/2025年山東省名校高考數(shù)學(xué)校際聯(lián)考試卷（4月份）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1．已知集合，，則A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則的虛部為A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則A．72 B．108 C．120 D．1444．已知，為單位向量，且，則A． B．2 C． D．45．已知，，則A． B． C． D．26．已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為A．9 B．8 C． D．67．若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．8．已知軸截面是正三角形的圓錐，其內(nèi)接圓柱的下底面在圓錐底面內(nèi)，上底面圓在圓錐的側(cè)面上，若圓柱與圓錐的側(cè)面積之比為，則此圓柱與圓錐的體積之比為A． B．或 C．或 D．或二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（6分）下列說法正確的是A．兩組樣本數(shù)據(jù)，，，和，，，的平均數(shù)分別為，，若已知，2，3，，則 B．已知變量，的對(duì)樣本數(shù)據(jù)，，，，，，，，變量，的線性回歸方程為，若，，則 C．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則 D．某學(xué)生8次考試的數(shù)學(xué)成績分別為：101，108，109，120，132，135，141，141，則這8次數(shù)學(xué)成績的分位數(shù)為135（多選）10．（6分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則A．△的周長為8 B．若直線經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值是1 C．若線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為 D．若點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（多選）11．（6分）已知函數(shù)，則A．函數(shù)的值域?yàn)?B．函數(shù)在處的切線方程為 C．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．13．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)的直線與該拋物線交于、兩點(diǎn)，若，△的面積為，則實(shí)數(shù)的值為．14．已知直線與曲線相切，則．四、解答題：本小題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△中，若（A），，且△的面積為，求．16．如圖所示，在四面體中，平面，是的中點(diǎn)，，分別在線段，上，且，．（1）求證：平面；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．17．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．18．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦距為，且點(diǎn)到其漸近線的距離為1．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若點(diǎn)，是上第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)，作直線不與漸近線平行），若與只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn)（與點(diǎn)不重合）．證明：．若點(diǎn)在直線上，且，那么點(diǎn)是否在定直線上？若在定直線上，求出該直線方程；若不在定直線上，請(qǐng)說明理由．19．“馬爾科夫鏈”是一種隨機(jī)過程，它具有馬爾科夫性質(zhì)，也稱為“無記憶性”，即一個(gè)系統(tǒng)在某時(shí)刻的狀態(tài)僅與前一時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)．為了讓學(xué)生體驗(yàn)馬爾科夫性質(zhì)，數(shù)學(xué)老師在課堂上指導(dǎo)學(xué)生做了一個(gè)游戲．他給小聰和小慧各一個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱子中都有個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球除了顏色不同之外，其他的物質(zhì)特征完全一樣．規(guī)定“兩人同時(shí)從各自的箱子中取出一個(gè)球放入對(duì)方的箱子中”為一次操作，假設(shè)經(jīng)過次操作之后小聰箱子里的白球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，且．（1）求的值；（2）隨機(jī)變量的分布列和期望；（3）求．

2025年山東省名校高考數(shù)學(xué)校際聯(lián)考試卷（4月份）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案BADCABDC二．多選題（共3小題）題號(hào)91011答案ABBCDACD一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1．已知集合，，則A． B． C． D．解：由，解得，故集合，由，得，解得，故集合，所以．故選：．2．已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則的虛部為A． B． C． D．解：由題意可知，，因此，故的虛部為．故選：．3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則A．72 B．108 C．120 D．144解：等差數(shù)列中，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，解得，由等差數(shù)列的求和公式可得，．故選：．4．已知，為單位向量，且，則A． B．2 C． D．4解：已知，為單位向量，且，則，即，所以，因此，即．故選：．5．已知，，則A． B． C． D．2解：已知，得，等式兩邊同時(shí)除以，得，即，又，所以，所以．故選：．6．已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為A．9 B．8 C． D．6解：隨機(jī)變量，則正態(tài)分布的曲線的對(duì)稱軸為，，，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故最小值為8．故選：．7．若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．解：當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．又，（4），，所以在和上各有1個(gè)零點(diǎn)；又因?yàn)橛?個(gè)根，所以當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，由題意可得，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．8．已知軸截面是正三角形的圓錐，其內(nèi)接圓柱的下底面在圓錐底面內(nèi)，上底面圓在圓錐的側(cè)面上，若圓柱與圓錐的側(cè)面積之比為，則此圓柱與圓錐的體積之比為A． B．或 C．或 D．或解：如圖，設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，圓錐底面半徑為，由圓錐的軸截面是正三角形，得圓錐的高為，由△△，得，解得，由圓柱與圓錐的側(cè)面積之比為，得，即，解得，或．又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．圓柱與圓錐的體積之比為或．故選：．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（6分）下列說法正確的是A．兩組樣本數(shù)據(jù)，，，和，，，的平均數(shù)分別為，，若已知，2，3，，則 B．已知變量，的對(duì)樣本數(shù)據(jù)，，，，，，，，變量，的線性回歸方程為，若，，則 C．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則 D．某學(xué)生8次考試的數(shù)學(xué)成績分別為：101，108，109，120，132，135，141，141，則這8次數(shù)學(xué)成績的分位數(shù)為135解：對(duì)于，因?yàn)椋?，3，，，，所以，即，故正確；對(duì)于，因?yàn)榫€性回歸方程過點(diǎn)，所以，解得，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，所以，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由，所以這8次數(shù)學(xué)成績的分位數(shù)為，故錯(cuò)誤．故選：．（多選）10．（6分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則A．△的周長為8 B．若直線經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值是1 C．若線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為 D．若點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為解：因?yàn)闄E圓中，，，，作出示意圖如下：對(duì)于，若直線經(jīng)過點(diǎn)，如圖一，則△的周長為，若直線不經(jīng)過點(diǎn)，如圖二，則△的周長為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，也過左焦點(diǎn)的橢圓焦點(diǎn)弦中，通徑最短為，故正確；對(duì)于，顯然直線的斜率存在，所以設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立方程，得，則，解得，所以直線的方程為，即，故正確；對(duì)于，設(shè)，，圓心，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值為，此時(shí)取得最大值為，故正確．故選：．（多選）11．（6分）已知函數(shù)，則A．函數(shù)的值域?yàn)?B．函數(shù)在處的切線方程為 C．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．解：，，，，則，即的值域?yàn)?，故正確；由，得，，又，則在處的切線方程為，即，故錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)，由函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，可得，即，則，則解得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，故正確；由的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，知，設(shè)，則，又，可得，即，因此，故正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為720．解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以所求的系數(shù)為720．故答案為：720．13．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)的直線與該拋物線交于、兩點(diǎn)，若，△的面積為，則實(shí)數(shù)的值為3．解：易知拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與軸重合，則該直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)，、，，則△，由韋達(dá)定理可得，，所以，即，①因?yàn)?，即，②．由①②得，，所以．故答案為?．14．已知直線與曲線相切，則．解：由，得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，又點(diǎn)，既在直線上又在曲線上，所以，聯(lián)立和，消去，得，令，則恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又（1），所以，得到．故答案為：．四、解答題：本小題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△中，若（A），，且△的面積為，求．解：（1）由題意，，，則，所以，由，可得，，所以的增區(qū)間為；（2）由（A），得，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，因此，又，所以，即，所以，即?6．如圖所示，在四面體中，平面，是的中點(diǎn)，，分別在線段，上，且，．（1）求證：平面；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）證明：如圖，在線段上取一點(diǎn)，使，由已知，，且，在線段上取一點(diǎn)，使，由已知，，且，所以，且，因此四邊形為平行四邊形，所以，又平面，且平面，所以平面．（2）由，，知．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)與平行的直線為軸，分別以，所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．又，得，0，，，0，，，，3，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．解：（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由（1）可知，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，要證，即證，因?yàn)椋虼酥恍枳C，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；所以（1），所以當(dāng)時(shí)，，從而命題得證．18．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦距為，且點(diǎn)到其漸近線的距離為1．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若點(diǎn)，是上第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)，作直線不與漸近線平行），若與只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn)（與點(diǎn)不重合）．證明：．若點(diǎn)在直線上，且，那么點(diǎn)是否在定直線上？若在定直線上，求出該直線方程；若不在定直線上，請(qǐng)說明理由．解：（1）根據(jù)題目；已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦距為，且點(diǎn)到其漸近線的距離為1．可知，可得，雙曲線的漸近線方程為，即，點(diǎn)到其漸近線的距離為，所以，，因此，雙曲線的方程為．（2）證明：因?yàn)?，是上第一象限的?dòng)點(diǎn)，則，可得且，易知點(diǎn)、，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，，先證明出雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立可得，整理可得，解得，所以，雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，且，所以，，因此，；如下圖所示：直線的斜率為，因?yàn)?，則直線的斜率為，所以，直線的方程為，聯(lián)立直線和直線的方程，可得，解得，點(diǎn)在定直線上．19．“馬爾科夫鏈”是一種隨機(jī)過程，它具有馬爾科夫性質(zhì)，也稱為“無記憶性”，即一個(gè)系統(tǒng)在某時(shí)刻的狀態(tài)僅與前一時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)．為了讓學(xué)生體驗(yàn)馬爾科夫性質(zhì)，數(shù)學(xué)老師在課堂上指導(dǎo)學(xué)生做了一個(gè)游戲．他給小聰和小慧各一個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱子中都有個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球除了顏色不同之外，其他的物質(zhì)特征完全一樣．規(guī)定“兩人同時(shí)從各自的箱子中取出一個(gè)球放入對(duì)方的箱子中”為一次操作，假設(shè)經(jīng)過次操作之后小聰箱子里的白球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，且．（1）求的值；（2）隨機(jī)變量的分布列和期望；（3）求．解：（1）由題意可得，解得．（2）由已知可得隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，則，，已知，所以，，，所以隨機(jī)變量的分布列如下表所示：012期望．（3），又，所以，所以，因?yàn)?，所以，．——————————————————————————————————————————《初、高中?shù)學(xué)教研微信系列群》簡介：目前有80個(gè)教研群（2個(gè)管理群、20個(gè)高中總?cè)海?1個(gè)分省群，4個(gè)教材主題研討群、3個(gè)初中群），共約20000多優(yōu)秀、特、高級(jí)教師，省、市、區(qū)縣教研員、教輔公司數(shù)學(xué)編輯、報(bào)刊雜志初中、高中數(shù)學(xué)編輯等匯聚而成，是一個(gè)圍繞高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究展開教研活動(dòng)的微信群.宗旨：腳踏實(shí)地、不口號(hào)、不花哨、接地氣的初、高中數(shù)學(xué)教研