/2025年湖南省沅澧共同體高考數(shù)學聯(lián)考試卷（2月份）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則A． B． C． D．2．命題“，，”的否定是A．，， B．，， C．，， D．，，3．已知，則A． B． C． D．4．已知為拋物線的焦點，點在上，且，則點到軸的距離為A．6 B．5 C．4 D．5．空間中有兩個不同的平面，和兩條不同的直線，，則下列命題正確的命題是A．若，，，則 B．若，，，則 C．若，，，，則 D．若，且，則6．的展開式中的常數(shù)項為A．8 B．2 C． D．7．已知是等比數(shù)列的前項和，則，，依次成等差數(shù)列”是“，，依次成等差數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件8．設函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當，時，，則A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）已知函數(shù)，若將的圖象向右平移個單位后，再把所得曲線上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是A． B．的圖象關于點對稱 C．的圖像關于直線對稱 D．的圖像與的圖像在，內(nèi)有4個交點10．（6分）下列命題中，正確的命題是A．若，，，若，，則 B．設、為隨機事件，且（A）、（B），若（B），則與相互獨立 C．設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則 D．若，，，當時，取得最大值11．（6分）雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學家雅各布伯努利用來描述他發(fā)現(xiàn)的曲線．在平面直角坐標系中，把到定點，的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線．已知點，是時的雙紐線上一點，則A．關于原點成中心對稱 B．上滿足的點有2個 C．△面積的最大值為 D．當直線與有3個交點時，的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．復數(shù)的虛部為．13．已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為．14．高中數(shù)學必修一教材第87頁中提到：函數(shù)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．若函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形，則實數(shù)的值為，若，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）在△中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）延長到，使得，且，求△的面積．16．（15分）如圖1，在平面四邊形中，，，，．將沿折疊至處，使平面平面（如圖，為的中點，為的中點，是靠近點的四等分點．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．17．（15分）已知橢圓的上頂點與橢圓左、右頂點連線的斜率之積為．（1）求橢圓的離心率；（2）若直線與橢圓相交于、兩點，且的面積為為坐標原點），求橢圓的標準方程．18．（17分）某城市一室內(nèi)游泳館，為給顧客更好的體驗，推出了和兩個套餐服務，顧客可自由選擇和兩個套餐之一；該游泳館在平臺上推出了優(yōu)惠券活動，下表是平臺統(tǒng)計某周內(nèi)周一至周五銷售優(yōu)惠券情況．星期12345銷售量（張218224230232236經(jīng)計算可得：，，．（1）已知關于的經(jīng)驗回歸方程為，求關于的經(jīng)驗回歸方程；（2）若購買優(yōu)惠券的顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，并且套餐包含兩張優(yōu)惠券，套餐包含一張優(yōu)惠券，記平臺累計銷售優(yōu)惠券為張的概率為．①求、及；②求及的最值．參考公式：，．19．（17分）已知函數(shù)，，．（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）設函數(shù)，且，是的兩個零點．求的取值范圍；證明：．

2025年湖南省沅澧共同體高考數(shù)學聯(lián)考試卷（2月份）參考答案與試題解析題號12345678答案BADCBCBB一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則A． B． C． D．解：集合，，則．故選：．2．命題“，，”的否定是A．，， B．，， C．，， D．，，解：命題“，，”的否定是“，，”．故選：．3．已知，則A． B． C． D．解：因為，所以，則．故選：．4．已知為拋物線的焦點，點在上，且，則點到軸的距離為A．6 B．5 C．4 D．解：由為拋物線的焦點，點在上，且，可得點到的準線的距離為6，所以點到軸的距離為．故選：．5．空間中有兩個不同的平面，和兩條不同的直線，，則下列命題正確的命題是A．若，，，則 B．若，，，則 C．若，，，，則 D．若，且，則解：若，，，則與可以相交，也可以平行，不一定垂直，所以選項錯誤；若，，，則，所以選項正確；若，，，，則可能有，也可能，相交，所以選項錯誤；若，且，則或，所以選項錯誤．故選：．6．的展開式中的常數(shù)項為A．8 B．2 C． D．解：二項式的展開式的通項公式為：，，1，2，3，4，5，因為，所以展開式的常數(shù)項為：．故選：．7．已知是等比數(shù)列的前項和，則，，依次成等差數(shù)列”是“，，依次成等差數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件解：是等比數(shù)列的前項和，若，，依次成等差數(shù)列，則，即，因，可得，解得或．當時，，，，不滿足，故充分性不成立；若，，依次成等差數(shù)列，可得，顯然，故有，化簡得：，解得或，當時，，即，，依次成等差數(shù)列；當時，，而，故得，即，，依次成等差數(shù)列，故必要性成立．故選：．8．設函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當，時，，則A． B． C． D．解：因為函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，，（1），所以，所以，所以，所以，所以的周期為4，又當，時，，（1），所以（1），所以，所以當，時，，由，可得所以．故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）已知函數(shù)，若將的圖象向右平移個單位后，再把所得曲線上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是A． B．的圖象關于點對稱 C．的圖像關于直線對稱 D．的圖像與的圖像在，內(nèi)有4個交點解：將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，再把所得曲線上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)，錯誤；因為，即的圖象關于點對稱，正確；因為，函數(shù)的圖像不關于直線對稱，錯誤；令，則，所以或，，解得或，，因為，，所以，，，共4個，正確．故選：．10．（6分）下列命題中，正確的命題是A．若，，，若，，則 B．設、為隨機事件，且（A）、（B），若（B），則與相互獨立 C．設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則 D．若，，，當時，取得最大值解：對于選項，由題意可知，所以，故正確；對于選項，因為（B），所以（B），即（A）（B），所以與相互獨立，故正確；對于選項，因，則，故正確；對于選項，由題意可知，，則當時，取得最大值，故錯誤．故選：．11．（6分）雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學家雅各布伯努利用來描述他發(fā)現(xiàn)的曲線．在平面直角坐標系中，把到定點，的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線．已知點，是時的雙紐線上一點，則A．關于原點成中心對稱 B．上滿足的點有2個 C．△面積的最大值為 D．當直線與有3個交點時，的取值范圍是解：對于，設動點，由題可得的軌跡方程，把關于原點對稱的點代入軌跡方程顯然成立，故正確；對于，時的雙紐線的方程為，若，則，在的中垂線軸上，故此時，代入得，即，所以只有一個點，故錯誤；對于，因為，，是上的一點，故，當，即時等號成立，下面說明垂直時可取到，，，則，代入，得，解得，故正確；對于，直線與有三個交點時，聯(lián)立與，得，當時，適合上述方程，當時，，即，則，則，所以直線與有3個交點時，的取值范圍是，故正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．復數(shù)的虛部為．解：，所以復數(shù)的虛部為．故答案為：．13．已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為．解：，，因為兩條漸近線的夾角為，所以，漸近線的傾斜角為，即，，．故答案為：．14．高中數(shù)學必修一教材第87頁中提到：函數(shù)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．若函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形，則實數(shù)的值為1，若，則實數(shù)的取值范圍是．解：由函數(shù)的圖象關于點成中心對稱，得為奇函數(shù)，則，則，所以，所以，那么，又，所以．故，，因為在，上都是遞增函數(shù)，所以在，上是遞增函數(shù)，又因為是奇函數(shù)，且是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，要使，，只需，解得或．故答案為：1；．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）在△中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）延長到，使得，且，求△的面積．解：（1）因為，由正弦定理得，所以設，，則，，由余弦定理得，又，所以．（2），解得，結合，則，由（1）知，則，則，因為由（1）知，則，則．16．（15分）如圖1，在平面四邊形中，，，，．將沿折疊至處，使平面平面（如圖，為的中點，為的中點，是靠近點的四等分點．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【解答】（1）證明：由題意，，，．所以是等邊三角形，所以，從而，即，又因為為的中點，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：，，，．可得，是等邊三角形，所以，為的中點，所以，作，可得，為二面角的平面角，因為平面平面，所以，以為坐標原點，，，為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，2，，，0，，，0，，所以，1，，，，，，，，設平面的一個法向量為，，，則，令，則，，所以平面的一個法向量為，，，所以，．所以直線與平面所成角的正弦值為．17．（15分）已知橢圓的上頂點與橢圓左、右頂點連線的斜率之積為．（1）求橢圓的離心率；（2）若直線與橢圓相交于、兩點，且的面積為為坐標原點），求橢圓的標準方程．解：（1）因為橢圓上頂點的坐標為，左、右頂點的坐標分別為、，所以，即，又，所以，則橢圓的離心率；（2）不妨設，、，，聯(lián)立，消去并整理得，此時△，解得，由韋達定理得，，所以，又原點到直線的距離，所以的面積，解得，故橢圓的方程為．18．（17分）某城市一室內(nèi)游泳館，為給顧客更好的體驗，推出了和兩個套餐服務，顧客可自由選擇和兩個套餐之一；該游泳館在平臺上推出了優(yōu)惠券活動，下表是平臺統(tǒng)計某周內(nèi)周一至周五銷售優(yōu)惠券情況．星期12345銷售量（張218224230232236經(jīng)計算可得：，，．（1）已知關于的經(jīng)驗回歸方程為，求關于的經(jīng)驗回歸方程；（2）若購買優(yōu)惠券的顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，并且套餐包含兩張優(yōu)惠券，套餐包含一張優(yōu)惠券，記平臺累計銷售優(yōu)惠券為張的概率為．①求、及；②求及的最值．參考公式：，．解：（1）由題意，，又因為，，，則，，所以關于的經(jīng)驗回歸方程為；（2）①由題意，可知，，，②當時，，即，又，所以當時，數(shù)列為各項都為1的常數(shù)列，即，所以，又，所以數(shù)列為首項為公比為的等比數(shù)列，所以，即，當為偶數(shù)時，，且隨的增大而減小，因此的最大值為，當為奇數(shù)時，，且隨的增大而增大，因此的最小值為，綜上所述，的最大值為，最小值為．19．（17分）已知函數(shù)，，．（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）設函數(shù)，且，是的兩個零點．求的取值范圍；證明：．解：（1）的定義域為，導函數(shù)，易知導函數(shù)在上單調(diào)遞增，且（1），當時，導函數(shù)，當時，導函數(shù)，因此當時，該函數(shù)取得極小值，也為最小值（1），因此，所以，因此，．（2）（?。└鶕?jù)函數(shù)，得，那么函數(shù)在上有兩個零點，等價于方程在上有兩個根，令函數(shù)，且，那么的圖象與直線有兩個交點．而導函數(shù)，當時，，，因此導函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，，因此導函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．又（1），當時，，當時，，函數(shù)的大致圖象如圖：要使函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，需滿足，所以的取值范圍為．（ⅱ）證明：由（?。┲@然．因為，所以，欲證成立，只需證，因為，當且僅當時等號成立．又，所以成立．——————————————————————————————————————————《初、高中數(shù)學教研微信系列群》簡介：目前有80個教研群（2個管理群、20個高中總群，51個分省群，4個教材主題研討群、3個初中群），共約20000多優(yōu)秀、特、高級教師，省、市、區(qū)縣教研員、教輔公司數(shù)學編輯、報刊雜志初中、高中數(shù)學編輯等匯聚而成，是一個圍繞高中數(shù)學教學研究展開教研活動的微信群.宗旨：腳踏實地、不口號、不花哨、接