線性空間考試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.在線性空間中，零向量是（）A.唯一的B.不唯一的C.可能有多個D.不確定2.線性空間中向量的加法滿足（）A.交換律B.結(jié)合律C.交換律和結(jié)合律D.都不滿足3.設V是線性空間，α∈V，則0α=（）A.αB.0C.1D.不確定4.線性空間中線性無關(guān)向量組的極大線性無關(guān)組是（）A.它本身B.空集C.任意向量組D.不確定5.若線性空間V中向量組α1,α2,α3線性相關(guān)，則（）A.必有一個向量可由其余向量線性表示B.任意一個向量都可由其余向量線性表示C.沒有向量可由其余向量線性表示D.不確定6.線性空間V的維數(shù)是指（）A.向量的個數(shù)B.極大線性無關(guān)組中向量的個數(shù)C.任意向量組中向量的個數(shù)D.不確定7.設A是線性空間V到W的線性映射，則A(0)=（）A.0B.任意向量C.不確定D.18.線性空間中向量的數(shù)乘滿足（）A.分配律B.結(jié)合律C.分配律和結(jié)合律D.都不滿足9.若線性空間V中兩個向量組等價，則它們的秩（）A.相等B.不相等C.可能相等D.不確定10.線性空間V中一個向量組線性無關(guān)的充要條件是（）A.其中任意一個向量都不能由其余向量線性表示B.其中有一個向量不能由其余向量線性表示C.其中有兩個向量不能由其余向量線性表示D.不確定答案：1.A2.C3.B4.A5.A6.B7.A8.C9.A10.A多項選擇題（每題2分，共10題）1.線性空間中的向量具有（）A.加法運算B.數(shù)乘運算C.減法運算D.乘法運算2.下列關(guān)于線性空間的說法正確的是（）A.非空集合B.定義了加法和數(shù)乘運算C.滿足八條運算律D.元素都是數(shù)3.線性空間中向量組α1,α2線性相關(guān)的充要條件是（）A.存在不全為零的數(shù)k1,k2，使得k1α1+k2α2=0B.α1=0或α2=0C.α1可由α2線性表示D.α2可由α1線性表示4.線性空間的基具有（）A.線性無關(guān)B.能線性表示空間中任意向量C.向量個數(shù)等于維數(shù)D.不唯一5.設V是線性空間，α,β∈V，則(α+β)=（）A.α+βB.β+αC.-α-βD.-β-α6.線性空間中向量組的秩與極大線性無關(guān)組的關(guān)系是（）A.秩等于極大線性無關(guān)組中向量的個數(shù)B.極大線性無關(guān)組不唯一但秩唯一C.秩為0時向量組線性無關(guān)D.秩越大向量組越線性無關(guān)7.若A是線性空間V到W的線性映射，則A滿足（）A.A(α+β)=A(α)+A(β)B.A(kα)=kA(α)C.A(0)=0D.A(1)=18.線性空間中向量的數(shù)乘滿足（）A.k(α+β)=kα+kβB.(k+l)α=kα+lαC.k(lα)=(kl)αD.1α=α9.線性空間V中兩個子空間的交是（）A.子空間B.包含于VC.維數(shù)可能為0D.一定不為空集10.線性空間中向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，則（）A.α1,α2線性無關(guān)B.α1,α3線性無關(guān)C.α2,α3線性無關(guān)D.任意兩個向量線性無關(guān)答案：1.ABC2.ABC3.ACD4.ABCD5.AB6.ABC7.ABC8.ABCD9.ABC10.ABCD判斷題（每題2分，共10題）1.線性空間中零向量與任何向量相加都等于該向量。（）2.線性空間中向量的數(shù)乘運算結(jié)果一定在該線性空間內(nèi)。（）3.若向量組α1,α2線性相關(guān)，則α1可由α2唯一線性表示。（）4.線性空間的基唯一確定線性空間的維數(shù)。（）5.線性空間中向量的加法滿足消去律。（）6.線性映射保持線性運算。（）7.線性空間中兩個線性無關(guān)向量組一定等價。（）8.線性空間中向量的數(shù)乘滿足k0=0。（）9.線性空間的子空間一定也是線性空間。（）10.若線性空間V中向量組α1,α2,α3線性相關(guān)，則α3可由α1,α2線性表示。（）答案：1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.×簡答題（總4題，每題5分）1.簡述線性空間的定義。答案：非空集合，定義加法和數(shù)乘運算，滿足八條運算律。2.線性空間中向量組線性相關(guān)的判定方法。答案：存在不全為零數(shù)使線性組合為零向量，或有向量可由其余向量線性表示。3.什么是線性空間的維數(shù)？答案：極大線性無關(guān)組中向量個數(shù)。4.線性映射的性質(zhì)有哪些？答案：保持加法和數(shù)乘，A(α+β)=A(α)+A(β)，A(kα)=kA(α)。討論題（總4題，每題5分）1.討論線性空間中基與坐標的關(guān)系。答案：基能唯一確定向量坐標，向量可由基線性表示，系數(shù)即坐標。2.談談線性空間中向量組等價的意義。答案：向量組等價則秩相等