線性代數(shù)期末考試試題及答案

一、單項選擇題1.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(|A|=0\)，則（）A.\(A\)中必有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例B.\(A\)中至少有一行（列）的元素全為零C.\(A\)中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合D.\(A\)的任一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合答案：C2.設(shè)\(A\)，\(B\)均為\(n\)階可逆矩陣，則下列結(jié)論正確的是（）A.\((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\)B.\((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\)C.\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)D.\(|A+B|=|A|+|B|\)答案：C3.已知向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，則向量組\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)（）A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.可能線性相關(guān)也可能線性無關(guān)D.以上都不對答案：B4.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)為實數(shù)，則\(|\lambdaA|=\)（）A.\(\lambda|A|\)B.\(\lambda^n|A|\)C.\(|\lambda||A|\)D.\(|\lambda|^n|A|\)答案：B5.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(Ax=0\)是非齊次線性方程組\(Ax=b\)對應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是（）A.若\(Ax=0\)只有零解，則\(Ax=b\)有唯一解B.若\(Ax=0\)有非零解，則\(Ax=b\)有無窮多解C.若\(Ax=b\)有無窮多解，則\(Ax=0\)有非零解D.若\(Ax=b\)有唯一解，則\(Ax=0\)有非零解答案：C6.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值為（）A.只能是\(0\)或\(1\)B.只能是\(0\)C.只能是\(1\)D.可以是任意實數(shù)答案：A7.已知\(A\)是\(n\)階正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.\(|A|=1\)B.\(A^T=A^{-1}\)C.\(A\)的列向量組是標準正交向量組D.\(A\)的行向量組是標準正交向量組答案：A8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(r(A)=r\ltn\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)的秩\(r(A^)\)為（）A.\(r\)B.\(n-r\)C.\(1\)D.\(0\)答案：D（當\(r(A)\ltn-1\)時）；答案：1（當\(r(A)=n-1\)時）9.設(shè)\(A\)是\(n\)階實對稱矩陣，\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的兩個不同的特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分別是對應(yīng)于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量，則（）A.\(\xi_1\)與\(\xi_2\)正交B.\(\xi_1\)與\(\xi_2\)線性相關(guān)C.\(\xi_1\)與\(\xi_2\)不一定正交D.\(\xi_1\)與\(\xi_2\)必不正交答案：A10.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(|A|=2\)，則\(|2A^{-1}|=\)（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(8\)答案：C二、多項選擇題1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(r(A)+r(B)\leqn\)B.\(A=0\)或\(B=0\)C.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)D.\(A\)的列向量組線性相關(guān)或者\(B\)的行向量組線性相關(guān)答案：ACD2.下列關(guān)于向量組線性相關(guān)性的說法正確的是（）A.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)B.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)中含有零向量，則該向量組線性相關(guān)C.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性無關(guān)，\(\beta\)不能由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性表示，則向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m,\beta\)線性無關(guān)D.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性相關(guān)，向量組\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m\)也線性相關(guān)，則向量組\(\alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2,\cdots,\alpha_m+\beta_m\)線性相關(guān)答案：ABC3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列說法正確的是（）A.若\(A\)可逆，則\(A\)的特征值都不為零B.若\(A\)不可逆，則\(0\)是\(A\)的一個特征值C.\(A\)的特征值與\(A^T\)的特征值相同D.若\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\xi\)是對應(yīng)的特征向量，則\(k\xi\)（\(k\neq0\)）也是對應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量答案：ABCD4.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，線性方程組\(Ax=b\)的增廣矩陣為\(\overline{A}\)，則下列說法正確的是（）A.若\(r(A)=r(\overline{A})\)，則\(Ax=b\)有解B.若\(r(A)\ltr(\overline{A})\)，則\(Ax=b\)無解C.若\(r(A)=n\)，則\(Ax=b\)有唯一解D.若\(r(A)\ltn\)，則\(Ax=b\)有無窮多解答案：AB5.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項式C.\(|A|=|B|\)D.\(r(A)=r(B)\)答案：ABCD6.已知向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，向量組\(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3\)，\(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1\)，則（）A.向量組\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)線性無關(guān)B.向量組\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)能由向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性表示C.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)能由向量組\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)線性表示D.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)與向量組\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)等價答案：ABCD7.設(shè)\(A\)為\(n\)階正交矩陣，則（）A.\(A\)的列向量組是正交向量組B.\(A\)的行向量組是正交向量組C.\(|A|^2=1\)D.\(A\)的特征值的模為\(1\)答案：ABCD8.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(A\)的特征值為\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)，則（）A.\(|A|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n\)B.\(tr(A)=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n\)（\(tr(A)\)表示\(A\)的跡）C.若\(A\)可逆，則\(A^{-1}\)的特征值為\(\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\cdots,\frac{1}{\lambda_n}\)D.若\(A\)可逆，則\(A^\)的特征值為\(\frac{|A|}{\lambda_1},\frac{|A|}{\lambda_2},\cdots,\frac{|A|}{\lambda_n}\)答案：ABCD9.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列哪些運算滿足結(jié)合律（）A.矩陣加法B.矩陣乘法C.矩陣的數(shù)乘D.求伴隨矩陣答案：ABC10.下列關(guān)于矩陣的秩的說法正確的是（）A.若\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，則\(0\leqr(A)\leq\min\{m,n\}\)B.若\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，則\(r(A)=n\)C.若\(A\)與\(B\)等價，則\(r(A)=r(B)\)D.\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)答案：ABCD三、判斷題1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（√）2.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性相關(guān)，則\(\alpha_1\)一定能由\(\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_m\)線性表示。（×）3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(|A|\neq0\)，則\(A\)的列向量組線性無關(guān)。（√）4.若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)一定合同。（×）5.線性方程組\(Ax=b\)的解的線性組合仍是該線性方程組的解。（×）6.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\xi\)是對應(yīng)的特征向量，則\(A^k\xi=\lambda^k\xi\)（\(k\)為正整數(shù)）。（√）7.若\(A\)是\(n\)階實對稱矩陣，則\(A\)一定可以正交相似對角化。（√）8.矩陣\(A\)的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩。（√）9.若\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A^2=E\)，則\(A\)的特征值只能是\(1\)或\(-1\)。（√）10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)的列向量組線性無關(guān)，則\(A\)可逆。（√）四、簡答題1.簡述矩陣可逆的充要條件。矩陣\(A\)可逆的充要條件有多個。首先\(|A|\neq0\)，即矩陣\(A\)的行列式不為零；其次\(r(A)=n\)，也就是矩陣\(A\)的秩等于其階數(shù)；還可以說\(A\)可以表示為有限個初等矩陣的乘積；另外，齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解，或者非齊次線性方程組\(Ax=b\)有唯一解等也都是\(A\)可逆的充要條件。2.說明向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性相關(guān)是指存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)。而向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性無關(guān)是指只有當\(k_1=k_2=\cdots=k_m=0\)時，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)才成立，不存在不全為零的數(shù)使該等式成立。3.簡述實對稱矩陣的性質(zhì)。實對稱矩陣具有諸多重要性質(zhì)。一是實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)；二是實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交；三是實對稱矩陣一定可以相似對角化，且存在正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^{-1}AQ=Q^TAQ\)為對角矩陣；四是實對稱矩陣的秩等于其非零特征值的個數(shù)；五是實對稱矩陣的主對角線元素之和等于其所有特征值之和。4.簡述矩陣的秩的概念及求法。矩陣的秩是