函數(shù)與極限1函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極限函數(shù)在一點(diǎn)的極限第二節(jié)函數(shù)的極限

對(duì)于數(shù)列,即整標(biāo)函數(shù)其自變量的變化只有一種情形.而對(duì)于一般函數(shù)來說,有:2一、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(infinitepoint)的極限以下分別用記號(hào)x趨向于負(fù)無窮大x趨向于無窮大函數(shù)的極限x趨向于正無窮大3定義1.

設(shè)函數(shù)在當(dāng)時(shí)有定義,則稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)當(dāng)x趨向于無窮大時(shí)的極限，記作時(shí),有若當(dāng)或也稱當(dāng)時(shí),f(x)收斂于A。直線y=A

為曲線的水平漸近線.

類似定義4如果在x的某種趨向下,并不無限接近一個(gè)常數(shù),則稱:在x的該種趨向下例當(dāng)|x|無限增大時(shí),都不無限接近一個(gè)常數(shù),因此都不存在.函數(shù)的極限不存在.5例1.

注:6例如：7解顯然有可見和雖然都存在,但它們不相等.故不存在.例討論極限是否存在?函數(shù)的極限Axfx=-￥?)(lim8定義2.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,則稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)當(dāng)x趨向于x0時(shí)的極限，記作時(shí),有若當(dāng)或也稱當(dāng)時(shí),f(x)收斂于A。二、函數(shù)在一點(diǎn)(one-point)的極限幾何解釋:因果因果例12o52o52o511114例2.

觀察分析1-10xy1定理1：如果y=f(x)

是基本初等函數(shù)，x0是其定義域內(nèi)一點(diǎn)，則15例如16左、右極限(單側(cè)極限)例如,函數(shù)的極限兩種情況分別討論!17同理得到右極限

:定義：如果從左邊趨于時(shí)，無限接近于A,稱時(shí)，的左極限是A,記作18注且此性質(zhì)常用于判斷分段函數(shù)當(dāng)x趨近于分段點(diǎn)時(shí)的極限.極限存在的充分必要條件：總結(jié)一下x的趨向一共有六種:

19左、右極限存在,證故極限不存在.例3函數(shù)的極限但不相等,討論的存在性.20例4.

設(shè)函數(shù)討論時(shí)的極限是否存在.解:因?yàn)轱@然所以不存在.21解:例5.

求例6.

設(shè)函數(shù)且存在,求a.解:22討論函數(shù)：在處的極限；所以不存在.23

函數(shù)極限與數(shù)列極限相比,有類似的性質(zhì),定理1(極限的唯一性)有極限,若在自變量的某種變化趨勢(shì)下,則極限值必唯一.定理2(局部有界性)f(x)有極限,則f(x)在上有界;f(x)有極限,且證明方法也類似.三、函數(shù)極限的性質(zhì)24定理3(局部保號(hào)性)25定理4.（海涅定理：函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）有定義且有說明:

此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在.法1

找一個(gè)數(shù)列不存在.法2