平面圖形的面積體積第六節(jié)定積分的幾何應(yīng)用第六章定積分定積分的元素法1定積分有著廣泛的用途,

先介紹建立定積分的一種適用的簡便方元素法(微元法).本章介紹它在幾何,經(jīng)濟上的簡單應(yīng)用,培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識來分析和解決實際問題的能力.法---一、定積分的元素法2究竟哪些量可用定積分來計算呢。首先討論這個問題。

結(jié)合曲邊梯形面積的計算及定積分的定義?可知，用定積分計算的量應(yīng)具有如下許多部分區(qū)間，(即把[a,b]分成兩個特點:(1)所求量I與[a,b]有關(guān)；(2)I在[a,b]上具有可加性則I相應(yīng)地分成許多部分量，而I等于所有部分量之和)。3有了N--L公式后,對應(yīng)用問題來說關(guān)鍵就在于如何寫出被積表達式.

這個復(fù)雜的極限運算問題得到了解決.為量I的微元或元素.4這個小區(qū)間上所對應(yīng)的小曲邊梯形面積面積元素得

建立如下.地等于長為f(x)、寬為dx的小矩形面積,故有近似上任取一小區(qū)間在],[ba],d,[xxx+5這種簡化了的建立積分式的方法稱為元素法或微元法.方法簡化步驟)1(求出上任取一小區(qū)間在],d,[],[xxxba+也是它的的近似值上所求量(]d,[IxxxD+即的微分,d)()xxf.d)(xxfI?D6二、平面圖形的面積

回憶的幾何意義:曲邊梯形的面積.

啟示

一般曲線圍成區(qū)域的面積也可以用定積分來計算.定積分

下面曲線均假定是連續(xù)曲線.

注7求這兩條曲線及直線所圍成的區(qū)域的面積A.的面積元素dA為它對應(yīng)(1)即直角坐標(biāo)系中圖形的面積小區(qū)間所求面積為8(2)

由曲線和直線所圍成的區(qū)域的面積A.的面積元素dA為它對應(yīng)小區(qū)間所求面積為9例1.解畫草圖,求兩曲線交點的坐標(biāo)以便解方程組:交點面積元素法一選為積分變量,?確定積分限,xxxd)3(2+-=xxy22-=)3,3(·0=-yx10法二選y為積分變量,面積元素11例2.計算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積.解:

由得交點12

求由曲線y=x

2與

y=2–x

2所圍成的平面圖形的面積.解解方程組求得兩拋物線的交點為(–1,1),(1,1),故所求平面圖形(如圖)的面積為(1,1)(-1,1)Oxy1-1y=x

2y=2-x

2練習(xí)13例3.

計算拋物線與直線所圍圖形的面積.解:

由得交點為簡便計算,選取

y

作積分變量,則有14解曲線的參數(shù)方程為由對稱性,作變量代換,例4.其中總面積等于4倍第一象限部分面積．不易積分.

一般地,當(dāng)曲線用參數(shù)方程表示時,都可以用類似的變量代換法處理..12222的面積求橢圓=+byax15例5.解:兩曲線交點為由于圖形關(guān)于y軸對稱,故16二、體積1.平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)所給立體上連續(xù),則用元素法求得界于過軸上兩點且垂直于軸的兩平面之間，其垂直于軸的截面積為的體積采用元素法1.取為積分變量，其變化區(qū)間為2.對應(yīng)于小區(qū)間體積元素3.所求立體體積為17圓柱圓錐圓臺旋轉(zhuǎn)體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．2.旋轉(zhuǎn)體的體積18旋轉(zhuǎn)體的體積采用元素法如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線直線及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,體積為多少?取積分變量為x,為底的小曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積元素(1)19例1.

計算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:

方法1

利用直角坐標(biāo)方程則(利用對稱性)20方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a時,就得半徑為a的球體的體積21解體積元素例取積分變量為x,oxy旋轉(zhuǎn)體的體積：

22如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,體積為多少?(2)直線體積元素旋轉(zhuǎn)體的體積23解:兩曲線的交點為繞y軸旋轉(zhuǎn)ò-=104d)(yyyp例2.24練習(xí)解:25求在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積.

（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運算）四、小結(jié)旋轉(zhuǎn)體的體積繞x軸旋轉(zhuǎn)一周繞

y

軸旋轉(zhuǎn)一周26解例.求擺線的一拱與y=0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積變量代換27繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積可看作平面圖OABC與OBC分別繞y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體的體積之差.擺線令ò--=pp2023dsin)sin(tttta28注分部積分(利用“偶倍奇零”)2930例.求擺線的一拱與y=0所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.柱殼體積分析:

柱面面積偶函數(shù)奇函數(shù)31解:繞x軸旋轉(zhuǎn)練習(xí).曲線與直線x=1,x=4和x軸所圍成的平面圖形面積，并分別求該圖形繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周而得的旋轉(zhuǎn)體的體積.所求面積為：繞y軸旋轉(zhuǎn)柱殼體積或1432練習(xí).曲線與直線y=0,y=x所圍成的平面圖形面積，并求該圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而得的旋轉(zhuǎn)體的體積.繞y軸旋轉(zhuǎn)解:

由得交點1所求面積133解:練習(xí).過曲線上點A作切線，使該切線與曲線及x軸所圍成的平面圖形面積而得的旋轉(zhuǎn)體的體積.(1)設(shè)點A的坐標(biāo)為繞x軸旋轉(zhuǎn)的體積為(1)求點A的坐標(biāo);(2)并求該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周則在點A的切線方程為

令

y=0得所求面積于是點A的坐標(biāo)為34

練習(xí).

求位于曲線下方，該曲線過原點的切線的左方以及軸之間的圖形的面積及繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積。

1

解:則切線方程為：

由切線過原點知得故得到切線方程為.

所以選取為積分變量,.設(shè)切點的坐標(biāo)為M的坐標(biāo)為.35面積元素：1所求的幾何圖形的面積為：361所求旋轉(zhuǎn)體體積為繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積與繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積的差3738自測題A8.

設(shè)某種商品在產(chǎn)量x

單位時的邊際成本為(1)總利潤函數(shù)L(x)，(2)產(chǎn)量為多少時，總利潤最大？解:

注意到C(0)=50,故收益函數(shù)R(x)固定成本為50,邊際收入函數(shù)為

求：39L(x)=R(x)

C(x)令L

(x)=0,得x

=1或x

=11，又L

(1)=10>0,所以,x=11是極大值點，于是,總利潤函數(shù)即產(chǎn)量為11單位時,總利潤最大.L

(11)=10<0,40例.

設(shè)某種商品在產(chǎn)量x(百臺)時的邊際成本函數(shù)為(萬元百臺),(1)總成本函數(shù)C(x)，(2)產(chǎn)量為多少時，總利潤最大？最大利潤為多少?解:

注意到C(0)=3,故設(shè)收益函數(shù)為R(x),則R(x)=Px固定成本為3萬元,若該

商品的售價為且產(chǎn)品可以全部售出，求：41L(x)=R(x)

C(x)=0.4x2+8x

3,L

(x)=0.8x+8.令L

(x)=0,得x

=10.又L

(10)=0.8<0,所以,x=10是極大值點，Lmax(10)=37(萬元).于是,總利潤函數(shù)即每天生產(chǎn)10萬元時,獲得最大利潤,即42

例.

設(shè)某種商品每天生產(chǎn)x

單位時固定成本為20元,邊際成本函數(shù)為(元單位),求總成本C(x).如果這種商品規(guī)定的銷售單價為18元,且產(chǎn)品可以全部出售,求總利潤函數(shù)L(x),并問每天生產(chǎn)多少單位時才能獲得最大利潤.解:

注意到C(0)=20,故設(shè)收益函數(shù)為R(x),則R(x)=18x,43L(x)=R(x)

C(x)=18x(0.2x2+2x+20)=0.2x2+16x

20,L

(x)=0.4x+16.令L

(x)=0,得x

=40,又L

(40)=0.4<0,所以,每天生產(chǎn)40單位時,獲得最大利潤,即Lmax(40)=300(元).于是,利潤函數(shù)結(jié)論:n

為偶數(shù)n

為奇數(shù)44例1.

設(shè)由曲線，及

圍成平面圖形

繞軸,軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解:(一)求繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積

取為積分變量,如圖,45(二)求繞

軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積取為積分變量,如圖,46例2.

求拋物線在(0,1)內(nèi)的一條切線,使它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解: