/2025-2026學年上期第一次教學質(zhì)量檢測高三年級數(shù)學試卷本試卷分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共4頁.完卷時間：120分鐘.滿分：150分第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡集合,然后利用并集運算求解可得答案.【詳解】由已知，，所以.故選：D2.已知，，若，則實數(shù)（）A. B.3 C.6 D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共線的坐標表示求解.【詳解】，，由，有，解得.故選：A3.在等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則的通項公式為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】設等差數(shù)列的公差為，結(jié)合等差數(shù)列通項公式可得，由，，成等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列定義列方程可求，由此可得結(jié)論.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，又，所以，因為，，成等比數(shù)列，所以，所以，所以或，當時，，，，滿足條件，當時，，滿足條件，所以或，故選：D.4.聲強級（單位：dB）由公式給出，其中為聲強（單位：）.輕柔音樂的聲強一般在之間，則輕柔音樂的聲強級范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意可得，即可求出的范圍，從而得解.【詳解】依題意可得，所以，所以，所以，即輕柔音樂的聲強級范圍是.故選：C5.當是函數(shù)的極值點，則的值為A.-2 B.3 C.-2或3 D.-3或2【答案】B【解析】【分析】由f，解得或-2，再檢驗是否函數(shù)的極值點，可得結(jié)論.【詳解】由，得，∵x＝1是函數(shù)f（x）的極值點，∴（1）＝6﹣+a＝0，解得或2，當2時，恒成立，即單增，無極值點，舍去；當3時，時，x＝1或x=9，滿足x＝1為函數(shù)f（x）的極值點，∴．故選B.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值問題，注意在x=處導數(shù)值為0不一定滿足x=是極值點，屬于易錯題．6.已知定義域為的連續(xù)函數(shù)滿足：①為偶函數(shù)；②，；③.則的大小順序為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)①得關于直線對稱，再得關于點對稱，則得到函數(shù)的周期性，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】由①，有，所以關于直線對稱；由②，令，則，有，所以關于點對稱；則，又因為，則，則，則，則，則的周期為12，故；由③，知在單調(diào)遞增，因為關于點對稱，所以在單調(diào)遞增，又在上連續(xù)，所以在單調(diào)遞增，故有，即．故選：C7.已知函數(shù)與函數(shù)的圖像上恰有兩對關于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意函數(shù)與的圖像上恰有兩對關于軸對稱的點，得到方程有兩解，分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)求出最值，結(jié)合題意分析即可得.【詳解】因為函數(shù)與的圖像上恰有兩對關于軸對稱的點，所以，即有兩解，所以有兩解，令，則，所以當時，0，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，，且時，的值域為，時，的值域為，因此有兩解時，實數(shù)的取值范圍為，故選：C.8.若關于x的不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同構(gòu)得到，當時，滿足要求，當時，令，則在上恒成立，求導后得到函數(shù)單調(diào)性，從而得到，構(gòu)造，求導得到單調(diào)性，進而得到，得到答案.【詳解】由可得，即，當時，，不等式在上顯然成立；當時，令，則在上恒成立，由，在上，所以在上單調(diào)遞增，又時，，，所以只需在上恒成立，即恒成立．令，則，即在上單調(diào)遞增，其中，故，所以此時有．綜上，．故選：C．【點睛】導函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進行求解，本題難點是不等式變形為，從而構(gòu)造進行求解.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列結(jié)論正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.“”是“”的必要不充分條件C.“，有”的否定是“，使”D.“是方程的實數(shù)根”的充要條件是“”【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)不等式的范圍判斷A；根據(jù)交集的概念判斷B；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題判斷C；將1代入方程求解判斷D.【詳解】對于A，因為，所以或，所以“當”時，“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要條件，正確；對于B，“”一定有“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要條件，錯誤；對于C，命題“，有”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，即“，使”，正確；對于D，當時，1為方程的一個根，故充分；當方程有一個根為1時，代入得，故必要，正確；故選：ACD10.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式判斷A、B，利用對數(shù)恒等式化簡即可判斷C；利用基本不等式結(jié)合對數(shù)運算法則計算即可判斷D.【詳解】因為，所以，即．對于A，因為，所以，則，當且僅當，即時，等號成立．故A正確；對于B，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立．故B正確；對于C，，若，又，則，又，故，矛盾，所以，所以，即，故C錯誤；對于D，由，得，又由，得，，所以，∴所以，則，當且僅當，故時，等號成立．故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)及其導函數(shù)定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導函數(shù)圖象的關系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，因為其定義域為R，所以，結(jié)合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為，均為偶函數(shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關于直線對稱，又，且函數(shù)可導，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.【點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本題共3小題，每題5分，共15分.把答案填寫在答題卡相應位置上）12.已知集合，則___________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)集合的運算求出，再根據(jù)補集的定義即可求解.【詳解】由已知集合，所以，所以.故答案為：.13.已知函數(shù)，若關于的方程有4個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是______【答案】【解析】【分析】作出的圖象，由題意知在內(nèi)有兩個不等實根，再結(jié)合二次方程根的分布列不等式即可求得m的范圍.【詳解】作出的圖象，令，則方程，即為，有4個不同的實數(shù)根，則在內(nèi)有兩個不等實根，所以，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：.14.設，表示n的正因數(shù)的個數(shù)，如，，則______【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)定義得到，，再由裂項相消法求和即可得出答案.【詳解】由有個正因數(shù)可得，有正因數(shù)可得，所以.故答案為：四、解答題（本題共5個小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)最小正周期為，圖象過點.（1）求函數(shù)解析式；（2）若將函數(shù)圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求.【答案】（1）（2）0【解析】分析】（1）利用周期公式求出，再將已知點代入函數(shù)并結(jié)合求出，即可求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移規(guī)律及誘導公式得到的表達式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值代入求值即可.【小問1詳解】由已知得，解得.將點代入解析式，，可知，由可知，于是.【小問2詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，根據(jù)“左加右減”的原則，可得的表達式為：，所以.16.記是數(shù)列的前項和，，，且數(shù)列是等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）設若，求數(shù)列的前項和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出，再利用與的關系求解即可；（2）利用分組求和，其中奇數(shù)部分利用等差數(shù)列的前項和公式，偶數(shù)部分利用裂項相消求解即可.【小問1詳解】因為，，設等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，即，當時，，當時，成立，故．【小問2詳解】由題意可得.17.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：.【答案】（1）答案見詳解（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）求導可得，分和兩種情況，結(jié)合導函數(shù)的符號判斷原函數(shù)單調(diào)性；（2）構(gòu)建，，根據(jù)單調(diào)性以及零點存在性定理分析的零點和符號，進而可得的單調(diào)性和最值，結(jié)合零點代換分析證明.【小問1詳解】由題意可得：的定義域為，，當時，則在上恒成立，可知在上單調(diào)遞減；當時，令，解得；令，解得；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】構(gòu)建，則，由可知，構(gòu)建，因為在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且，可知在上存在唯一零點，當，則，即；當，則，即；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又因為，則，，可得，即，所以.18.已知函數(shù)是偶函數(shù)，其中為實數(shù).（1）求的值；（2）若函數(shù)，是否存在實數(shù)，使得的最小值為0？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在.【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得到恒等式，求參數(shù)值即可；（2）由題設有，應用換元法，令且，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，討論對稱軸與區(qū)間的位置研究最小值，即可得參數(shù)值.【小問1詳解】因函數(shù)（）是偶函數(shù)，故，因且不恒為0，故，得.【小問2詳解】由（1），得，則，設，因，則，，其對稱軸為，①當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得，不符題意，舍去；②當時，在區(qū)間上先減后增，故，解得，故；③當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，不符題意，舍去.故存在，使得的最小值為0.19.已知函數(shù)，.（1）若，求曲線過點處的切線方程；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）設，，若存在，使得.證明：.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）將代入，設切點坐標為，利用導函數(shù)求得切線方程，再將點坐標代入，利用導函數(shù)分析單調(diào)性解方程得，即可得切線方程；（2）設，利用特殊值結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得，再通過多次求導證明時符合題意，而不能滿足題意即可；（3）設，則，作差可得，利用放縮法證得，則，由（2）結(jié)論變形得，依次代入變形后可證得，又，故原不等式得證.【小問1詳解】當時，，則，設切點坐標為，則切線方程為，代入點，可得，整理得，設函數(shù)，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，又，故當且僅當時，所以解得，則切線方程為.【小問2詳