數有最小值，`y最小值=(4ac-b2)/(4a)`；當`a<0`時，函數有最大值，`y最大值=(4ac-b2)/(4a)`。最值點即為頂點。*與坐標軸的交點：與`y`軸的交點是`(0,c)`。與`x`軸的交點個數由判別式`Δ=b2-4ac`決定：`Δ>0`時，有兩個不同的交點；`Δ=0`時，有一個交點（即頂點在`x`軸上）；`Δ<0`時，沒有交點。3.二次函數的平移拋物線的平移本質上是其頂點位置的移動。掌握平移規(guī)律對于解決圖像變換問題至關重要。一般地，將拋物線`y=ax2`平移，可以得到`y=a(x-h)2+k`的圖像。平移規(guī)律可總結為“上加下減，左加右減”。具體來說：*“上加下減”：是指在函數表達式的末尾加上或減去一個常數`k`，決定了拋物線沿`y`軸方向的平移。`k>0`向上平移，`k<0`向下平移。*“左加右減”：是指在自變量`x`的基礎上加上或減去一個常數`h`，決定了拋物線沿`x`軸方向的平移。需要注意的是，是`(x-h)`，因此`h>0`時，相當于`x`的值減小了`h`，圖像向右平移；`h<0`時，圖像向左平移。理解這一規(guī)律時，最好結合頂點坐標的變化來記憶，而不是死記硬背口訣。4.二次函數與一元二次方程、不等式的關系二次函數與一元二次方程、一元二次不等式之間存在著密切的內在聯(lián)系，這是中考的重點和難點。*二次函數`y=ax2+bx+c`的圖像與`x`軸交點的橫坐標`x?`、`x?`，就是一元二次方程`ax2+bx+c=0`的實數根。*一元二次不等式`ax2+bx+c>0`（或`<0`）的解集，可以通過二次函數`y=ax2+bx+c`的圖像位于`x`軸上方（或下方）的部分所對應的`x`的取值范圍來確定。這種聯(lián)系使得我們可以利用函數的圖像和性質來解決方程和不等式的問題，反之亦然。5.二次函數的應用二次函數在實際生活中有著廣泛的應用，如最大利潤、最省材料、最大高度等最值問題。解決這類問題的一般步驟是：1.審題：理解題意，明確問題中的已知量和未知量，找出數量之間的關系。2.建立模型：根據題意，設出合適的自變量和因變量，建立二次函數的表達式。3.求解函數：根據二次函數的性質，求出函數的最值或其他所需特征。4.檢驗作答：將所求結果代入實際問題中進行檢驗，確保符合題意，并寫出完整的答案。在建立模型時，要注意自變量的取值范圍必須符合實際意義。二、重點題型與解題策略1.二次函數解析式的確定這類題目通常會給出拋物線的頂點、與坐標軸的交點、或圖像上的幾個點的坐標等條件，要求求出二次函數的解析式。解題策略：*若已知頂點坐標或對稱軸、最值，優(yōu)先選用頂點式`y=a(x-h)2+k`。*若已知拋物線與`x`軸的兩個交點坐標，優(yōu)先選用交點式`y=a(x-x?)(x-x?)`。*若已知圖像上的三個普通點的坐標，或上述條件不明顯，則選用一般式`y=ax2+bx+c`，代入點的坐標，解三元一次方程組求出`a`、`b`、`c`。*無論選用哪種形式，最后都可以根據需要轉化為一般式。關鍵點：根據已知條件的特點，靈活選擇恰當的表達式形式，能簡化計算。2.二次函數圖像與性質的綜合運用這類題目主要考查對拋物線的開口方向、頂點、對稱軸、增減性、最值以及與坐標軸交點等性質的理解和靈活運用。常以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)。解題策略：*熟練掌握二次函數各項系數（`a`、`b`、`c`以及判別式`Δ`）與圖像特征之間的對應關系。例如，由`a`的符號判斷開口方向，由`a`和`b`的符號共同判斷對稱軸的位置（“左同右異”：當對稱軸在`y`軸左側時，`a`與`b`同號；當對稱軸在`y`軸右側時，`a`與`b`異號），由`c`的符號判斷與`y`軸交點的位置，由`Δ`判斷與`x`軸交點的個數。*結合圖像進行分析，利用數形結合的思想，將抽象的代數關系轉化為直觀的幾何圖形，或反之。*對于涉及比較函數值大小的問題，要注意利用對稱軸和增減性，或通過作差法比較。關鍵點：數形結合是解決此類問題的核心思想。3.二次函數與方程、不等式的綜合這類題目常常將二次函數與一元二次方程的根、根的判別式、根與系數的關系（韋達定理）以及一元二次不等式的解集結合起來考查。解題策略：*深刻理解二次函數圖像與`x`軸交點的橫坐標就是對應一元二次方程的根。*利用判別式`Δ`判斷拋物線與`x`軸的交點情況，進而判斷方程根的情況。*結合二次函數的圖像，確定不等式`ax2+bx+c>0`（或`<0`）的解集，特別要注意`a`的符號對不等號方向的影響。*若涉及到兩根之和、兩根之積的問題，可考慮運用韋達定理，但要注意韋達定理成立的前提是`Δ≥0`。關鍵點：抓住函數圖像與`x`軸的交點這一核心紐帶。4.二次函數的實際應用問題這類題目通常從生活實際出發(fā)，構建一個可以用二次函數模型來描述的問題情境，要求解決諸如最大利潤、最大面積、最佳方案等最值問題。解題策略：*仔細閱讀題目，理解問題的實際背景，明確所求的目標（如最大利潤、最小成本等）。*合理設出自變量`x`和因變量`y`，分析題目中的數量關系，根據等量關系列出二次函數的解析式。注意自變量的取值范圍要符合實際意義。*將二次函數解析式化為頂點式，或利用頂點坐標公式求出頂點坐標，根據`a`的符號判斷是最大值還是最小值，并檢驗該最值點是否在自變量的取值范圍內。*根據計算結果，結合實際問題給出具體的解答。關鍵點：準確建模和確定自變量的取值范圍是解決實際應用問題的關鍵。5.二次函數與幾何圖形的綜合這類題目難度較大，常將二次函數與三角形、四邊形等幾何圖形結合起來，考查函數圖像與幾何圖形的性質、動態(tài)變化、存在性等問題。解題策略：*這類題目往往涉及到點的坐標、線段長度、圖形面積、圖形的特殊形狀（如等腰三角形、直角三角形、平行四邊形等）的判定。*解決此類問題，首先要根據題意畫出大致圖形，將幾何條件轉化為代數條件，即用坐標表示點，用代數式表示線段長度或圖形面積。*利用二次函數的表達式表示出相關點的坐標，再結合幾何圖形的性質（如勾股定理、全等、相似、平行、垂直的判定與性質等）列出方程或函數關系式。*對于存在性問題，通常先假設存在，然后根據條件進行推理計算，若能求出符合條件的解，則存在；反之，則不存在。關鍵點：動態(tài)分析、轉化與化歸、分類討論是解決此類綜合題的常用思想方法。要善于將幾何問題代數化。三、復習建議1.回歸基礎，夯實概念：二次函數的定義、圖像、性質是所有題型的基礎，務必做到理解透徹、記憶準確、運用熟練。2.勤于總結，歸納方法：對于不同類型的題目，要注意總結解題規(guī)律和常用方法，形成自己的解題思路。例如，求最值的方法、確定解析式的技巧等。3.強化訓練，注重變式：通過一定量的練習來鞏固所學知識，但要避免題海戰(zhàn)術。要精選題目，特別是中考真題和模擬題，并注意一題多解、一題多變，提高解題的靈活性和應變能力。4.重視錯題，查漏補缺：