9.1.2余弦定理第1課時余弦定理【課前預(yù)習(xí)】知識點(diǎn)一平方平方和余弦的積b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosCb2+a診斷分析(1)√(2)√(3)√[解析](1)余弦定理反映了任意三角形邊角之間的關(guān)系,它適用于任何三角形.(2)余弦定理可以看作勾股定理的推廣.(3)a2=b2+c2-2bccosA=4+1-2×2×1×12=3,所以a=3知識點(diǎn)二(1)三角形的第三邊和其他兩個角(2)三角形的三個角診斷分析(1)√(2)×(3)×(4)×[解析](1)由余弦定理得cosA=b2+c2-(2)當(dāng)已知三個元素是三個內(nèi)角時,三角形不確定.(3)在△ABC中,已知兩邊及夾角時,由余弦定理可得第三邊,三角形是唯一的.(4)在△ABC中,已知a,b和A,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可求出c,此時c的正解的個數(shù)即為三角形的個數(shù),并不一定唯一確定.【課中探究】探究點(diǎn)一例1解:(1)方法一:cos15°=cos(45°-30°)=6+24,sin15°=sin(45°-30°)=6-24.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+8-22×(6+2)=8-43,∴c=6-2.又b>a,∴B>由正弦定理得sinA=acsinC=26-2×∵A為銳角,∴A=30°,∴B=180°-A-C=180°-30°-15°=135°.方法二:cos15°=cos(45°-30°)=6+24,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+8-22×(6+2)=8-43,∴c=6-2,∴cosA=b又0°<A<180°,∴A=30°,∴B=180°-A-C=180°-30°-15°=135°.(2)方法一:由余弦定理知b2=a2+c2-2accosB,∴2=3+c2-23×22c,即c2-6c+1=0,解得c=6+22或c=6-22.當(dāng)c=6+22時,∵0°<A<180°,∴A=60°,∴C=75°.當(dāng)c=6-22時,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc方法二:由正弦定理知sinA=asinBb=3∵a=3>2=b,∴A=60°或A=120°.當(dāng)A=60°時,C=75°,c=asinCsinA=當(dāng)A=120°時,C=15°,c=asinCsinA=變式3[解析]設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,結(jié)合余弦定理,可得19=a2+4-2×a×2×cos120°,即a2+2a-15=0,解得a=3或a=-5(舍去),所以BC=3.拓展解:由題意可知c<b<a或a<b<c,不妨設(shè)c<b<a,c=2x,則a=(3+1)x.由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac,即12=(3+1)2x2+4x∵0°<C<180°,∴C=45°,∴A=180°-60°-45°=75°,即△ABC的最大角為75°.探究點(diǎn)二探索解:可利用余弦定理的變形形式cosA=b2+c2-a22bc或cosB例2解:由余弦定理得cosB=c2+a2-b22ca=22+變式(1)120°[解析]由(a+c)(a-c)=b(b+c),得a2-c2=b2+bc,所以b2+c2-a2=-bc,由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=-1(2)解:由8>7>5,可知中間角為A,由余弦定理得cosA=b2+c2-因?yàn)?°<A<180°,所以A=60°,故最大角與最小角的和為180°-60°=120°.探究點(diǎn)三例3(1)等腰三角形(2)等邊三角形[解析](1)由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc,所以1-cosA=(a+b-c)(a-b+c)2bc.同理可得,1-cosB=(b+a-c)(b-a+c(2)因?yàn)?B=A+C,A+B+C=180°,所以B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos60°=a2+c2-ac,又b2=ac,所以a2+c2-ac=ac,所以(a-c)2=0,所以a=c,所以△ABC為等邊三角形.變式(1)C(2)D[解析](1)當(dāng)a是最大邊時,0<1+9-a22×1×3<1,且a≥3,所以3≤a<10;當(dāng)a不是最大邊時,0<1+a2-92×1×a<1,且a<3,所以22<a<3.綜上可知,a(2)由a-ccosB=b-ccosA及余弦定理得a-c×a2+c2-b22ac=b-c×b2+c2-a22bc,化簡得a2+b2-c2a=a2+b2-c2b.當(dāng)a2+b2-c2=0時,a2+b2=c2,則【課堂評價】1.B[解析]因?yàn)樵凇鰽BC中,AB=2,BC=3,B=60°,所以由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=22+32-2×2×3×cos60°=7,故AC=7.故選B.2.B[解析]∵b2=ac,c=2a,∴b2=2a2,∴cosB=a2+c2-3.C[解析]由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=-12,所以sinC=1-cos2C=32,設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R,由正弦定理得2R=csin4.D[解析]由b2-