高三數(shù)學(xué)重點(diǎn)考點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練題高三數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)，如同在浩瀚的知識(shí)海洋中精準(zhǔn)導(dǎo)航。面對眾多知識(shí)點(diǎn)，專項(xiàng)訓(xùn)練無疑是攻克重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、夯實(shí)基礎(chǔ)的有效途徑。本文聚焦高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)專項(xiàng)訓(xùn)練題，旨在幫助同學(xué)們在一輪、二輪復(fù)習(xí)中有的放矢，提升解題能力與應(yīng)試技巧。每一道題目的選取都力求典型性與代表性，解析則注重思路引導(dǎo)與方法歸納，希望能為大家的備考之路添磚加瓦。一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)的主線，也是高考考查的重中之重。從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，到函數(shù)的圖像與性質(zhì)，再到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本初等函數(shù)的綜合應(yīng)用，無不體現(xiàn)其核心地位。訓(xùn)練題1(選擇題)已知函數(shù)\(f(x)=\sqrt{mx^2+mx+1}\)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)\(m\)的取值范圍是（）A.\([0,4]\)B.\((0,4)\)C.\([0,4)\)D.\((-\infty,0]\cup[4,+\infty)\)解析：要使函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，即對于任意實(shí)數(shù)\(x\)，根號(hào)下的表達(dá)式\(mx^2+mx+1\)必須大于等于零恒成立。當(dāng)\(m=0\)時(shí)，表達(dá)式變?yōu)閈(1\)，顯然\(1\geq0\)恒成立，故\(m=0\)符合條件。當(dāng)\(m\neq0\)時(shí)，這是一個(gè)二次函數(shù)\(y=mx^2+mx+1\)。要使其對于所有\(zhòng)(x\)都非負(fù)，需滿足開口向上且判別式小于等于零。即：\(m>0\)且\(\Delta=m^2-4m\times1\leq0\)。解不等式\(m^2-4m\leq0\)，得\(m(m-4)\leq0\)，結(jié)合\(m>0\)，可得\(0<m\leq4\)。綜上，\(m\)的取值范圍是\([0,4]\)。故正確答案為A。易錯(cuò)警示：容易忽略\(m=0\)的情況，導(dǎo)致誤選C。對于二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)的問題，務(wù)必先討論二次項(xiàng)系數(shù)為零的情形。訓(xùn)練題2(填空題)已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}2^x,&x<0,\\f(x-1)+1,&x\geq0,\end{cases}\)則\(f(2)=\)________。解析：這是一個(gè)分段函數(shù)，對于\(x\geq0\)的情況，函數(shù)值需要通過遞推關(guān)系\(f(x)=f(x-1)+1\)來求解。要求\(f(2)\)，因?yàn)閈(2\geq0\)，所以\(f(2)=f(2-1)+1=f(1)+1\)。同理，\(f(1)=f(1-1)+1=f(0)+1\)。\(f(0)=f(0-1)+1=f(-1)+1\)。而\(-1<0\)，可以直接代入第一段解析式：\(f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2}\)。因此，\(f(0)=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\)。\(f(1)=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}\)。\(f(2)=\frac{5}{2}+1=\frac{7}{2}\)。故答案為\(\frac{7}{2}\)。思路點(diǎn)撥：對于具有遞推關(guān)系的分段函數(shù)求值，通常采用“層層剝皮”的方法，逐步將自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間內(nèi)。二、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)的銳利工具，也是高考數(shù)學(xué)的難點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容。常與函數(shù)、不等式、方程等知識(shí)交匯命題，考查學(xué)生的綜合分析與解決問題能力。訓(xùn)練題3(解答題)已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3ax^2+3x+1\)。(1)若\(a=1\)，求函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((2,3)\)上至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍。解析：(1)當(dāng)\(a=1\)時(shí)，\(f(x)=x^3-3x^2+3x+1\)。對\(f(x)\)求導(dǎo)，得\(f'(x)=3x^2-6x+3=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2\)。因?yàn)閈(f'(x)=3(x-1)^2\geq0\)對任意\(x\in\mathbb{R}\)恒成立，且僅當(dāng)\(x=1\)時(shí)\(f'(x)=0\)。所以，函數(shù)\(f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上單調(diào)遞增。即函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,+\infty)\)，無單調(diào)遞減區(qū)間。(2)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((2,3)\)上至少有一個(gè)極值點(diǎn)，意味著其導(dǎo)函數(shù)\(f'(x)\)在區(qū)間\((2,3)\)內(nèi)至少有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)。首先，求導(dǎo)：\(f'(x)=3x^2-6ax+3=3(x^2-2ax+1)\)。令\(g(x)=x^2-2ax+1\)，則\(f'(x)=3g(x)\)。問題轉(zhuǎn)化為：二次函數(shù)\(g(x)=x^2-2ax+1\)在區(qū)間\((2,3)\)內(nèi)至少有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)。方法一（直接法）：\(g(x)\)在\((2,3)\)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)（不考慮端點(diǎn)），則需滿足\(g(2)g(3)<0\)。即\((4-4a+1)(9-6a+1)<0\)，化簡得\((5-4a)(10-6a)<0\)。進(jìn)一步化簡：\((4a-5)(6a-10)<0\)，即\((4a-5)(3a-5)<0\)。解得\(\frac{5}{4}<a<\frac{5}{3}\)。注意：還需考慮判別式\(\Delta=4a^2-4\geq0\)，即\(a^2\geq1\)，解得\(a\geq1\)或\(a\leq-1\)。結(jié)合上述結(jié)果，此條件已滿足。另外，若\(g(x)\)在\((2,3)\)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則需滿足：\(\Delta>0\)，\(2<a<3\)，\(g(2)>0\)，\(g(3)>0\)。但\(\Delta>0\)即\(a>1\)或\(a<-1\)。若\(2<a<3\)，則\(g(2)=5-4a\)，當(dāng)\(a>2\)時(shí)，\(5-4a<5-8=-3<0\)，故\(g(2)>0\)不成立。因此，\(g(x)\)在\((2,3)\)內(nèi)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)。綜上，實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍是\(\left(\frac{5}{4},\frac{5}{3}\right)\)。方法二（分離參數(shù)法）：由\(g(x)=x^2-2ax+1=0\)，得\(2a=x+\frac{1}{x}\)。設(shè)\(h(x)=x+\frac{1}{x}\)，\(x\in(2,3)\)。則問題轉(zhuǎn)化為直線\(y=2a\)與函數(shù)\(h(x)=x+\frac{1}{x}\)在區(qū)間\((2,3)\)的圖像有交點(diǎn)。對\(h(x)\)求導(dǎo)，\(h'(x)=1-\frac{1}{x^2}\)。當(dāng)\(x\in(2,3)\)時(shí)，\(x^2>1\)，所以\(h'(x)=1-\frac{1}{x^2}>0\)。因此，\(h(x)\)在\((2,3)\)上單調(diào)遞增。\(h(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)，\(h(3)=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}\)。所以，\(h(x)\in\left(\frac{5}{2},\frac{10}{3}\right)\)。要使\(2a\in\left(\frac{5}{2},\frac{10}{3}\right)\)，則\(a\in\left(\frac{5}{4},\frac{5}{3}\right)\)。故實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍是\(\left(\frac{5}{4},\frac{5}{3}\right)\)。思路點(diǎn)撥：第(2)問的兩種方法中，分離參數(shù)法將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，往往更為簡潔。處理函數(shù)極值點(diǎn)存在性問題，關(guān)鍵是把握導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的分布情況。三、三角函數(shù)與解三角形三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，解三角形則是其在幾何中的直接應(yīng)用。高考中著重考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、正余弦定理的靈活運(yùn)用。訓(xùn)練題4(解答題)在\(\triangleABC\)中，角\(A,B,C\)所對的邊分別為\(a,b,c\)，已知\(\cosA=\frac{3}{5}\)，\(\cosB=\frac{5}{13}\)。(1)求\(\sinC\)的值；(2)若\(a=1\)，求\(\triangleABC\)的面積。解析：(1)在\(\triangleABC\)中，\(A+B+C=\pi\)，所以\(C=\pi-(A+B)\)。因此，\(\sinC=\sin(\pi-(A+B))=\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB\)。已知\(\cosA=\frac{3}{5}\)，且\(A\)為三角形內(nèi)角，所以\(\sinA=\sqrt{1-\cos^2A}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}\)。同理，\(\cosB=\frac{5}{13}\)，所以\(\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2}=\frac{12}{13}\)。代入上式，得\(\sinC=\frac{4}{5}\times\frac{5}{13}+\frac{3}{5}\times\frac{12}{13}=\frac{20}{65}+\frac{36}{65}=\frac{56}{65}\)。(2)由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)，已知\(a=1\)，\(\sinA=\frac{4}{5}\)，\(\sinB=\frac{12}{13}\)?？傻肻(b=\frac{a\sinB}{\sinA}=\frac{1\times\frac{12}{13}}{\frac{4}{5}}=\frac{12}{13}\times\frac{5}{4}=\frac{15}{13}\)。三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}ab\sinC\)。已知\(a=1\)，\(b=\frac{15}{13}\)，\(\sinC=\frac{56}{65}\)。所以\(S=\frac{1}{2}\times1\times\frac{15}{13}\times\frac{56}{65}=\frac{1}{2}\times\frac{840}{845}=\frac{420}{845}=\frac{84}{169}\)。易錯(cuò)警示：在求\(\sinC\)時(shí)，容易忽略三角形內(nèi)角和定理，直接認(rèn)為\(\sinC=\sin(A+B)\)，這是正確的，但計(jì)算過程中要保證\(\sinA\)和\(\sinB\)的值準(zhǔn)確無誤。解三角形時(shí)，正弦定理和余弦定理的選擇要恰當(dāng)。四、數(shù)列數(shù)列是特殊的函數(shù)，等差數(shù)列與等比數(shù)列是其最基本的形式。高考主要考查數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的求法、前n項(xiàng)和的計(jì)算，以及數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識(shí)的綜合應(yīng)用。訓(xùn)練題5(解答題)已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，且滿足\(S_n=2a_n-n\)（\(n\in\mathbb{N}^*\)）。(1)求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)\(b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}}\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(T_n\)。解析：(1)當(dāng)\(n=1\)時(shí)，\(S_1=a_1=2a_1-1\)，解得\(a_1