1第二節(jié)

換元積分法第一類換元積分法第二類換元積分法integrationbysubstitution2解決方法將積分變量換成令?因為一、第一類換元積分法3定理第一類換元公式（湊微分法）可導,則有換元公式設具有原函數,注

“湊微分”的主要思想是:將所給出的積分湊成積分表里已有的形式,合理選擇是湊微分的關鍵。4例1.

求法一法二解5法三

同一個積分用不同的方法計算,可能得到表面上不一致的結果,但是實際上都表示同一族函數.注換元積分法6例2.

求解:一般地7練習

對第一換元積分法熟練后,可以不再寫出中間變量.注換元積分法8例3.

解:解:練習9練習10常用的函數的微分公式：11例4.

求解:12例5.

求解:換元積分法13例6.解:

14且有很大的靈活性,加一項減一項、可通過三角恒等變換、一個因子等方法，第一換元積分法是不定積分的基礎，代數運算、上，下同除以使積分變得易求.大體可分成兩類換元積分法1.某些有理函數和其他函數2.某些三角函數15例1.

求解:1.某些有理函數和其他函數換元積分法16例2.

求解:換元積分法17解法2兩法結果一樣18例3.

求解:∴

原式

=19例1.

解:原式=換元積分法2.某些三角函數20

例2.

練習21例3.求解:湊微分,用倍角公式降冪,再積分.

注利用公式再積分.22

例4.練習23積化和差公式：24例5.

求解:

不同角度的正弦、余弦之積的積分常用積化和差公式來化簡.注25求解:∴原式=練習26例6.

求解:27解法2

同樣可證或28求練習解:29求練習解:30練習

注當為奇數時，可把湊成當為偶數時，可把湊成轉化為冪函數的積分。利用公式31例7.

求解:

原式=32或當為奇數時，可把湊成湊成轉化為冪函數的積分。當為偶數時，可把湊成湊成轉化為冪函數的積分。利用公式331．求下列不定積分：(1)(2)(3)(4)(8)(7)(6)(5)(9)(11)習題(12)(13)(14)(10)341．求下列不定積分：(1)(2)(3)(4)35(5)(6)(8)(7)36(9)(10)(12)(11)37(13)(14)381.

求解換元積分法隱湊392.

求原式解403.

求解414.

求解:

原式=42二、第二類換元積分法有根式解決方法

消去根式,困難即則

回代43對積分作變換有公式第二類換元公式第二換元積分法不易計算時,可作適當變換化為不定積分積分后再將若積分

計算,代入.44例1.求解:令則∴原式45例2.求解:令則∴原式46例3.求解:令則∴原式47注以上幾例所使用的均為三角代換的目的當被積函數中含有令令回代時,一定要借助輔助三角形.三角代換.是化掉根式.一般規(guī)律:令48例4.

求解:令原式=

回代49例5

令解一

回代換元積分法原式50例5

（三角代換很繁瑣）令解二

回代換元積分法51三角代換注需根據被積函數的情況來定.積分中為了化掉根式是否一定采用并不是絕對的,換元積分法52例6

求解:令換元積分法回代根式代換即則53練習54例7

令解法一回代倒代換注可用來消去分母中的變量.一些情況下(如被積函數是分式,分母的方冪較高時),55法二回代56法三57如:倒代換對如下形式都適用.換元積分法58為各根指數的最小公倍數）注當被積函數含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令（其中換元積分法59例8.令解:60基本積分表(2)或6162解:

原式1.求練習2.求解:

原式=63解:換元積分法3.求64兩類換元積分法湊微分三角代換、倒代換、根式代換熟記基本積分表(2)三、小結換元積分法第一換元積分法:第二換元積分法:65

下列各題求積方法有何不同?思考題ò-24d)6(xxx66

1.

求解令（分母的階較高）換元積分法67回代換元積分法68原式2.

求解:

令則原式當

x<0時,類似可得同樣結果.6