2026年中考垂徑定理真題及答案

一、單項選擇題1.已知⊙O的半徑為5，弦AB=8，M是弦AB上的動點，則OM的長的取值范圍是（）A.3≤OM≤5B.4≤OM≤5C.3＜OM＜5D.4＜OM＜5答案：A2.如圖，在⊙O中，弦AB的長為8，OC⊥AB于點C，且OC=3，則⊙O的半徑為（）A.5B.10C.8D.6答案：A3.已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則AC的長為（）A.2√5cmB.4√5cmC.2√5cm或4√5cmD.2√3cm或4√3cm答案：C4.如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足為點P，則OP的長為（）A.3B.2.5C.4D.3.5答案：C5.把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=4，則球的半徑長是（）A.2B.2.5C.3D.4答案：B6.如圖，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，則∠BOD=（）A.20°B.40°C.50°D.80°答案：D7.已知⊙O的半徑為13，弦AB的長度是24，則圓心O到弦AB的距離是（）A.5B.6C.10D.12答案：A8.如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，若⊙O的半徑為5，AB=8，則CD的長是（）A.2B.3C.4D.5答案：A9.一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA=1m，水面寬AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，則此時排水管水面寬CD等于（）A.1.4mB.1.6mC.1.8mD.2.0m答案：B10.如圖，⊙O的半徑為5，弦AB=8，點C在弦AB上，且AC=1/4AB，則OC的長為（）A.√13B.2√3C.3√2D.4答案：A二、多項選擇題1.下列關(guān)于垂徑定理的說法正確的是（）A.垂直于弦的直徑平分弦B.平分弦的直徑垂直于弦C.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心D.平分弦所對一條弧的直徑垂直平分這條弦答案：ACD2.如圖，在⊙O中，弦AB與CD相交于點P，且AB=CD，連接AD、BC，則下列結(jié)論正確的是（）A.AD=BCB.∠A=∠CC.OP垂直平分ABD.OP垂直平分CD答案：ABCD3.已知⊙O的半徑為R，弦AB的長為a，弦心距為d，且R、a、d滿足（R+d）（R-d）=a2/4，則有（）A.弦AB所對的圓心角為60°B.弦AB所對的圓心角為90°C.弦AB所對的圓心角為120°D.弦AB所對的弧是半圓答案：B4.如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，下列結(jié)論正確的是（）A.CE=DEB.BC=BDC.∠BOC=2∠BECD.∠BAC=∠BAD答案：ABD5.下列說法中，正確的是（）A.圓的對稱軸是直徑所在的直線B.平分弦的直徑垂直于弦C.圓的任意一條弦把圓分成優(yōu)弧和劣弧兩部分D.垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧答案：AD6.如圖，在⊙O中，弦CD垂直于直徑AB于點E，下列結(jié)論正確的是（）A.CE=DEB.BC=BDC.∠B=∠DD.AE=BE答案：ABC7.已知⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，點C是弦AB上的一個動點，則OC的取值范圍是（）A.0≤OC≤3B.3≤OC≤5C.0＜OC＜5D.3＜OC＜5答案：B8.如圖，在⊙O中，弦AB=CD，AB與CD相交于點P，則下列結(jié)論正確的是（）A.AP=CPB.BP=DPC.OP平分∠APDD.弧AC=弧BD答案：ABCD9.下列關(guān)于圓的性質(zhì)說法正確的是（）A.圓是軸對稱圖形，有無數(shù)條對稱軸B.垂直于弦的直徑平分弦及弦所對的兩條弧C.平分弦的直徑垂直于弦D.圓內(nèi)接四邊形對角互補答案：ABD10.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，下列結(jié)論正確的是（）A.∠A=1/2∠COBB.CE=DEC.弧BC=弧BDD.△BCE∽△BAO答案：ABC三、判斷題1.平分弦的直徑垂直于弦。（×）2.垂直于弦的直線平分弦所對的兩條弧。（×）3.圓的對稱軸是直徑。（×）4.弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心。（√）5.平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。（√）6.圓內(nèi)兩條平行弦所夾的弧相等。（√）7.過圓心且平分弦的直線垂直于弦。（×）8.若圓的一條弦長等于它的半徑，則這條弦所對的圓心角為60°。（√）9.圓中最長的弦是直徑。（√）10.垂直于弦的直徑平分這條弦。（√）四、簡答題1.簡述垂徑定理的內(nèi)容。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的兩條弧。具體來說，若圓的直徑垂直于一條弦，那么這條直徑會把該弦分成相等的兩段，同時這條弦所對的優(yōu)弧和劣弧也分別被平分。垂徑定理在圓的相關(guān)計算和證明中有著重要作用，可用于求弦長、半徑、弦心距等相關(guān)量。2.已知⊙O的半徑為10cm，弦AB=16cm，求圓心O到弦AB的距離。過點O作OC⊥AB于點C，根據(jù)垂徑定理，AC=BC=AB/2=8cm。在Rt△OAC中，OA=10cm，AC=8cm，由勾股定理可得OC=√(OA2-AC2)=√(102-82)=√(100-64)=6cm，即圓心O到弦AB的距離為6cm。3.如圖，在⊙O中，弦AB=12cm，OC⊥AB于點C，OC=8cm，求⊙O的半徑。連接OA，因為OC⊥AB，根據(jù)垂徑定理，AC=BC=AB/2=6cm。在Rt△OAC中，OC=8cm，AC=6cm，設(shè)⊙O的半徑OA=r，則由勾股定理可得r2=AC2+OC2，即r2=62+82=36+64=100，所以r=10cm，即⊙O的半徑為10cm。4.若圓的半徑為5，一條弦長為6，求這條弦的弦心距。過圓心作弦的垂線，設(shè)弦心距為d，弦長為AB=6。由垂徑定理可知，弦的一半為3。已知圓半徑為5，在由半徑、弦的一半和弦心距構(gòu)成的直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得d=√(52-32)=√(25-9)=√16=4，所以這條弦的弦心距為4。五、討論題1.在圓中，已知一條弦及其所對的圓心角，如何利用垂徑定理求弦長和圓心到弦的距離？首先，過圓心作弦的垂線，根據(jù)垂徑定理，這條垂線會平分弦以及弦所對的圓心角。設(shè)圓的半徑為R，弦所對圓心角為2α。則弦長的一半等于Rsinα，所以弦長為2Rsinα。圓心到弦的距離等于Rcosα。通過垂徑定理構(gòu)建直角三角形，利用三角函數(shù)關(guān)系可準確求出弦長和圓心到弦的距離，這體現(xiàn)了垂徑定理在解決圓中此類問題的關(guān)鍵作用。2.垂徑定理在實際生活中有哪些應(yīng)用？舉例說明。垂徑定理在實際生活中有很多應(yīng)用。比如在修建圓柱形油罐時，要計算油罐內(nèi)油面寬度。若已知油罐半徑和油面到罐頂距離，利用垂徑定理可構(gòu)建直角三角形，求出油面寬度。又如在拱橋設(shè)計中，已知橋拱半徑和跨度，通過垂徑定理可求出橋拱的矢高，進而確定橋拱形狀。再如測量圓形工件內(nèi)部孔徑，通過測量弦長和圓心到弦的距離，利用垂徑定理可算出孔徑大小。3.已知圓內(nèi)兩條平行弦，如何運用垂徑定理解決相關(guān)問題？當圓內(nèi)有兩條平行弦時，過圓心分別作這兩條弦的垂線。根據(jù)垂徑定理，這兩條垂線分別平分兩條弦。設(shè)圓半徑為R，兩條平行弦長分別為a、b，圓心到兩條弦的距離分別為d1、d2。若兩弦在圓心同側(cè)，則兩弦間距離為|d1-d2|；若兩弦在圓心兩側(cè)，則兩弦間距離為d1+d2。通過垂徑定理將弦長、半徑和圓心到弦的距離聯(lián)系起來，利用勾股定理求出距離，進而解決兩弦間距離等相關(guān)問題。4.請討論垂徑定理與勾股定理在圓的計算