第44課時(shí)專題強(qiáng)化：電場(chǎng)中的圖像問題電場(chǎng)中功能關(guān)系的綜合問題

目標(biāo)要求1.掌握電場(chǎng)中的幾種常見圖像。2.掌握靜電力做功的計(jì)算方法及電場(chǎng)中常用的功能關(guān)系。

考點(diǎn)一電場(chǎng)中的圖像問題

1.v－t圖像

當(dāng)帶電粒子只受靜電力時(shí)，從v－t圖像上能確定粒子運(yùn)動(dòng)的加速度方向、大小變化情況，進(jìn)而可判定粒子

運(yùn)動(dòng)中經(jīng)過的各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向、電場(chǎng)強(qiáng)度大小、電勢(shì)高低及電勢(shì)能的變化情況。

例1(多選)一帶負(fù)電粒子僅在靜電力的作用下從A點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，速度由v1變?yōu)関2，其速

度—時(shí)間圖像如圖所示，下列說法正確的是()

A.A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)關(guān)系為φA>φB

B.A點(diǎn)附近的等勢(shì)面要比B點(diǎn)附近的等勢(shì)面稀疏

C.A、B兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小關(guān)系為EA>EB

D.粒子從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中，可能兩次經(jīng)過同一個(gè)等勢(shì)面

2.φ－x圖像(電場(chǎng)方向與x軸平行)

(1)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小等于φ－x圖線的切線斜率大小，沿x軸方向電場(chǎng)強(qiáng)度為零處，φ－x圖線存在極值，其

切線的斜率為零；

(2)在φ－x圖像中可以直接判斷各點(diǎn)電勢(shì)的高低，并可根據(jù)電勢(shì)高低關(guān)系確定電場(chǎng)強(qiáng)度的方向；

(3)在φ－x圖像中分析電荷移動(dòng)時(shí)電勢(shì)能的變化，可用WAB＝qUAB，進(jìn)而分析WAB的正負(fù)，然后做出判斷。

試畫出下圖中幾種典型電場(chǎng)的φ－x圖像(以無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零)。

(1)點(diǎn)電荷的φ－x圖像；

(2)兩等量異種點(diǎn)電荷連線上的φ－x圖像；

(3)兩個(gè)等量正點(diǎn)電荷的φ－x圖像。

例2(多選)(2024·天津卷)某靜電場(chǎng)在x軸正半軸的電勢(shì)φ隨x變化的圖像如圖所示，a、b、c、d為x

軸上四個(gè)點(diǎn)。一負(fù)電荷僅在靜電力作用下，以一定初速度從d點(diǎn)開始沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)到a點(diǎn)，則該

電荷()

A.在b點(diǎn)電勢(shì)能最小

B.在c點(diǎn)時(shí)速度最小

C.所受靜電力始終做負(fù)功

D.在a點(diǎn)受靜電力沿x軸負(fù)方向

[變式]如圖甲所示的xOy坐標(biāo)系中，y軸上固定有兩個(gè)等量同種點(diǎn)電荷P，與原點(diǎn)O的距離相同，x

軸上各點(diǎn)的電勢(shì)φ隨x坐標(biāo)變化的圖像如圖乙所示。a、b是x軸上兩點(diǎn)，其電勢(shì)分別為φa和φb，對(duì)應(yīng)φ

－x圖線上的a'、b'兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)切線斜率的絕對(duì)值相等?，F(xiàn)將一質(zhì)量為m、電荷量為q的正點(diǎn)電荷M

從a點(diǎn)由靜止釋放，M運(yùn)動(dòng)過程中僅受靜電力作用，下列說法正確的是()

A.a、b兩點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度相同

B.M從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過程中電勢(shì)能先增大后減小

C.M從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過程中加速度大小先減小后增大再減小

D.M先后兩次經(jīng)過b點(diǎn)的過程，靜電力的沖量大小為2

3.E－x圖像2??(?????)

以電場(chǎng)強(qiáng)度沿x軸方向?yàn)槔?/p>

(1)E>0表示電場(chǎng)強(qiáng)度沿x軸正方向，E<0表示電場(chǎng)強(qiáng)度沿x軸負(fù)方向。

(2)E－x圖線與x軸圍成的“面積”表示電勢(shì)差，“面積”大小表示電勢(shì)差大小，兩點(diǎn)的電勢(shì)高低需根據(jù)電

場(chǎng)方向判定。

例3(多選)電場(chǎng)的某條電場(chǎng)線是一條直線，這條電場(chǎng)線上依次有O、A、B、C四個(gè)點(diǎn)，相鄰兩點(diǎn)間

距離均為d，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿電場(chǎng)強(qiáng)度方向建立x軸正方向，該電場(chǎng)線上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E隨x

的變化規(guī)律如圖所示。一個(gè)帶電荷量為＋q的粒子，從O點(diǎn)由靜止釋放，僅受靜電力作用。則()

A.若O點(diǎn)的電勢(shì)為零，則A點(diǎn)的電勢(shì)為－

?0?

B.粒子從O到A做初速度為零的勻加速直線2運(yùn)動(dòng)

C.粒子在OA段電勢(shì)能減少量小于BC段電勢(shì)能減少量

D.粒子運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)動(dòng)能為

3??0?

4.Ep－x圖像、Ek－x圖像2

(1)Ep－x圖像

由靜電力做功與電勢(shì)能變化關(guān)系F電x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x圖像的切線斜率k＝。

Δ?p

①其絕對(duì)值等于靜電力大小。Δ?

②正負(fù)代表靜電力的方向：若斜率為正，說明電勢(shì)能增加，靜電力沿x軸正方向做負(fù)功，靜電力方向沿x

軸負(fù)方向；若斜率為負(fù)，說明電勢(shì)能減小，靜電力沿x軸正方向做正功，靜電力方向沿x軸正方向。

(2)Ek－x圖像

當(dāng)只有靜電力對(duì)帶電體做功，由動(dòng)能定理F電x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x圖像的切線斜率k＝，斜率表示

Δ?k

靜電力。Δ?

例4(多選)在甲、乙電場(chǎng)中，電場(chǎng)方向均與x軸平行，某試探電荷－q(q>0)具有的電勢(shì)能Ep沿x方

向的變化分別如圖甲、乙所示，則下列說法正確的是()

A.圖甲中，試探電荷在O點(diǎn)受到的靜電力為零

B.圖甲中，電場(chǎng)強(qiáng)度沿x軸正方向

C.圖乙中，x1處的電場(chǎng)強(qiáng)度小于x2處的電場(chǎng)強(qiáng)度

D.圖乙中，x1處的電勢(shì)高于x2處的電勢(shì)

考點(diǎn)二電場(chǎng)中功能關(guān)系的綜合問題

幾種常見的功能關(guān)系：

(1)合外力做功等于動(dòng)能的變化，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(動(dòng)能定理)。

(2)重力做功等于物體重力勢(shì)能的變化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp。

(3)靜電力做功等于電勢(shì)能的變化，即W電＝Ep電1－Ep電2＝－ΔEp電。

(4)彈簧彈力做功等于彈性勢(shì)能的變化，即W彈＝Ep1－Ep2＝－ΔEp彈。

(5)除了重力和彈簧彈力之外其他力做的總功等于物體機(jī)械能的變化，即W其他力＝E機(jī)2－E機(jī)1＝ΔE機(jī)。

說明：(1)動(dòng)能定理可以把不同力對(duì)物體做的功聯(lián)系起來。

(2)能量守恒定律可以把系統(tǒng)中參與變化的所有能量聯(lián)系起來。

若只有靜電力做功，電勢(shì)能與動(dòng)能之和保持不變；若只有靜電力和重力做功，電勢(shì)能、重力勢(shì)能、動(dòng)能之

和保持不變。

例5如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕彈簧，一端固定于傾角為θ的光滑絕緣斜面頂端的擋板上，另一

端連接絕緣帶正電可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A，彈簧與斜面平行，小球的質(zhì)量為m，電荷量為q，彈簧處于

原長(zhǎng)時(shí)小球在O點(diǎn)。在空間中加一平行于斜面向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，將小球從O點(diǎn)由

靜止釋放，小球沿斜面運(yùn)動(dòng)至M點(diǎn)時(shí)加速度為零，重力加速度為g，則小球從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至M點(diǎn)過程中，

小球的()

A.機(jī)械能一直增加

B.機(jī)械能先增大后減小

C.位移大小為x＝

??sin????

D.電勢(shì)能的增加量等于?重力勢(shì)能的減少量

例6(多選)(2024·山東卷·10)如圖所示，帶電量為＋q的小球被絕緣棒固定在O點(diǎn)，右側(cè)有固定在水

平面上、傾角為30°的光滑絕緣斜面。質(zhì)量為m、帶電量為＋q的小滑塊從斜面上A點(diǎn)由靜止釋放，滑

到與小球等高的B點(diǎn)時(shí)加速度為零，滑到C點(diǎn)時(shí)速度為零。已知AC間的距離為s，重力加速度大小為

g，靜電力常量為k，下列說法正確的是()

A.OB的距離l＝

2

3??

??

B.OB的距離l＝

2

3??

C.從A到C，靜電力3?對(duì)?小滑塊做功W＝－mgs

D.AC之間的電勢(shì)差UAC＝－

???

2?

答案精析

考點(diǎn)一

討論交流

(1)

(2)

(3)

例1AC[根據(jù)速度由v1變?yōu)関2，速度減小，可知靜電力對(duì)粒子做負(fù)功，電勢(shì)能增加。根據(jù)帶電粒子在

電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，負(fù)電荷高勢(shì)低能，則φA>φB，故A正確；電場(chǎng)線密集的位置等勢(shì)面密集，電場(chǎng)強(qiáng)

度更大，則帶電粒子受到的靜電力更大，加速度大，在v－t圖像中斜率的絕對(duì)值更大，A處斜率的絕對(duì)值

大于B處斜率的絕對(duì)值，則電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系EA>EB，A點(diǎn)附近的等勢(shì)面要比B點(diǎn)附近的等勢(shì)面密集，故B

錯(cuò)誤，C正確；粒子從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中，速度一直減小，則靜電力一直做負(fù)功，電勢(shì)能一直增大，故

不可能兩次經(jīng)過同一個(gè)等勢(shì)面，故D錯(cuò)誤。]

例2BD[根據(jù)題意，由公式Ep＝φq可知，負(fù)電荷在高電勢(shì)位置的電勢(shì)能較小，由題圖可知，a點(diǎn)的電

勢(shì)最大，則在a點(diǎn)電勢(shì)能最小，同理可知，c點(diǎn)的電勢(shì)最小，則在c點(diǎn)時(shí)電勢(shì)能最大，電荷僅在靜電力作

用下，電荷的電勢(shì)能和動(dòng)能之和不變，可知，電勢(shì)能最大時(shí)，動(dòng)能最小，則在c點(diǎn)時(shí)，電荷的動(dòng)能最小，

即速度最小，故A錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)沿電場(chǎng)線方向電勢(shì)逐漸降低，結(jié)合題圖可知，c點(diǎn)左側(cè)電場(chǎng)方向沿x

軸正方向，c點(diǎn)右側(cè)電場(chǎng)方向沿x軸負(fù)方向，可知，c點(diǎn)右側(cè)負(fù)電荷受沿x軸正方向的靜電力，c點(diǎn)左側(cè)負(fù)

電荷受沿x軸負(fù)方向的靜電力，可知，在a點(diǎn)受靜電力沿x軸負(fù)方向，從d點(diǎn)開始沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)到a

點(diǎn)，靜電力先做負(fù)功后做正功，故C錯(cuò)誤，D正確。]

[變式]D[根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的關(guān)系E＝，可知φ－x圖線的斜率表示電場(chǎng)強(qiáng)度，由題知，a'、b'這兩

Δ?

點(diǎn)切線斜率的絕對(duì)值相等，說明電場(chǎng)強(qiáng)度大小Δ相?同，根據(jù)沿電場(chǎng)線電勢(shì)降低，可知a、b兩點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度方

向不相同，故A錯(cuò)誤；若兩電荷為等量的正電荷，兩電荷連線的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)處的電勢(shì)最高，

而由題圖乙可知，兩電荷連線的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)處的電勢(shì)最低，則兩電荷為等量的負(fù)電荷；由Ep

＝φq知正點(diǎn)電荷M從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過程中，電勢(shì)能先減小后增大，故B錯(cuò)誤；電荷量為q的正點(diǎn)電

荷M從a點(diǎn)由靜止釋放，由題圖乙分析知，φ－x圖線的斜率先增大后減小再增大，故M從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b

點(diǎn)的過程中加速度大小先增大后減小再增大，故C錯(cuò)誤；M從a經(jīng)過b點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理知qUab＝

m－0，設(shè)初動(dòng)量為p，a→b為正方向，則p＝mvb，解得p＝，設(shè)末動(dòng)量為p'，M從b

12

???

點(diǎn)2經(jīng)?過一段距離返回b點(diǎn)的過程，由對(duì)稱性知p'＝－2?，?(???)

靜電力的沖量為I＝p'－p＝－2，故M先2?后?兩(?次??經(jīng)?過?)b點(diǎn)的過程，靜電力的沖量大小為

2，故D正確。]2??(?????)

例32??A(D???[由?于?)沿電場(chǎng)強(qiáng)度方向建立x軸正方向，題圖中給出的電場(chǎng)強(qiáng)度均為正值，表明O、C兩個(gè)點(diǎn)之

間的電場(chǎng)方向一直沿x軸正方向，因a＝，粒子從O到A做初速度為零、加速度變大的變加速直線運(yùn)動(dòng)，

??

?

故B錯(cuò)誤；E－x圖像中，圖像與橫軸所圍幾何圖形的面積表示電勢(shì)差，則有|UOA|＝，沿電場(chǎng)線方向電

?0?

2

勢(shì)降低，故φO>φA，解得φA＝－，故A正確；由以上分析，結(jié)合題圖可知，UOA>UBC，根據(jù)W＝qU，可

?0?

知OA段靜電力做的正功大于BC2段靜電力做的正功，即粒子在OA段電勢(shì)能減少量大于BC段電勢(shì)能減少

量，故C錯(cuò)誤；

＋

OB段靜電力做功為WOB＝qUOB＝q＝，根據(jù)動(dòng)能定理有，WOB＝EkB－0，解得EkB＝，

(2???2?)?03??0?3??0?

故D正確。]222

例4BD[根據(jù)Ep－x圖像斜率的絕對(duì)值表示靜電力的大小，題圖甲中，試探電荷在O點(diǎn)受到的靜電力

不為零，A錯(cuò)誤；沿x軸正方向，電勢(shì)能增大，靜電力做負(fù)功，又因試探電荷帶負(fù)電，則電場(chǎng)強(qiáng)度沿x軸

正方向，B正確；題圖乙中x1處的斜率大于x2處的斜率，即Fx1>Fx2，故Ex1