高考數(shù)學(xué)真題原題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合\(A=\{x|x^2-2x-3\leq0\}\)，\(B=\{x|x\gt2\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\((2,3]\)B.\((2,3)\)C.\([-1,2)\)D.\([-1,2]\)答案：A2.若\(z=\frac{1+2i}{1-i}\)，則\(|z|=\)（）A.\(\frac{\sqrt{10}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)C.\(\sqrt{10}\)D.\(\sqrt{5}\)答案：A3.函數(shù)\(f(x)=\frac{\sinx+x}{\cosx+x^2}\)在\([-\pi,\pi]\)的圖象大致為（）答案：C4.設(shè)\(a=\log_32\)，\(b=\log_53\)，\(c=\frac{2}{3}\)，則（）A.\(a\ltc\ltb\)B.\(a\ltb\ltc\)C.\(b\ltc\lta\)D.\(c\lta\ltb\)答案：A5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(4\)項(xiàng)和為\(15\)，且\(a_5=3a_3+4a_1\)，則\(a_3=\)（）A.\(16\)B.\(8\)C.\(4\)D.\(2\)答案：C6.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,-2)\)，\(\overrightarrow{c}=(1,\lambda)\)。若\(\overrightarrow{c}\parallel(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow)\)，則\(\lambda=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(1\)D.\(2\)答案：A7.過(guò)拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)\(F\)且傾斜角為\(60^{\circ}\)的直線交拋物線于\(A\)，\(B\)兩點(diǎn)，則\(|AB|=\)（）A.\(\frac{16}{3}\)B.\(\frac{8}{3}\)C.\(\frac{8\sqrt{3}}{3}\)D.\(8\)答案：A8.某圓柱的高為\(2\)，底面周長(zhǎng)為\(16\)，其三視圖如右圖。圓柱表面上的點(diǎn)\(M\)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為\(A\)，圓柱表面上的點(diǎn)\(N\)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為\(B\)，則在此圓柱側(cè)面上，從\(M\)到\(N\)的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）A.\(2\sqrt{17}\)B.\(2\sqrt{5}\)C.\(3\)D.\(2\)答案：B9.已知函數(shù)\(f(x)=2\sinx+\sin2x\)，則\(f(x)\)的最小值是（）A.\(-3\)B.\(-2\)C.\(-2\sqrt{2}\)D.\(-\sqrt{3}\)答案：A10.已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點(diǎn)分別為\(F_1,F_2\)，過(guò)\(F_2\)的直線與橢圓\(C\)交于\(A\)，\(B\)兩點(diǎn)，若\(\overrightarrow{AF_1}\cdot\overrightarrow{AF_2}=0\)，\(|\overrightarrow{AF_1}|=2|\overrightarrow{AF_2}|\)，則橢圓\(C\)的離心率為（）A.\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{3}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(\frac{1}{3}\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.已知函數(shù)\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)，其圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為\(\frac{\pi}{2}\)，且直線\(x=-\frac{\pi}{12}\)是其中一條對(duì)稱(chēng)軸，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)B.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]\)上單調(diào)遞增C.點(diǎn)\((-\frac{\pi}{6},0)\)是函數(shù)\(f(x)\)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心D.將函數(shù)\(f(x)\)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的\(2\)倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到\(g(x)=\sinx\)的圖象答案：ABC2.設(shè)\(a,b,c\)都是正數(shù)，且\(4^a=6^b=9^c\)，則（）A.\(ab+bc=2ac\)B.\(ab+bc=ac\)C.\(\frac{2}{c}=\frac{2}{a}+\frac{1}\)D.\(\frac{1}{c}=\frac{2}-\frac{1}{a}\)答案：AD3.已知\(M\)是橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)上一點(diǎn)，\(F_1,F_2\)為橢圓\(C\)的左、右焦點(diǎn)，若\(\angleF_1MF_2=60^{\circ}\)，且\(\triangleF_1MF_2\)的面積為\(4\sqrt{3}\)，則（）A.\(b=2\)B.\(b=4\)C.\(\triangleF_1MF_2\)的周長(zhǎng)為\(2a+4\)D.\(\triangleF_1MF_2\)的周長(zhǎng)為\(2a+8\)答案：AD4.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+ax+1\)在\((-\infty,0)\)上是增函數(shù)，則\(a\)的值可以是（）A.\(a=0\)B.\(a=1\)C.\(a=2\)D.\(a=3\)答案：BCD5.已知圓\(C:x^2+y^2-2x-2y-2=0\)，直線\(l:y=k(x-2)\)與圓\(C\)交于\(A\)，\(B\)兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)\(k=1\)時(shí)，\(|AB|=2\sqrt{2}\)B.存在\(k\)使得以\(AB\)為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)C.無(wú)論\(k\)取何值，直線\(l\)恒過(guò)定點(diǎn)D.圓心\(C\)到直線\(l\)的距離的最大值為\(\sqrt{2}\)答案：BCD6.已知\(a,b\inR\)，則“\(a^2+b^2\leq1\)”是“\(|a|+|b|\leq1\)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案：B7.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x\)，則（）A.\(f(-1)=1\)B.當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(f(x)=-x^2-2x\)C.函數(shù)\(f(x)\)有\(zhòng)(3\)個(gè)零點(diǎn)D.\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)上單調(diào)遞增答案：BC8.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，且\(S_n=2a_n-1\)，則（）A.\(a_1=1\)B.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列C.\(a_n=2^{n-1}\)D.\(S_n=2^n-1\)答案：ABCD9.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象關(guān)于直線\(x=1\)對(duì)稱(chēng)，且在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增，設(shè)\(a=f(-\frac{1}{2})\)，\(b=f(2)\)，\(c=f(3)\)，則（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(b\lta\ltc\)C.\(b\ltc\lta\)D.\(c\ltb\lta\)答案：B10.已知雙曲線\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的左、右焦點(diǎn)分別為\(F_1,F_2\)，過(guò)\(F_2\)的直線與雙曲線\(C\)的右支交于\(A\)，\(B\)兩點(diǎn)，若\(|AF_1|=|AB|\)，且\(\angleF_1AB=90^{\circ}\)，則雙曲線\(C\)的離心率為（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(\sqrt{5}\)D.\(\sqrt{10}-\sqrt{2}\)答案：D三、判斷題1.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)。（×）2.函數(shù)\(y=\sinx\)的對(duì)稱(chēng)軸方程為\(x=k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)。（√）3.若向量\(\overrightarrow{a},\overrightarrow\)滿足\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)。（√）4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和公式為\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（√）5.若函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)有\(zhòng)(f^\prime(x)\gt0\)，則\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上單調(diào)遞增。（√）6.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(zhòng)(c^2=a^2-b^2\)。（√）7.函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)。（×，\(\omega\gt0\)時(shí)才成立）8.若\(a^m=a^n\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)），則\(m=n\)。（√）9.空間中，垂直于同一條直線的兩條直線一定平行。（×）10.若\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），則\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)。（√）四、簡(jiǎn)答題1.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_6=36\)。求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式。設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)。因?yàn)閈(a_3=5\)，所以\(a_1+2d=5\)；又\(S_6=36\)，由\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)得\(6a_1+\frac{6\times5}{2}d=36\)，即\(6a_1+15d=36\)。聯(lián)立方程組\(\begin{cases}a_1+2d=5\\6a_1+15d=36\end{cases}\)，解得\(a_1=1\)，\(d=2\)，所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。2.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)。求函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間。對(duì)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)\gt0\)，即\(3x(x-2)\gt0\)，解得\(x\lt0\)或\(x\gt2\)，所以\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)；令\(f^\prime(x)\lt0\)，即\(3x(x-2)\lt0\)，解得\(0\ltx\lt2\)，所以\(f(x)\)的單調(diào)遞減區(qū)間為\((0,2)\)。3.已知圓\(C\)的圓心在直線\(x-y+1=0\)上，且圓\(C\)與\(x\)軸相切，點(diǎn)\((0,3)\)在圓\(C\)上。求圓\(C\)的方程。設(shè)圓心坐標(biāo)為\((a,b)\)，因?yàn)閳A心在直線\(x-y+1=0\)上，所以\(a-b+1=0\)。又圓\(C\)與\(x\)軸相切，則半徑\(r=|b|\)。圓\(C\)的標(biāo)準(zhǔn)方程為\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，因?yàn)辄c(diǎn)\((0,3)\)在圓\(C\)