平面向量的數(shù)量積課前學(xué)習(xí)任務(wù)一、課標(biāo)解讀1.通過物理中功等實例,理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數(shù)量積.2.會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.3.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積,會表示兩個平面向量的夾角.4.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實際問題,體會向量在解決數(shù)學(xué)和實際問題中的作用.二、必備知識1.平面向量數(shù)量積的概念(1)向量的夾角已知兩個向量a,b,O是平面上的任意一點,作OA=a,OB=b,則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.如果a與b的夾

角是π2,我們說a與b垂直,記作(2)平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a,b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.

規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為.

(3)投影向量如圖,在平面內(nèi)任取一點O,作OM=a,ON=b.過點M作直線ON的垂線,垂足為M1,則OM1就是向量a在向量b[教材知識深化]1.投影向量仍然是一個向量.2.向量a在b上的投影向量與b共線,其模等于|a||cos<a,b>|=|a·b||b|;向量b在a上的投影向量與a共線,其模等于|b||cos3.向量a在b上的投影向量OM1=|a|cos<a,b>e(e為與b2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及坐標(biāo)表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ.向量的有關(guān)概念幾何表示坐標(biāo)表示模|a|=a|a|=x數(shù)量積|a||b|cosθx1x2+y1y2夾角cosθ=acosθ=xA(x1,y1),B(x2,y2)兩點的距離|AB|=|AB||AB|=(a⊥b的充要條件a·b=0x1x2+y1y2=0注意別與平行的坐標(biāo)公式混淆|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤x3.向量數(shù)量積的運算律交換律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c數(shù)乘結(jié)合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ為實數(shù))[教材知識深化]向量的數(shù)量積運算不滿足結(jié)合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等于a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.三、自主診斷一、基礎(chǔ)自測1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)兩個向量的夾角的范圍是0,π2.()(2)由a·b=0可得a=0或b=0.()(3)在△ABC中,設(shè)AB=a,BC=b,則a與b的夾角為∠ABC.()(4)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量.()2.(人教A版必修第二冊習(xí)題6.2第11(2)題改編)已知|a|=2,|b|=5,且a·b=-3,則|a+b|=.

3.(人教A版必修第二冊6.2.4節(jié)例10)設(shè)|a|=12,|b|=9,a·b=-542,求a與b的夾角θ.

4.(人教A版必修第二冊6.2.4節(jié)例12)已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60°,求(a+2b)·(a-3b).

二、連線高考5.(2024·北京,5)已知向量a,b,則“(a+b)(a-b)=0”是“a=b或a=-b”的()條件.A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件6.(2023·全國甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),則cos<a+b,a-b>=()A.117 B.1717 C.55

課堂核心考點考點一平面向量數(shù)量積的運算例1(2023·全國乙,文6)已知正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點,則EC·ED=(A.5 B.3 C.25 D.5[對點訓(xùn)練1](1)(2024·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),則x=()A.-2 B.-1 C.1 D.2(2)(2024·遼寧教研聯(lián)盟模擬)設(shè)M,N是圓O上兩點,若MN=2,則MO·MN=(A.-4 B.-2 C.2 D.4考點二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考向1向量的模例2(1)(2024·新高考Ⅱ,3)已知向量a,b滿足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,則|b|=()A.12 B.22 C.3(2)(2023·新高考Ⅱ,13)已知向量a,b滿足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,則|b|=.

[對點訓(xùn)練2](1)(2024·廣東深圳模擬)向量a,b,c滿足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,則|a|2+|b|2+|c|2=()A.1 B.2 C.4 D.8(2)(2024·華南師大附中模擬)已知向量a=(3,4),b=(4,m),且|a+b|=|a-b|,則|b|=()A.3 B.4 C.5 D.6考向2向量的夾角例3(1)(2025·江蘇南京開學(xué)考試)已知|a|=3,|b|=1.若(a+2b)⊥a,則cos<a,b>=()A.-32 B.-33 C.33(2)已知非零向量a=(x,3x),b=(-2x,1),若a與b的夾角為鈍角,則x的取值范圍是()A.0,32B.32,+∞C.(-∞,0)∪32,+∞D(zhuǎn).-∞,-16∪-16,0∪32,+∞變式探究在本例(2)中,其他條件不變,若向量a與b的夾角為銳角,則x的取值范圍是.

[對點訓(xùn)練3](1)(2025·安徽開學(xué)考試)已知平面向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,且b在a上的投影向量為-14a,則a與b的夾角為(A.π3 B.2π3 C.3π4(2)(2024·山西長治期末)已知平面向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為2π3,若a+2b與a+λb的夾角為銳角,則λ的取值范圍是(A.12,+∞ B.12,1∪(1,+∞)C.17,+∞ D.17,2∪(2,+∞)考向3向量的垂直例4(1)(2025·山東濟南開學(xué)考試)已知向量a=(k,3),b=(2,0),若a⊥(a+3b),則k=()A.-3 B.-2 C.2 D.3(2)(2020·全國Ⅱ,文5)已知單位向量a,b的夾角為60°,則在下列向量中,與b垂直的是()A.a+2b B.2a+bC.a-2b D.2a-b平面向量垂直問題的2個類型利用坐標(biāo)運算證明兩個向量的垂直問題若證明兩個向量垂直,先根據(jù)共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標(biāo);然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式,計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可已知兩個向量的垂直關(guān)系,求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個向量垂直的充要條件,列出相應(yīng)的關(guān)系式,進而求解參數(shù)[對點訓(xùn)練4](1)(2025·北京房山開學(xué)考試)設(shè)向量a=(x-1,x),b=(x,-2),則“x=3”是“a⊥b”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)(多選題)(2024·山東濱州模擬)已知向量a=(1,m),b=(2,-4),則下列說法正確的是()A.若|a+b|=10,則m=5B.若a∥b,則m=-2C.若a⊥b,則m=-1D.若m=1,則向量a,b的夾角為鈍角(3)(2020·全國Ⅱ,理13)已知單位向量a,b的夾角為45°,ka-b與a垂直,則k=.

考點三投影向量及其應(yīng)用5.(2024·福建福州模擬)已知|b|=2|a|,若a與b的夾角為120°,則2a-b在b上的投影向量為()A.-3b B.-32b C.-12b (2)向量b在向量a上的投影向量為a·b[對點訓(xùn)練5](2024·湖南岳陽期末)在△ABC中,A=60°,AB=2AC,平面內(nèi)一點O滿足|OA|=|OB|=|OC|,則向量OC在向量AB上的投影向量為()A.14AB C.-14AB D.考點四平面向量的實際應(yīng)用6.(多選題)在日常生活中,我們常常會看到兩個人共提一個行李包的情景,若行李包所受的重力為G,兩個拉力分別為F1,F2,且|F1|=|F2|,F1與F2夾角為θ(θ∈(0,π)),當(dāng)兩人拎起行李包時,下列結(jié)論中錯誤的有()A.|G|=|F1|+|F2|B.當(dāng)θ=π2時,|F1|=22|C.當(dāng)θ角越大時,用力越省D.當(dāng)|F1|=|G|時,θ=π[對點訓(xùn)練6]某河流南北兩岸平行,一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸,假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為|v1|=8km/h,水流的速度的大小為|v2|=4km/h,設(shè)v1和v2的夾角為θ(0°<θ<180°),北岸的點B在A的正北方向,游船正好到達B處時,cosθ=()A.32 B.-32 C.12

答案解析[知識梳理]1.(1)非零a⊥b(2)|a||b|cosθ0微思考提示不一定.當(dāng)兩個向量的夾角為0(或π)時,數(shù)量積也大于0(或小于0).[自主診斷]1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.23解析|a+b|=(a+b)2=3.解由a·b=|a||b|cosθ,得cosθ=a·b因為θ∈[0,π],所以θ=3π4.解(a+2b)·(a-3b)=a·a-3a·b+2b·a-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.5.A解析若“a=b或a=-b”,則a+b=0或a-b=0,故“(a+b)(a-b)=0”,必要性成立,反之不一定成立.故選A.6.B解析∵a=(3,1),b=(2,2),∴a+b=(5,3),a-b=(1,-1).則有cos<a+b,a-b>=(a+研考點·精準(zhǔn)突破考點一例1B解析(方法一)由題可知|AB|=|AD|=2,AB·AD=0,則EC·ED=(EB+BC)·(EA+AD)=12AB+AD·-12(方法二)因為E是AB的中點,所以ED=EC=2在△DCE中,由余弦定理,得cos∠DEC=ED所以EC·ED=|EC||ED|cos∠DEC=5×(方法三)以點A為原點建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,則D(0,2),C(2,2),E(1,0),則EC=(1,2),ED=(-1,2),所以EC·ED=1×(-1)+2×2=3.對點訓(xùn)練1(1)D(2)C解析(1)∵a=(0,1),b=(2,x),∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4).∵b⊥(b-4a),∴b·(b-4a)=0,即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2.(2)(方法一)設(shè)MN中點為P,則OP⊥MN,MO·MN=(MP+PO)·MN(方法二)MO·MN=|MO|·|MN|·cos∠OMN=|MN|(|MO|cos∠OMN)=|MN|×|(方法三)設(shè)MN中點為P,以MN所在直線為x軸,線段MN的中垂線為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,則M(-1,0),N(1,0),設(shè)O(0,-m),所以MN=(2,0),MO=(1,-m),因此MO·MN=考點二例2(1)B(2)3解析(1)由|a|=1,得a2=1,由|a+2b|=2,得a2+4a·b+4b2=4.又b·(b-2a)=b2-2a·b=0,所以b2=12,即|b|=22(2)由|a-b|=3,得a2-2a·b+b2=3,即2a·b=a2+b2-3①.又由|a+b|=|2a-b|,得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,即3a2-6a·b=0,即2a·b=a2,代入①,得a2=a2+b2-3,整理,得b2=3,所以|b|=3對點訓(xùn)練2(1)C(2)C解析(1)由a+b+c=0,得c=-a-b,又(a-b)⊥c,所以(a-b)·(-a-b)=0.因為a⊥b,所以a·b=0,又|a|=1,所以(a-b)·(-a-b)=|b|2-|a|2=0,即|b|2=|a|2=1,所以|a|=|b|=1.因為c=-a-b,所以|c|2=(-a-b)2=|a|2+2a·b+|b|2=2,綜上,|a|2+|b|2+|c|2=1+1+2=4.(2)∵|a+b|=|a-b|,兩邊平方得(a+b)2=(a-b)2,展開整理得a·b=0,∴a·b=3×4+4m=0,解得m=-3.∴|b|=42+(-3)例3(1)A(2)D解析(1)因為(a+2b)⊥a,所以(a+2b)·a=a2+2a·b=0,又|a|=3,所以a·b=-32所以cos<a,b>=a·b|a(2)因為a與b的夾角為鈍角,所以a·b<0,即-2x2+3x<0,解得x<0或x>3易知x≠0,則當(dāng)a與b共線時,-2xx=13x,得x=-16,此時a=-16,-12,b=13,1,b=-2a,此時a和b反向,不滿足題意,故x的取值范圍為-∞,-16∪-16,0∪32,+∞變式探究0,32解析因為a與b的夾角為銳角,所以a·b>0,即-2x2+3x>0,解得0<x<32.易知x≠0,則當(dāng)a與b共線時,-2xx=13x,得x=-16,且-16?0,3對點訓(xùn)練3(1)B(2)D解析(1)因為|a|=2,|b|=1,b在a上的投影向量為-14a,所以a·b|a|·a|a所以cos<a,b>=a·b|a||b|=-12,由0≤<a,b>≤π,可知(2)根據(jù)題意可得(a+2b)·(a+λb)>0且a+2b與a+λb不共線,則a2+(λ+2)a·b+2λb2>0,所以1-(λ+2)+8λ>0,解得λ>1當(dāng)a+2b與a+λb共線時,即存在k∈R,使得a+λb=k(a+2b),解得k=1,λ=2,因為a+2b與a+λb不共線,所以λ≠2,所以λ>17且λ≠2,所以實數(shù)λ的取值范圍為17,2∪(2,+∞).故選D.例4(1)A(2)D解析(1)因為a=(k,3),b=(2,0),所以a+3b=(k,3)+3(2,0)=(k+6,3),因為a⊥(a+3b),所以a·(a+3b)=0,所以k(k+6)+9=0,解得k=-3.故選A.(2)由題意可知,a·b=|a|·|b|cos60°=12.對于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=52≠0,不符合題意;對于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=2≠0,不符合題意;對于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-32≠0,不符合題意;對于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=0,故2a-b對點訓(xùn)練4(1)A(2)BD(3)2解析(1)向量a=(x-1,x),b=(x,-2),則a⊥b?a·b=0?x(x-1)-2x=0,解得x=0或x=3,所以“x=3”是“a⊥b”的充分不必要條件.故選A.(2)對于A,因為a=(1,m),b=(2,-4),所以a+b=(3,m-4),|a+b|=9+(m-4)2=10,解得m=5或m=3,故A錯誤;對于B,因為a∥b,所以2m=-4,解得m=-2,