第四章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)期望方差協(xié)方差相關(guān)系數(shù)

問(wèn)題的提出：在一些實(shí)際問(wèn)題中，我們需要了解隨機(jī)變量

的分布函數(shù)外，更關(guān)心的是隨機(jī)變量的某些特征。

例： 在評(píng)定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，最關(guān)心的是平均產(chǎn)量； 在檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既需要注意纖維的平均長(zhǎng)度，又需要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的

偏離程度； 考察杭州市區(qū)居民的家庭收入情況，我們既知家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異

程度；§1

數(shù)學(xué)期望 例1：甲、乙兩人射擊比賽，各射擊100次，其中甲、乙的成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

評(píng)定他們的成績(jī)好壞。解：計(jì)算甲的平均成績(jī)

計(jì)算乙的平均成績(jī)

所以甲的成績(jī)好于乙的成績(jī)。對(duì)于甲來(lái)說(shuō)

分別是8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率；對(duì)于乙來(lái)說(shuō)

分別是8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率；若用它們相應(yīng)的概率表示，就得到了數(shù)學(xué)期望，也稱為均值。定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率概率為f

(x),

若積分xf

(x)dx

絕對(duì)收斂

(即

則稱積分的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：P(X=

xk

)=

pk

k

=

1,

2,

…若級(jí)數(shù)

絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)

的和為隨機(jī)變量XE(X)

=

xf

(x)dx

的數(shù)學(xué)期望，記為E(X

),

即數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱均值。

即的是例2：

組成整機(jī)，求整機(jī)壽命N(以小時(shí)計(jì))的數(shù)學(xué)期望。

串聯(lián)情況下，N=

min

(X1,

X2

),

故N的分布函數(shù)為：

只要求出一般指數(shù)分布的期望（即E(X1))，就可得到E(N).

從而2個(gè)電子裝一指數(shù)分互獨(dú)立工將這從同2個(gè)相若服有問(wèn)題：將2個(gè)電子裝置并聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī)，整機(jī)的平均壽命又該如何計(jì)算？ 例3：設(shè)有10個(gè)同種電子元件，其中2個(gè)廢品。裝配儀器時(shí)，從這10個(gè)中任取1個(gè)，若是廢品，扔掉后重取

1只，求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)X的期望。解：X的分布律為：

例4：設(shè)一臺(tái)機(jī)器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停工。若一周5個(gè)工作日里無(wú)故障，可獲

利10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障獲利5萬(wàn)元；發(fā)生2次故障獲利0元，發(fā)生3次或以上故障虧損2萬(wàn)元，求一周內(nèi)

期望利潤(rùn)是多少？解：設(shè)X表示一周5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障天數(shù)，則

X~b(5,0.2)設(shè)Y表示一周內(nèi)所獲利潤(rùn)，則P(Y=

10)=

P(X=

0)=

(1-

0.2)5

=

0.328,其余同理可得，于是Y的分布率為：

于是E(Y)=

5.216（萬(wàn)元） 例5：設(shè)X~

π

(λ),

求E(X)。解：X的分布律為

X的數(shù)學(xué)期望為：

=

λe-λ

.

e

λ

=

λ即

E(X)=λ

例6：設(shè)X~

U(a,

b)，求E(X)。解：X的概率密度為：

X的數(shù)學(xué)期望為：

即數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間(a,

b)的中點(diǎn)定理：設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)：Y=

g

(X)

(g是連續(xù)函數(shù)),

X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為：P(X=

xk

)=

pk

,

k

=

1,

2,

…

X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度為f(x)

若∫

g

(x)f

(x)dx

絕對(duì)收斂

定理的重要意義在于我們求E(Y)時(shí)，不必算出Y的分布律或概率密度，而只要利用X的分布律或概率密度就可以了。上述定理也可以推廣到兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量的函數(shù)的情況。+∞定理：設(shè)Z是隨機(jī)變量X,

Y的函數(shù)：Z=

g

(X,

Y)

(g是連續(xù)函數(shù)), 若二維離散型隨機(jī)變量(X,

Y)的分布律為：P(X=

xi,

Y=

yj

)=

pij

,

i,

j=

1,

2,

…則有這里設(shè)上式右邊的級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，

若二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,

Y)的概率密度為：

這里設(shè)上式右邊的積分絕對(duì)收斂特別地 例7：已知某零件的橫截面是個(gè)圓，對(duì)橫截面的直徑X進(jìn)行測(cè)量，其值在區(qū)間（1，2）上均勻分布，求橫截

面面積S的數(shù)學(xué)期望。解：X的密度函數(shù)為：

例8：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,

Y)的聯(lián)合分布律為

求隨機(jī)變量

的數(shù)學(xué)期望。

2

例9：設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：

求數(shù)學(xué)期望解：

y

=

y

=

x

X=1

x1??∫

∞

∞

3

dx

0<y

<

1dxy

>

1

其他yx1+考慮：先求

這里你算對(duì)了嗎？哪個(gè)更容易呢?fY

(y)

=

??

2x3y2?

0?l

例10：某商店經(jīng)銷某種商品，每周進(jìn)貨量X與需求量Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間[10,20]上均勻分布。商店每售出一單位商品可獲利1000元；若需求量超過(guò)進(jìn)貨量，商店可從它處調(diào)劑供應(yīng)，這時(shí)每單位商品可獲利500元；試計(jì)算此商店經(jīng)銷

該種商品每周所獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)Z表示該種商品每周所得的利潤(rùn)，則

X和Y相互獨(dú)立，因此(X,

Y)的概率密度為

XX若Y若Y

數(shù)學(xué)期望的特性：1.設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)=

C2.設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有E(CX)=

CE(X)3.設(shè)X,

Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有E(X+

Y)=

E(X)

+

E(Y)將上面三項(xiàng)合起來(lái)就是：E(aX

+

bY

+

c)=

aE(X)

+

bE(Y)

+

c4.設(shè)X,

Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E(XY)=

E(X)E(Y)這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量線性組合的情況證明：1.

C是常數(shù)，P(X=

C)=

1,

E(X)=

E(C)=

1

×

C=

C下面僅對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量給予證明：

例11：一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)出發(fā)，旅客有10個(gè)車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就

不停車，以X表示停車的次數(shù)，求E(X)。(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅

客是否下車相互獨(dú)立)

車

i

=

1,

2,

…

,

10易知：X=

X1

+

X2

+…+

X10E(Xi

)=

P(Xi

=

1)

=

P(第i站有人下車

E(X)=

E(X1

)

+

E(X2

)

+…+

E(X10

)

本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和，然后利用隨機(jī)變量和

的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來(lái)求數(shù)學(xué)期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。第i站有人下車第i站沒(méi)有人下解：引入隨機(jī)變量：

例12：設(shè)隨機(jī)變量X1,

X2,

X3,

X4

相互獨(dú)立，Xi

~

U(0,

2i),

求行列式

的數(shù)學(xué)期望E(Y).解：E(Xi

)=

i,i=

1,

2,

3,

4.Y

=

X

X

?

XX由條件，E(Y)=

E(X1X4

)

?

E(X2

X3

)=

E(X1

)E(X4

)

?

E(X2

)E(X3

)=

1

×

4

?

2×

3=

?214

2

3§2

方差設(shè)有一批燈泡壽命為：一半約950小時(shí)，另一半約1050小時(shí)→平均壽命為1000小時(shí)；另一批燈泡壽命為：一半約1300小時(shí)，另一半約700小時(shí)→平均壽命為1000小時(shí)；問(wèn)題：哪批燈泡的質(zhì)量更好？單從平均壽命這一指標(biāo)無(wú)法判斷，進(jìn)一步考察燈泡壽命X與均值

1000小時(shí)的偏離程度。方差—正是體現(xiàn)這種意義的數(shù)學(xué)特征。將

D(X)

記為σ

(X),

稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，它是與隨機(jī)變量X具有相同量綱的量。方差D(X)刻畫(huà)了X取值的分散程度，它是衡量X取值分散程度的一個(gè)尺度。若X取值比較集中，則D(X)較小，

反之，若X取值比較分散，則D(X)較大。

定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若E{[X?

E(X)]2

}存在，則稱其為X的方差，D(X)=

Var(X)=

E

{[X

?

E(X)]2

}記為D(X)或Var(X)，即事實(shí)上=

E(X2

)

?

2E(X)E(X)

+[E(X)]2=

E(X2

)

?[E(X)]2

對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，其分布律為：P(X

=x

k

)=pk

k=1,

2,

…

此外，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得方差得計(jì)算公式：D(X)=

E(X2

)

?[E(X)]2

對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，其概率密度為f(x),

例1：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望

E(X)

=

μ方差D(X)=

σ

2

≠

0，記證明：E(X*

)=

0，D(X*

)=

1，稱X*為X的標(biāo)準(zhǔn)化變量

D(X*

)=

E(X

)

?[E(X*

)]2

*2

例2：設(shè)隨機(jī)變量X具有0-1分布，其分布律為：P(X=

0)=

1?p，P(X=

1)=

p，求D(X)。解：E(X)=

0.(1?

p)

+1.p=

pE(X2

)

=

02

.(1?

p)

+12

.p

=

p所以D(X)

=

E(X2

)

?[E(X)]2=

p

?

p2

=

p(1?p)

例3：設(shè)X~

π

(λ)，求D(X)。解：X的分布律為

由上節(jié)例5已算得E(X)=

λ而

E(X2

)

=

E

[X(X

?1)

+

X]

=

E[X(X

?1)]+E(X)

所以

D(X)=

E(X2

)

?[E(X)]2

=

λ即泊松分布的均值與方差相等，都等于參數(shù)λ

例4：設(shè)X~

U(a,

b)，求D(X)。解：X的概率密度為

上節(jié)例6已算得

D(X)=

E(X2

)

?[E(X)]2

例5：設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，其概率密度為：

求E(X),

D(X)。

于是

D(X)=

E(X2

)

?[E(X)]2

=

2θ2

?θ2

=

θ2即對(duì)指數(shù)分布而言，方差是均值的平方，而均值恰為參數(shù)θ

方差的性質(zhì)：1.設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=

02.設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有D(CX)=

C2D(X)3.設(shè)X,

Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有D(X

+

Y)=

D(X)

+

D(Y)

+

2E{[X

-

E(X)][Y

-

E(Y)]}

特別，若X,

Y相互獨(dú)立，則有D(X+

Y)=

D(X)

+

D(Y)綜合上述三項(xiàng)，設(shè)X,

Y相互獨(dú)立，a,

b,

c是常數(shù)，則D(aX

+

bY

+

c)=

a2D(X)

+

b2D(Y)4.

D(X)=

0?

P(X=

C)=

1

且C=

E(X)

證明：1.

D(C)=

E

{[C-

E(C)]2

}

=

0

=

C2

{E(X2

)

-

[E(X)]2

}=

C2D(X)3.

D(X+

Y)=

E

{[(X

+

Y)

-

E(X

+

Y)]2

}=

E

{[(X

-

E(X))

+

(Y

-

E(Y))]2

}=

E{[X

-

E(X)]2

}+

E

{[Y

-

E(Y)]2

}+

2E

{[X

-

E(X)][Y

-

E(Y)]}=

D(X)

+

D(Y)

+

2E{[X

-

E(X)][Y

-

E(Y)]}當(dāng)X,

Y相互獨(dú)立時(shí)，X

-

E(X)與Y

-

E(Y)相互獨(dú)立故E{[X

-

E(X)][Y

-

E(Y)]}

=

E[X

-

E(X)]E[Y

-

E(Y)]

=

0

所以D(X+

Y)=

D(X)

+

D(Y)4.證略。

例6：設(shè)X□b(n,

p)，求E(X),

D(X)。解：隨機(jī)變量X是n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)P(A)=p。

引入隨機(jī)變量：

生

k

=

1,

2,

…

n于是X1

,

X2

,

…

,

Xn

相互獨(dú)立，服從同一(0

-1)分布：

易知：X

=

X1

+

X2

+…

Xn故知

即E(X)=

np，D(X)=

np(1-p)以n,

p為參數(shù)的二項(xiàng)分布變量，可分解為n個(gè)相互獨(dú)立且都

服從以p為參數(shù)的(0

-1)分布的隨機(jī)變量之和。A在第k次試驗(yàn)不發(fā)A在第k次試驗(yàn)發(fā)生

例7：設(shè)X□N(

μ,

σ

2

)，求E(X),

D(X)。解：先求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和方差Z的概率密度為于是

因?yàn)閄=μ

+σ

Z，故E(X)=

E(

μ

+σ

Z)=μ,D(X)=

D(

μ

+σ

Z)=

σ

2D(Z)=

σ

2即正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)μ,

σ

2

分別是該分布的數(shù)學(xué)期望和方差。C1

,

C2

…Cn

是不全為0的常數(shù)如:X~N(1,

3)，Y~N(2,

4)且X,

Y相互獨(dú)立，則Z=

2X

?3Y

~N(?4,

48)獨(dú)立的n個(gè)正態(tài)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布：若Xi

~

N(

μi,

σi

2

)i=

1,

2,

…n

且它們相互獨(dú)立則它們的線性組合：

例8：設(shè)活塞的直徑(以cm計(jì))X□N(22.40,

0.032

),

汽缸的直徑

Y□N(22.50,

0.042

),

X,Y相互獨(dú)立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活

塞能裝入汽缸的概率。解：按題意需求P(X<

Y)=

P(X

?

Y<

0)由于X?

Y~

N(?0.

10,

0.052

)故有P(X<

Y)=

P(X

?

Y<

0)=

φ(

)=

φ(2)=

0.9772分布分布率或

密度函數(shù)數(shù)學(xué)期望方差0－1分布P(X=

k)=

pk

(1?

p)1?k

k

=

0,

1pp(1-p)二項(xiàng)分布b(n,p)P(X

=

k)

=

C

pk

(1?p)1?kk=

0,

1,

...,

nnpnp(1-p)泊松分布

π

(λ)P(X

=

k)

=

λke?λ/k!k=

0,

1,

...,λλ均勻分布U(a,b)

a+b2(b-a)212指數(shù)分布EP(λ)

1/λ1/

λ2正態(tài)分布N(

μ,

σ

2

)

?

∞

<

x<

∞μσ

2nk表1

幾種常見(jiàn)分布的均值與方差§3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)，除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差外，還需討論描述X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字

特征。這就是本節(jié)的內(nèi)容。

定義：量E{[X?

E(X)][Y

?

E(Y)]}稱為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差，

記為：Cov(X,

Y)，即Cov(X,

Y)=

E

{[X

?

E(X)][Y

?

E(Y)]}.

為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù).ρXY是一個(gè)無(wú)量綱的量稱

協(xié)方差的性質(zhì)：1.Cov(X,

Y)=

Cov(Y,

X)，Cov(X,

X)=

D(X)2.Cov(X,

Y)=

E(XY)

?

E(X)E(Y)3.Cov(aX,

bY)=

abCov(X,

Y)a,

b是常數(shù)4.Cov(X1

+

X2,

Y)=

Cov(X1,

Y)

+

Cov(X2,

Y)思考題：

Cov(aX

+bY,

cX

+

dY)=

?D(aX

+bY)=

?答案：acD(X)

+bdD(Y)

+

(ad

+bc)Cov(X,

Y)a2D(X)

+b2D(Y)

+

2abCov(X,

Y)

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：1.

ρXY

≤

12.l

ρXY

l

=

1

?

存在常數(shù)a,

b，使P(Y=

a

+bX)=

1

特別的，

ρXY

=

1時(shí)，b>

0；ρXY

=

?1時(shí)，b<

0證明：考慮以X的線性函數(shù)a

+bX來(lái)近似表示Y我們以均方誤差e(a,

b)=

E

{[Y

?

(a+bX)]2

}來(lái)衡量以a

+bX近似表達(dá)Y的好壞程度,e(a,

b)越小，a

+bX與Y的近似程度越好。下面來(lái)求最佳近似式：e(a0,

b0

)=

,

e(a,

b)計(jì)算得:e(a,

b)=

E(Y2

)

+b2

E(X2

)

+

a2

?

2bE(XY)

+

2abE(X)

?

2aE(Y)

續(xù)binam已得：此時(shí)e(a0,

b0

)=

E

1.

由e(a0,

b0

)≥

0?

1

?

ρ

Y

≥

0

?

ρXY

≤

1

?

D[Y

?

(a0

+b0

X)]=

0且E[Y

?

(a0

+b0

X)]

=

0?

P{Y

?

(a0

+b0

X)=

0}=

1特別，當(dāng)ρXY

=

1時(shí)，Cov(X,

Y)

>

0，

當(dāng)ρXY

=

?1時(shí)，Cov(X,

Y)

<

0，b0

<

0X2相關(guān)系數(shù)ρXY是一個(gè)用來(lái)表征X,

Y之間線性關(guān)系緊密程度的量當(dāng)

ρXY

較大時(shí)，e(a0,

b0

)較小，表明X,

Y線性關(guān)系的程度較好；當(dāng)

ρXY

=

1

時(shí)，e(a0,

b0

)=

0，表明X,

Y之間以概率1存在線性關(guān)系；當(dāng)

ρXY

較小時(shí)，

e(a0,

b0

)較大，表明X,

Y線性關(guān)系的程度較差；

定義：ρXY

=

0，稱X與Y不相關(guān)注意，X與Y不相關(guān)，只是對(duì)于線性關(guān)系而言的X與Y相互獨(dú)立是就一般關(guān)系而言的隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)，即ρXY

=

0的等價(jià)條件有：1.Cov(X,

Y)=

02.

E(XY)=

E(X)E(Y)3.

D(X+

Y)=

D(X)

+

D(Y)從而可知，當(dāng)X與Y相互獨(dú)立?

X與Y一定不相關(guān)反之，若X與Y不相關(guān)，X與Y卻不一定相互獨(dú)立X

Y?101p.j?101/401/401/401/41/2101/401/4pi.1/41/21/4已知P(X=Y)=0,判斷X和Y是否不相關(guān)？是否

不獨(dú)立？解：

先求X,

Y的聯(lián)合分布率：X-101P1/41/21/4

例1：設(shè)X,Y服從同一分布，其分布律為：E(X)=

(?1)×14

+

0×

12

+1×

14=

0E(XY)=

(?1)×

(?1)×1/4

+

(?1)×1

×

1/4+1×

(?1)×1/4

+1×

1

×

1/4=

0所以，COV(X,

Y)=

0,

即X與Y不相關(guān).P(X=

?1,

Y=

?1)=

0,P(X=

?1)P(Y=

?1)=

14

×

1/4P(X=

?1,

Y=

?1)≠

P(X=

?1)P(Y=

?1)所以，X與Y不獨(dú)立。例2：設(shè)(X,

Y)服從二維正態(tài)分布，它的概率密度為：

求X和Y的相關(guān)系數(shù)，并證明X與Y相互獨(dú)立?

X與Y不相關(guān)解：由于X,

Y的邊緣概率密度為：

所以E(X)=μ1,

D(X)=

σ

；E(Y)=μ2,

D(Y)=

σ

續(xù)2212而Cov(X,

Y)=

E

{(X?

μ1

)(Y

?

μ2

)}

于是

續(xù)即二維正態(tài)變量(X,

Y)的概率密度中的參數(shù)ρ就是X,

Y的相關(guān)系數(shù)，因而二維正態(tài)變量的

分布完全可由X,

Y各自的均值、方差以及它

們的相關(guān)系數(shù)所確定。若(X,

Y)服從二維正態(tài)分布，那么X和Y相互獨(dú)立

?ρ=

0現(xiàn)在知道，

ρXY

=ρ,從而知：對(duì)于二維正態(tài)變量(X,

Y)來(lái)說(shuō)，X和Y不相關(guān)?

X與Y相互獨(dú)立

例3：設(shè)X,Y相互獨(dú)立服從同一分布，記U=X-Y,V=X+Y,則隨機(jī)變量U與V是否一定不相關(guān)，是否一定獨(dú)立？解：

先求U,

V的協(xié)方差：COV(U,

V)=

COV(X

?

Y,

X

+

Y)=

D(X)

?

D(Y)=

0所以，U與V一定不相關(guān)。當(dāng)U與V不一定獨(dú)立。舉例如下：（1）設(shè)X與Y獨(dú)立，服從正態(tài)分布，則（U，V）也服從正態(tài)分布，對(duì)于二維正態(tài)分布，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)，從而U與V獨(dú)立。（2）X~b(1,1/2),

(即(0

?1)分布）P(U=

1,

V=

0)=

P(X

?

Y=

1,

X

+

Y=

0)=

0P(U=

1)=

P(X?

Y=

1)=

P(X=

1,

Y=

0)=

14,P(V=

0)=

P(X

+

Y=

0)=

P(X=

0,

Y=

0)=

14,所以P(U=

1,

V=

0)≠

P(U=

1)P(V

=

0)U與V不獨(dú)立?！?矩、協(xié)方差矩陣

定義：設(shè)X和Y是隨機(jī)變量若E(X

k

)

k=

1,

2,

…存在，則稱它為X的k階(原點(diǎn))矩；若E{[X?

E(X)]k

}

k=

1,

2,

…存在，則稱它為X的k階中心矩；若E{XkY

l

}存在

k,

l

=

1,

2,

…存在，則稱它為X和Y的k+l階混合矩；若E{[X?

E(X)]k

[Y

?

E(Y)]l

}

k,

l=

1,

2,

…存在，則稱它為X,

Y的k+l階混合中心矩；顯然，最常用到的是一、二階矩

定義：協(xié)方差矩陣設(shè)二維隨即變量(X1,

X2

)的四個(gè)二階中心矩存在，將它們排成矩陣：

，稱為(X1,

X2

)的協(xié)方差矩陣。

設(shè)

n維隨機(jī)變量(X1,

X2,

…

Xn

)，Cov(Xi,

Xj

)都存在，i,

j=

1,

2,

…

n稱矩陣

為n維隨即變量(X1,

X2,

…

Xn

)的協(xié)方差矩陣，協(xié)方差矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣。

利用協(xié)方差矩陣，可由二維正態(tài)變量的概率密度推廣，得到n維正態(tài)變量的概率密度。已知(X1,

X2

)服從二維正態(tài)分布，其概率密度為：

引入列向量：

=

,

(X1,

X2

)的協(xié)方差矩陣為

于是(X1,

X2

)的概率密度可寫成C的逆矩陣為它的行列21μμ引入列向

量：

…C是(X1,

X2,

…

Xn

)的協(xié)方差矩陣,

(X

,

X

,

Xn

)的概率密度定義為：上式容易推廣到n維正態(tài)變量(X1

X2

…

X

)的情況 n維正態(tài)變量具有以下四條重要性質(zhì)：1.n維正態(tài)變量(X1,

X2,

…

Xn

)的每一個(gè)分量Xi,

i=

1,

2,

…n都是正態(tài)變量；反之，若X1

,

X2

,

…

Xn

都是