2025年大同高二數(shù)學(xué)試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式\(a_n=3n-2\)，則\(a_5\)的值為（）A.13B.14C.15D.16答案：A2.雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{3}{5}x\)D.\(y=\pm\frac{5}{3}x\)答案：B3.若向量\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec=(x,4)\)，且\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x\)的值為（）A.2B.-2C.8D.-8答案：B4.已知\(\cos\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，則\(\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})\)的值為（）A.\(\frac{7\sqrt{2}}{10}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{10}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{5}\)D.\(\frac{3\sqrt{2}}{10}\)答案：A5.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_5=10\)，\(a_4=7\)，則數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.4答案：B6.拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）A.1B.2C.4D.8答案：C7.已知\(\vec{a}\)，\(\vec\)為單位向量，且\(\vec{a}\cdot\vec=\frac{1}{2}\)，則\(\vert\vec{a}-\vec\vert\)的值為（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(\sqrt{3}\)C.1D.2答案：C8.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\((2,+\infty)\)B.\((-\infty,2)\)C.\((0,2)\)D.\((-\infty,0)\)答案：C9.若橢圓\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1\)（\(m\gtn\gt0\)）的離心率為\(\frac{1}{2}\)，且經(jīng)過點(diǎn)\((\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{2})\)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)B.\(\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\)C.\(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1\)D.\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)答案：A10.已知函數(shù)\(f(x)\)的導(dǎo)函數(shù)為\(f^\prime(x)\)，且滿足\(f(x)=2xf^\prime(1)+\lnx\)，則\(f^\prime(1)\)的值為（）A.-1B.1C.-eD.e答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列說法正確的是（）A.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)B.若\(a\gtb\gt0\)，\(c\ltd\lt0\)，則\(ac\ltbd\)C.若\(a\gtb\)，則\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)D.若\(a\gtb\)，則\(a^3\gtb^3\)答案：BD2.已知向量\(\vec{a}=(1,m)\)，\(\vec=(3,-2)\)，且\((\vec{a}+\vec)\perp\vec\)，則\(m\)的值可以是（）A.-8B.-6C.6D.8答案：AD3.設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(S_3=9\)，\(S_6=36\)，則（）A.\(a_1=1\)B.\(d=2\)C.\(a_5=9\)D.\(S_{10}=100\)答案：ABCD4.下列關(guān)于雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的說法正確的是（）A.實(shí)軸長為\(2a\)B.漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)C.離心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(e\gt1\)D.焦點(diǎn)到漸近線的距離為\(b\)答案：ABCD5.已知函數(shù)\(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\gt0\)，\(\omega\gt0\)，\(\vert\varphi\vert\lt\frac{\pi}{2}\)）的部分圖象如圖所示，則（）A.\(A=2\)B.\(\omega=2\)C.\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)D.\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}]\)，\(k\inZ\)答案：ABC6.若直線\(y=kx+1\)與圓\(x^2+y^2=1\)相交于\(A\)，\(B\)兩點(diǎn)，且\(\angleAOB=120^{\circ}\)（\(O\)為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（）A.\(k=\pm\sqrt{3}\)B.弦長\(\vertAB\vert=\sqrt{3}\)C.三角形\(AOB\)的面積為\(\frac{\sqrt{3}}{4}\)D.圓\(x^2+y^2=1\)上到直線\(y=kx+1\)的距離為\(1\)的點(diǎn)有\(zhòng)(2\)個(gè)答案：AC7.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為正實(shí)數(shù)，且\(a+b+c=1\)，則（）A.\(a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}\)B.\(ab+bc+ca\leq\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}\geq9\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt+\sqrt{c}\leq\sqrt{3}\)答案：ABCD8.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，則（）A.\(f(x)\)是奇函數(shù)B.\(f(x)\)的極大值為\(2\)C.\(f(x)\)的極小值為\(-2\)D.\(f(x)\)在區(qū)間\((-1,1)\)上單調(diào)遞增答案：ABCD9.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的左、右焦點(diǎn)分別為\(F_1,F_2\)，點(diǎn)\(P\)在橢圓上，且\(\angleF_1PF_2=90^{\circ}\)，則（）A.\(\vertPF_1\vert^2+\vertPF_2\vert^2=4c^2\)B.\(\vertPF_1\vert\cdot\vertPF_2\vert=2b^2\)C.\(\triangleF_1PF_2\)的面積為\(b^2\)D.離心率\(e\)的取值范圍是\([\frac{\sqrt{2}}{2},1)\)答案：ABCD10.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，則（）A.\(a_n=2^n-1\)B.\(a_n=2^{n-1}\)C.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=2^{n+1}-n-2\)D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=2^{n+1}-2\)答案：AC三、判斷題1.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（×）2.向量\(\vec{a}=(1,2)\)與向量\(\vec=(2,4)\)共線。（√）3.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(q=2\)，則\(a_3=4\)。（√）4.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（√）5.雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)的離心率為\(\frac{\sqrt{13}}{2}\)。（√）6.若直線\(l_1\)：\(y=k_1x+b_1\)與直線\(l_2\)：\(y=k_2x+b_2\)垂直，則\(k_1k_2=-1\)。（√）7.拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是\((1,0)\)。（√）8.函數(shù)\(f(x)=x^3\)在\(R\)上是增函數(shù)。（√）9.已知\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec=\vec{0}\)。（×）10.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2\)，則\(a_n=2n-1\)。（√）四、簡答題1.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_5=25\)。求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式。答案：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)。由\(a_3=5\)可得\(a_1+2d=5\)；由\(S_5=25\)，根據(jù)等差數(shù)列求和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，可得\(5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25\)，即\(a_1+2d=5\)。聯(lián)立解得\(a_1=1\)，\(d=2\)。所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。2.已知向量\(\vec{a}=(1,-1)\)，\(\vec=(2,x)\)，若\(\vec{a}+2\vec\)與\(\vec{a}\)垂直，求\(x\)的值。答案：首先求出\(\vec{a}+2\vec\)的坐標(biāo)，\(\vec{a}+2\vec=(1,-1)+2(2,x)=(1+4,-1+2x)=(5,2x-1)\)。因?yàn)閈(\vec{a}+2\vec\)與\(\vec{a}\)垂直，根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，它們的數(shù)量積為\(0\)，即\((\vec{a}+2\vec)\cdot\vec{a}=5\times1+(2x-1)\times(-1)=0\)，\(5-2x+1=0\)，\(6-2x=0\)，解得\(x=3\)。3.求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的極值。答案：對(duì)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(0\ltx\lt2\)時(shí)，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\gt2\)時(shí)，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增。所以\(x=0\)時(shí)取得極大值\(f(0)=2\)；\(x=2\)時(shí)取得極小值\(f(2)=-2\)。4.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且過點(diǎn)\((0,1)\)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。答案：因?yàn)闄E圓過點(diǎn)\((0,1)\)，將點(diǎn)代入橢圓方程可得\(\frac{0^2}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1\)，所以\(b=1\)。又因?yàn)殡x心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且\(a^2=b^2+c^2\)，把\(b=1\)代入可得\(a^2=