七年級數(shù)學(xué)平方根專題學(xué)案引言：從面積到邊長的思考同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)的乘方運算。比如，一個邊長為3的正方形，它的面積是32=9。那么，如果我們反過來想，一個正方形的面積是25，它的邊長是多少呢？這個問題，其實就是在求一個數(shù)，使得它的平方等于25。這類問題，就涉及到我們今天要深入探討的新知識——平方根。一、平方根的定義與符號表示1.1平方根的定義如果一個數(shù)\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^2=a\)，那么這個數(shù)\(x\)就叫做\(a\)的平方根（也叫做二次方根）。例如：因為\(3^2=9\)，所以\(3\)是\(9\)的一個平方根。又因為\((-3)^2=9\)，所以\(-3\)也是\(9\)的一個平方根。1.2平方根的符號表示一個正數(shù)\(a\)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)。我們用符號\(\pm\sqrt{a}\)來表示\(a\)的平方根，讀作“正負根號\(a\)”。其中，“\(\sqrt{}\)”叫做根號，\(a\)叫做被開方數(shù)。例如：\(9\)的平方根可以表示為\(\pm\sqrt{9}=\pm3\)。注意：在平方根的表示中，\(a\)是被開方數(shù)，它的取值范圍我們稍后討論。二、平方根的性質(zhì)我們來探究一下，不同類型的數(shù)（正數(shù)、零、負數(shù)）它們的平方根有什么特點。1.正數(shù)的平方根：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)。*例如：\(16\)的平方根是\(\pm4\)，因為\(4^2=16\)且\((-4)^2=16\)，\(4\)和\(-4\)互為相反數(shù)。2.零的平方根：零的平方根是零本身。*即：\(\sqrt{0}=0\)，因為\(0^2=0\)。3.負數(shù)的平方根：在有理數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)沒有平方根。*思考：為什么？因為任何有理數(shù)的平方都是非負數(shù)（正數(shù)或零），所以負數(shù)不可能有一個有理數(shù)的平方等于它。（后續(xù)我們會學(xué)習(xí)到更廣泛的數(shù)系，那時會有新的認識）三、算術(shù)平方根在實際問題中，我們常常只需要一個非負的平方根。例如，正方形的邊長不能是負數(shù)。因此，我們引入算術(shù)平方根的概念。3.1算術(shù)平方根的定義正數(shù)\(a\)的正的平方根，叫做\(a\)的算術(shù)平方根。記作\(\sqrt{a}\)，讀作“根號\(a\)”。規(guī)定：零的算術(shù)平方根是零，即\(\sqrt{0}=0\)。3.2平方根與算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別*聯(lián)系：1.算術(shù)平方根是平方根中的一個（非負的那個）。2.只有非負數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根。*區(qū)別：1.正數(shù)的平方根有兩個，互為相反數(shù)；正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個，是正數(shù)。2.表示方法不同：正數(shù)\(a\)的平方根表示為\(\pm\sqrt{a}\)，算術(shù)平方根表示為\(\sqrt{a}\)。例如：\(25\)的平方根是\(\pm5\)，其中\(zhòng)(5\)是\(25\)的算術(shù)平方根，即\(\sqrt{25}=5\)。四、如何求一個數(shù)的平方根求一個數(shù)\(a\)的平方根的運算，叫做開平方。開平方與平方互為逆運算，我們可以利用平方運算來求一些簡單數(shù)的平方根。4.1求完全平方數(shù)的平方根對于一些特殊的數(shù)，它們是某個整數(shù)的平方，我們稱之為完全平方數(shù)。求完全平方數(shù)的平方根，可以通過熟記一些常見的平方數(shù)來快速得到。例題1：求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根：(1)\(36\)(2)\(0.04\)(3)\(\frac{49}{81}\)分析與解答：(1)因為\(6^2=36\)，\((-6)^2=36\)，所以\(36\)的平方根是\(\pm6\)；算術(shù)平方根是\(6\)，即\(\sqrt{36}=6\)。(2)因為\(0.2^2=0.04\)，\((-0.2)^2=0.04\)，所以\(0.04\)的平方根是\(\pm0.2\)；算術(shù)平方根是\(0.2\)，即\(\sqrt{0.04}=0.2\)。(3)因為\((\frac{7}{9})^2=\frac{49}{81}\)，\((-\frac{7}{9})^2=\frac{49}{81}\)，所以\(\frac{49}{81}\)的平方根是\(\pm\frac{7}{9}\)；算術(shù)平方根是\(\frac{7}{9}\)，即\(\sqrt{\frac{49}{81}}=\frac{7}{9}\)。4.2非完全平方數(shù)的平方根對于不是完全平方數(shù)的正數(shù)，例如\(2\)、\(3\)、\(5\)等，它們的平方根是存在的，但不是有理數(shù)，我們稱之為無理數(shù)。我們可以用根號形式表示它們的平方根，例如\(2\)的平方根是\(\pm\sqrt{2}\)，算術(shù)平方根是\(\sqrt{2}\)。在實際應(yīng)用中，我們常常取它們的近似值，例如\(\sqrt{2}\approx1.414\)，\(\sqrt{3}\approx1.732\)（這些近似值不需要記憶，題目會給出或允許使用計算器）。五、平方根的應(yīng)用與例題解析5.1利用平方根的意義解方程如果我們遇到形如\(x^2=a\)（\(a\geq0\)）的方程，就可以利用平方根的意義來求解。例題2：解方程\(x^2=16\)分析與解答：方程\(x^2=16\)表示\(x\)是\(16\)的平方根。所以\(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\)因此，方程的解為\(x_1=4\)，\(x_2=-4\)。例題3：解方程\((x-1)^2=25\)分析與解答：我們可以把\((x-1)\)看作一個整體，設(shè)\(y=x-1\)，則原方程變?yōu)閈(y^2=25\)。所以\(y=\pm\sqrt{25}=\pm5\)，即\(x-1=5\)或\(x-1=-5\)。當\(x-1=5\)時，\(x=6\)；當\(x-1=-5\)時，\(x=-4\)。因此，方程的解為\(x_1=6\)，\(x_2=-4\)。5.2利用算術(shù)平方根解決實際問題例題4：一個面積為\(28\)平方米的正方形展廳，它的邊長大約是多少米？（精確到\(0.1\)米）分析與解答：設(shè)正方形展廳的邊長為\(x\)米，根據(jù)正方形面積公式可得\(x^2=28\)。因為邊長不能為負數(shù)，所以我們求的是\(28\)的算術(shù)平方根。\(x=\sqrt{28}\)。由于\(28\)不是完全平方數(shù)，我們可以通過計算器求得\(\sqrt{28}\approx5.3\)（米）。答：它的邊長大約是\(5.3\)米。六、易錯點辨析與注意事項1.混淆平方根與算術(shù)平方根：例如，誤認為\(\sqrt{16}=\pm4\)，這是錯誤的，\(\sqrt{16}\)表示的是\(16\)的算術(shù)平方根，應(yīng)該等于\(4\)。2.忽略被開方數(shù)的非負性：在實數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)沒有平方根，所以遇到\(\sqrt{-a}\)這樣的式子，要先判斷\(-a\)是否是非負數(shù)，即\(a\leq0\)。3.符號運算錯誤：在進行涉及平方根的計算時，要注意符號的處理，尤其是負數(shù)的平方是正數(shù)，但負數(shù)沒有平方根。4.對“互為相反數(shù)”的理解：正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，意味著它們的和為零，商為-1（除零外）。辨析：判斷下列說法是否正確，并說明理由。(1)\(-9\)的平方根是\(-3\)。(2)\(\sqrt{81}=\pm9\)。(3)\(0\)的算術(shù)平方根是\(0\)。(4)因為\((-5)^2=25\)，所以\(25\)的平方根是\(-5\)。解答：(1)錯誤。因為負數(shù)沒有平方根，所以\(-9\)沒有平方根。(2)錯誤。\(\sqrt{81}\)表示\(81\)的算術(shù)平方根，應(yīng)該等于\(9\)。(3)正確。規(guī)定\(0\)的算術(shù)平方根是\(0\)。(4)錯誤。\(25\)的平方根是\(\pm5\)，\(-5\)只是其中一個平方根。七、鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固1.求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根：(1)\(49\)(2)\(0.01\)(3)\(\frac{121}{144}\)(4)\(0\)2.求下列各式的值：(1)\(\sqrt{36}\)(2)\(-\sqrt{100}\)(3)\(\pm\sqrt{0.81}\)(4)\(\sqrt{\frac{16}{25}}\)3.解方程：(1)\(x^2=121\)(2)\(4x^2=25\)(3)\((x+2)^2=16\)能力提升4.若一個正數(shù)的平方根分別是\(2a-1\)和\(-a+2\)，求這個正數(shù)。5.已知\(\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+y=3\)，求\(x^y\)的值。6.一個長方形的長是寬的\(3\)倍，面積是\(27\)平方厘米，求這個長方形的長和寬。八、總結(jié)與回顧通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們認識了平方根和算術(shù)平方根的概念，理解了它們的性質(zhì)，并學(xué)會了如何求一個數(shù)的平方根以及利用平方根解決一些簡單的問題。我們知道了：*平方根的定義：如果\(x^2=a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的平方根。*正數(shù)有兩個平方根，互為相反數(shù)；\(0\)的平方根是\(0\)；負數(shù)沒有平方根。*算術(shù)平方根是平方根中非負的那個，記為\(\sqrt{a}\)。*開平方與平方互為逆運算。希望同學(xué)們能夠通過練習(xí)，熟練掌握這些知識，并能靈活運用它們解決實際問題。在遇到困惑時，多思考，多提問，真正理解每一個概念和方法。九、拓展思考1.我們知道\(\sqrt{2}\)是一個無理數(shù)，你能想辦法在數(shù)軸上找到表示\(\sqrt{2}\)的點嗎？（提示：利用勾股定理構(gòu)造直角三角形）2.若\(a\)是有理數(shù)，那么\(\sqrt{a}\)一定是無理數(shù)嗎？舉例說明。---學(xué)習(xí)心得與反思（學(xué)生填寫）：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________