專題1.4空間向量及其運算的坐標表示【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求空間點的坐標】 1【題型2空間向量運算的坐標表示】 3【題型3空間向量數(shù)量積運算的坐標表示】 4【題型4根據(jù)空間向量的坐標運算求參數(shù)】 6【題型5空間向量模長的坐標表示】 8【題型6空間向量平行的坐標表示】 11【題型7空間向量垂直的坐標表示】 13【題型8空間向量夾角余弦的坐標表示】 15【知識點1空間直角坐標系】1．空間直角坐標系(1)空間直角坐標系及相關概念①空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系O-xyz.②相關概念：O叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．(2)右手直角坐標系在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．2．空間一點的坐標在空間直角坐標系O-xyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數(shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應的有序實數(shù)組(x，y，z)叫做點A在此空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．【題型1求空間點的坐標】【例1】空間直角坐標系中，已知A?1,1,3，則點A關于yOz平面的對稱點的坐標為（

）A．1,1,?3 B．?1,?1,?3 C．1,1,3 D．?1,?1,3【解題思路】根據(jù)空間直角坐標系中點關于yOz平面的對稱點的特征可得答案.【解答過程】根據(jù)空間直角坐標系的對稱性可得A?1,1,3關于yOz故選：C.【變式1-1】已知點A(3,?1,0)，若向量AB=?1,6,?3，則點B的坐標是（A．(1,?6,3) B．(5,4,?3) C．(?1,6,?3) D．(2,5,?3)【解題思路】設Bx,y,z，表達出AB=x?3,y+1,z，從而列出方程組，求出點B【解答過程】設Bx,y,z，則AB因為AB=?1,6,?3，所以x?3=?1,y+1=6,z=?3，解得：故點B的坐標為2,5,?3.故選：D.【變式1-2】若點A1,2,3，點B4,?1,0，且AC=2CB，則點A．3,0,1 B．2,1,2C．32,?3【解題思路】設Cx,y,z，根據(jù)AC【解答過程】設Cx,y,z，則AC因為AC=2CB，所以x?1=24?xy?2=2?1?yz?3=2?z【變式1-3】在空間直角坐標系中，已知點P(x,y,z)下列敘述中正確的是（

）①點P關于x軸的對稱點是P②點P關于yOz平面的對稱點是P③點P關于y軸的對稱點是P④點P關于原點的對稱點是PA．①② B．①③ C．②④ D．②③【解題思路】根據(jù)空間坐標的對稱性進行判斷即可．【解答過程】點P關于x軸的對稱點的坐標是(x，?y，?z)，故①錯誤；點P關于yOz平面的對稱點的坐標是(?x，y，z)，則②正確；點P關于y軸的對稱點的坐標是(?x，y，?z)，則③錯誤；點P關于原點的對稱點的坐標是(?x，?y，?z)，故④正確，故正確的命題的序號是②④，故選：C.【知識點2空間向量的坐標運算】1．空間向量的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數(shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序實數(shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，上式可簡記作a＝(x，y，z)．2．空間向量的坐標運算設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運算向量表示坐標表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【題型2空間向量運算的坐標表示】【例2】已知向量a=3,?4,2，b=2,?3,1，則A．7,?10,4 B．5,?7,3 C．1,?1,1 D．?1,2,0【解題思路】根據(jù)向量線性運算的坐標表示得出答案.【解答過程】a?2【變式2-1】已知向量AB=2,A．?2,?2,?2 B．（8，15，3）【解題思路】利用向量減法的法則及坐標運算即可求解.【解答過程】因為AB=2,故選：D.【變式2-2】已知向量a=2,3,?4,b=A．0,3,?6 B．0,6,?20 C．0,6,?6 D．6,6,?6【解題思路】推導出c=4【解答過程】∵向量a=2,3,?4,【變式2-3】在空間四邊形ABCD中，若向量AB=（﹣3，5，2），CD=（﹣7，-1，﹣4），點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，則EF的坐標為（

）A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）【解題思路】根據(jù)空間向量的加法減法運算及三角形中線的性質求解.【解答過程】如圖，取AC中點M，連接ME,MF,如圖，則ME=12AB=(?3【題型3空間向量數(shù)量積運算的坐標表示】【例3】若A(2,?4,?1)，B(?1,5,1)，C(3,?4,1)，則CA?CB=A．-11 B．3 C．4 D．15【解題思路】先求出CA，【解答過程】由已知，CA=(2?3,?4?(?4),?1?1)=(?1,0,?2)CB=(?1?3,5?(?4),1?1)=(?4,9,0)，∴CA【變式3-1】若a=2,3,2,b=A．?1 B．0 C．1 D．2【解題思路】直接利用數(shù)量積的坐標運算即可求得.【解答過程】因為a=2,3,2,b【變式3-2】已知棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1的上底面A．-1 B．0 C．1 D．2【解題思路】建立空間直角坐標系，利用向量法計算出AO【解答過程】建立如圖所示空間直角坐標系，A1,0,0AO1故選：D.【變式3-3】已知正六棱柱ABCDEF?A1B1C1DA．(?12,C．(?12,1)【解題思路】建立空間直角坐標系，設P(x,y,z)，由正六邊形的性質可知?1【解答過程】建立如圖所示的空間直角坐標系，且AB=BC=CD=DE=EF=AF=1，由正六邊形的性質可得，A(0,0,0),B(1,0,0),F(?12,32所以AB=(1,0,0)，AP=(x,y,z)，所以AB?AP【題型4根據(jù)空間向量的坐標運算求參數(shù)】【例4】a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(3，2，λ)，若c=2a+b，則實數(shù)A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)乘運算和向量坐標的相等即可求解.【解答過程】因為c=2a+b，所以c=(3，2，故選：C.【變式4-1】已知a=?3,2,5，b=1,x,?1，且A．6 B．5 C．4 D．3【解題思路】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標表示得到方程，解得即可.【解答過程】解：因為a=?3,2,5，b=1,x,?1，且故選：B.【變式4-2】若向量a=(1,?1,λ),b=(1,?2,1),c=(1,1,1)，滿足條件(A．?1 B．?2 C．1 D．2【解題思路】首先通過向量的減法的坐標運算可得(c【解答過程】根據(jù)向量的運算可得：(c所以(c?a)?【變式4-3】已知點A1,?1,2，B2,?1,1，C3,3,2，又點Px,7,?2在平面ABC內(nèi)，則A．11 B．9 C．1 D．?4【解題思路】根據(jù)向量的坐標表示求出向量AP、【解答過程】由題意，得A(1，?1，2)，B(2，?1，1)，C(3，3，2)，P(x，7，?2)，則AP=(x?1，8，?4)，因為P在平面ABC內(nèi)，并設未知數(shù)a，b，則AP=a(x?1，8，?4)=a(1，0，?1)+b(2，4，0)，即x?1=a+2b8=0+4b?4=?a+0，解得x=9【知識點3用空間向量的坐標運算解決相關的幾何問題】1．空間向量的平行、垂直及模、夾角設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有當b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).2．空間兩點間的距離公式設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).3．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:(1)平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長度)都可以轉化為向量的模，用空間向量的坐標運算可以求得．【題型5空間向量模長的坐標表示】【例5】如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG=14CD，H為C1G【解題思路】利用空間向量法求向量的模長得到結果.【解答過程】如圖，建立空間直角坐標系D－xyz，D為坐標原點，則有D0,0,0E0,0,12，F(xiàn)12,12,0，C0,1,0∴FH【變式5-1】如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4

(1)求線段FG的長度；(2)求CG?【解題思路】（1）以點A為坐標原點建立空間直角坐標系，求出FG即可；（2）根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標表示即可得解.【解答過程】（1）如圖，以點A為坐標原點建立空間直角坐標系，則F1,4,0,G0,2,4，故FG即線段FG的長度為21；（2）C2,0,2,E2,2,0，則CG【變式5-2】如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA(1)求M,N的距離；(2)求cosB【解題思路】（1）以點C作為坐標原點，CA,CB,CC1所在直線分別為（2）利用向量夾角運算公式計算cosB【解答過程】（1）如圖，以C為原點，分別以CA,CB,CC1為x,y,z軸，建立空間直角坐標系C?xyz，依題意得B0,1,0，N1,0,1，B10,1,2∴MN=12+?（2）依題意得A11,0,2，B0,1,0，C∴BA1=1,?1,2，CB1=∴cosB【變式5-3】已知空間三點，A0,2,3，B?(1)求以AB,AC為邊的平行四邊形的面積；(2)若AD=7，且∠DAB=∠DAC=60°，點P【解題思路】（1）寫出AB,AC的坐標，求出模長和夾角，用平行四邊形的面積公式即可求解；（2）將DP分解到【解答過程】（1）∵∴AB=2cosAB,AC=AB∴S（2）∵點P是BC的中點，∴AP=1∴DP2==35【題型6空間向量平行的坐標表示】【例6】已知空間三點A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設a=AB,b=【解題思路】求出a,【解答過程】三點A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，則a=ka+b則有k?14=k1=2?6【變式6-1】已知A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5)，且ABCD是平行四邊形，求頂點D的坐標．【解題思路】由平行四邊形的性質可得AD→【解答過程】設D(x,y,z)，因為ABCD是平行四邊形，所以AD→即(x?3,y?4,z)=(?2,?2,0)，解得x=1,y=2,z=0，故頂點D的坐標為(1,2,0).【變式6-2】已知a=1,4,?2，(1)若c=12(2)若ka+b【解題思路】(1)利用空間向量夾角公式的坐標運算直接求解；(2)根據(jù)兩向量的共線定理，利用坐標運算求解.【解答過程】（1）由已知可得c=12∴cos<（2）ka+b∵ka+b∥a∴k?2=7m，4k+2=?2m，?2k+4=?14m，聯(lián)立解得k=?1【變式6-3】正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點，P、Q分別為線段B1D1，BD上的點，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，BD【解題思路】建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，求出A,E,B,B1,D1的坐標，設點P的坐標為(a，a，1)和Q的坐標為(b【解答過程】以D為原點，DA，DC，DD1的方向分別為x軸，y軸，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則A(1，0，0)，E(0,0,12)B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，由題意，可設點P的坐標為(a，a，1)，因為3B1P＝PD1，所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－所以點P的坐標為(34,34,1).由題意可設點Q的坐標為(b，b所以PQ?AE＝0，所以(b?34,b?34所以點Q的坐標為(14,14,0)，因為BD=λ【題型7空間向量垂直的坐標表示】【例7】已知空間三點A(?2,0,2),B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設a=AB,b=AC.若m(a【解題思路】根據(jù)空間向量垂直的坐標表示可求出結果.【解答過程】a=AB=(1,1,0)a+b=(0,1,2)，am(a+b所以(2n,m+n,2m?2n)?(3,2,?2)=0，所以6n+2(m+n)?2(2m?2n)=0，即m=6n(m≠0).【變式7-1】已知a=3,2,?1，(1)求a?(2)當a?b⊥【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的運算，先求出a?b，（2）根據(jù)空間向量的運算，先求出a?b，a+k【解答過程】（1）因為a=3,2,?1，所以a?b=(1,1,?3)所以a（2）因為a=3,2,?1，所以a+kb=(3,2,?1)+k(2,1,2)=(3+2k,2+k,?1+2k)因為a?b⊥所以3+2k+2+k?3(2k?1)=0，解得k=8【變式7-2】已知空間中三點A2,0,?2，B1,?1,3，C3,0,1，設a(1)若c=3，且c∥BC(2)已知向量a+kb與b【解題思路】（1）由c∥BC可得存在非零實數(shù)m，使得c=（2）根據(jù)向量垂直的條件即可解答.【解答過程】（1）∵A2,0,?2，B1,?1,3，C3,0,1又c=3，且c∥BC，∴存在非零實數(shù)m∴c=(2m)2+(（2）a=AB=?1,?1,5，∵向量a+kb與b互相垂直，∴a+k【變式7-3】已知a=1,?4,5，b=?2,3,2，點(1)求2a(2)在線段AB上，是否存在一點E，使得OE⊥b？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．（【解題思路】（1）利用空間向量的線性運算及模的運算公式即可得解；（2）利用空間向量共線定理得到OE關于λ的關系式，再由空間向量垂直的坐標表示求得λ，從而得到點E的坐標.【解答過程】（1）因為a=1,?4,5，所以2a則2a（2）假設線段AB上存在一點E，使得OE⊥b，則設因為A?3,?2,3，B?2,?3,2，所以又因為OE?所以OE=λ因為OE⊥b，b=?2,3,2，所以?2λ?3所以OE=67所以線段AB上存在一點E，使得OE⊥b，且【題型8空間向量夾角余弦的坐標表示】【例8】如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG=14CD【解題思路】利用空間向量法求兩個向量所成角的余弦值.【解答過程】如圖，建立空間直角坐標系D－xyz，D為坐標原點，則有D0,0,0E0,0,12，F(xiàn)12,12,0，C0,1,0，C10,1,1，B所以cosEF【變式8-1