第9課時專題強化：動態(tài)平衡和臨界、極值問題

目標要求1.學會用圖解法、解析法等解決動態(tài)平衡問題。2.會分析平衡中的臨界與極值問題。

考點一動態(tài)平衡問題

動態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài)。常用方法：

圖解法、解析法、相似三角形法、輔助圓法、正弦定理法。

1.“一力恒定，另一力方向不變”的動態(tài)平衡問題

一個力(F1)恒定，另一個力(F2)方向不變，作出不同狀態(tài)下的矢量三角形，確定力大小的變化。

若F1與F2不垂直，當F3⊥F2時，F(xiàn)3有最小值，F(xiàn)3min＝F1sinθ，如圖乙。

例1(2024·山東泰安市新泰市?？?半圓柱體P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的豎直

擋板MN。在半圓柱體P和MN之間放有一個光滑的均勻小圓柱體Q，整個裝置處于平衡狀態(tài)，如圖

所示是這個裝置的縱截面圖。現(xiàn)使MN保持豎直并且緩慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，發(fā)現(xiàn)P

始終保持靜止。則在此過程中，下列說法中正確的是()

A.MN對Q的彈力逐漸減小

B.地面對P的摩擦力逐漸增大

C.P、Q間的彈力先減小后增大

D.Q所受的合力逐漸增大

2.“一力恒定，另兩力方向均變化”的動態(tài)平衡問題

一力恒定(如重力)，其他二力的方向均變化，但二力分別與繩子、兩物體重心連線方向平行，即三力構(gòu)成

的矢量三角形與△ACO幾何三角形相似，則對應邊比值相等。

基本矢量圖，如圖所示

基本關系式：＝＝。

???N?T

例2(2025·山?東煙?+臺?市?龍口市?？?如圖所示為一簡易起重裝置，AC是上端帶有小滑輪的固定支架，

BC為質(zhì)量不計的輕桿，桿的一端C用鉸鏈固定在支架上，另一端B懸掛一個質(zhì)量為m的重物，并用

輕質(zhì)鋼絲繩跨過滑輪A連接在卷揚機上。開始時，桿BC與AC的夾角∠BCA>90°，現(xiàn)使∠BCA緩慢變

小，直到∠BCA＝30°(不計一切阻力)。在此過程中，桿BC所產(chǎn)生的彈力()

A.大小不變B.逐漸增大

C.先增大后減小D.先減小后增大

3.一力恒定，另外兩力方向均變化，但兩力方向夾角保持不變的動態(tài)平衡問題

利用正弦定理或利用輔助圓，恒力為圓的一條弦，恒力所對應角的頂點在圓上移動，可保持圓心角不變，

根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化。

例3(多選)如圖，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一端N。

初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α(α>)?，F(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保

π

持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過程中()2

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

分析動態(tài)平衡問題的流程

受力分析畫不同狀態(tài)下的受力平衡圖構(gòu)造矢量三角形

考點二平衡中的臨界、極值問題

1.臨界問題

當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不

出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等。臨界問題常見的種類：

(1)由靜止到運動，摩擦力達到最大靜摩擦力。

(2)繩子恰好伸直，拉力F＝0。

(3)剛好離開接觸面，支持力FN＝0。

2.極值問題

平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。

3.解題方法

(1)極限法：首先要正確地進行受力分析和過程分析，把某個物理量推向極端(極大或極小)，從而找出平衡

的臨界點和極值點。

(2)數(shù)學分析法：根據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關系(或畫出函數(shù)圖像)，用數(shù)學方法求極值(如

求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值)。

(3)物理分析方法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，利用平行四邊形定則進行動態(tài)分析，確定最大

值與最小值。

例4如圖所示，在質(zhì)量為m的物塊甲上系著兩條細繩，其中長30cm的細繩另一端連著輕質(zhì)圓環(huán)，

圓環(huán)套在水平棒上可以滑動，圓環(huán)與棒間的動摩擦因數(shù)μ＝0.75。另一細繩跨過光滑輕質(zhì)定滑輪與重力

為G的物塊乙相連，定滑輪固定在距離圓環(huán)50cm的地方，系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，OA與棒的夾角為θ，

兩繩夾角為φ。當G＝6N時，圓環(huán)恰好開始滑動。最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s2，sin

37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：

(1)OA繩與棒間的夾角θ；

(2)物塊甲的質(zhì)量m。

例5(2025·山東煙臺市開學考)如圖所示，質(zhì)量m＝5.2kg的金屬塊放在水平地面上，在斜向右上的

拉力F作用下，向右以v0的速度做勻速直線運動。已知金屬塊與地面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，g取10

m/s2。求所需拉力F的最小值。

在力的方向發(fā)生變化的平衡問題中求力的極小值時，一般利用三角函數(shù)求極值。也可利用“摩擦角”將四

力平衡轉(zhuǎn)化為三力平衡，從而求拉力的最小值。例如：如圖所示，物體在拉力F作用下做勻速直線運動，

改變θ大小，求拉力的最小值時，可以用支持力與摩擦力的合力F'代替支持力與摩擦力，F(xiàn)N與Ff的合力F'

方向一定，即“摩擦角”α滿足tanα＝＝μ，則Fmin＝mgsinα，此時θ＝α。

?f

?N

答案精析

例1B[對Q受力分析，F(xiàn)1表示P對Q的彈力，F(xiàn)2表示MN對Q的彈力，F(xiàn)2的方向水平向左保持不變，

F1的方向順時針旋轉(zhuǎn)，如圖所示

由平行四邊形的邊長變化可知，F(xiàn)1與F2都逐漸增大，故A、C錯誤；對P、Q整體受力分析，由平衡條件

得，F(xiàn)f＝F2，由于F2不斷增大，故Ff不斷增大，故B正確；由于擋板MN緩慢移動，Q處于平衡狀態(tài)，所

受合力為零，故D錯誤。]

例2A[以結(jié)點B為研究對象，分析受力情況，作出力的合成圖如圖，根據(jù)平衡條件知，G、FN的合力

F合與F大小相等、方向相反。

合

根據(jù)三角形相似得＝＝，得FN＝G

?

??N??

∠BCA緩慢變小的?過?程中??，A?C?、BC不變，??則FN不變，故桿BC所產(chǎn)生的彈力大小不變，故選A。]

例3AD[法一：以重物為研究對象分析受力情況，受重力mg、OM繩上拉力F2、MN上拉力F1，由題

意知，三個力的合力始終為零，矢量三角形如圖所示，F(xiàn)1、F2的夾角不變，在F2轉(zhuǎn)至水平的過程中，矢量

三角形在同一外接圓上，由圖可知，MN上的張力F1逐漸增大，OM上的張力F2先增大后減小，所以A、

D正確，B、C錯誤。

法二：正弦定理

根據(jù)正弦定理＝＝，mg與sinθ3保持不變，sinθ1變大，F(xiàn)1變大，sinθ2先增大后減小，F(xiàn)2先

???1?2

增大后減小，故sin選?3A、sinD?1。sin?2

]

例4(1)53°(2)1kg

解析(1)當圓環(huán)恰好要開始滑動時，設此時水平棒對圓環(huán)的支持力大小為FN，細繩對圓環(huán)的拉力大小為

FT，對圓環(huán)受力分析，如圖甲所示，根據(jù)平衡條件有μFN＝FTcosθ①

FN＝FTsinθ②

聯(lián)立①②解得tanθ＝＝，即θ＝53°。

14

(2)由題意，根據(jù)幾何關?系3可知φ＝90°

如圖乙所示，以O為坐標原點建立xOy直角坐標系，對物塊甲受力分析，根據(jù)平衡條件有Gcosθ+FTsinθ

－mg＝0③

FTcosθ－Gsinθ＝0④

聯(lián)立③④解得m＝1kg。

例52N

解析方2法6一三角函數(shù)法

設拉力與水平方向夾角為θ，根據(jù)平衡條件有Fcosθ＝μ(mg－Fsinθ)，整理得F＝

＝其中sinβ＝，當θ＝－β時F最小，故所需拉力F的最小值Fmin＝＝

??????1π???

222

2cos?+?sNin。?1+?sin(?+?)(1+?)21+?

方法26二利用“摩擦角”法

設FN與Ff的合力與FN方向的夾角為α，則tanα＝＝μ