9.1

正弦定理與余弦定理9.1.2

余弦定理第1課時

余弦定理探究點一

已知三角形兩邊及其一角解三角形探究點二

已知三邊解三角形探究點三

判斷三角形的形狀【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.能夠借助向量的運算探索三角形邊長與角度的關(guān)系，通過用向量推導(dǎo)余弦定理，提升邏輯推理素養(yǎng)；

2.掌握余弦定理及其變形形式，運用余弦定理及變形求解三角形問題，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).知識點一

余弦定理文字語言三角形任何一邊的______等于其他兩邊的________減去這兩邊與它們夾角__________的2倍符號語言變形形式平方平方和余弦的積

【診斷分析】判斷下列說法的正誤.（正確的打“√”,錯誤的打“×”）（1）余弦定理反映了任意三角形邊角之間的關(guān)系,因此它適用于任何三角形.(

)

√[解析]

余弦定理反映了任意三角形邊角之間的關(guān)系,它適用于任何三角形.（2）在三角形中,勾股定理是余弦定理的一個特例.(

)

√[解析]

余弦定理可以看作勾股定理的推廣.

√

知識點二

利用余弦定理解三角形利用余弦定理主要解答如下兩種解三角形的問題：（1）已知三角形的兩邊和一個角,求____________________________;（2）已知三角形的三邊,求________________.三角形的第三邊和其他兩個角三角形的三個角【診斷分析】判斷下列說法的正誤.（正確的打“√”,錯誤的打“×”）

√

×[解析]

當(dāng)已知三個元素是三個內(nèi)角時，三角形不確定.

×

（4）若在三角形中,已知兩邊及一邊的對角,則這樣的三角形唯一確定.(

)

×

探究點一

已知三角形兩邊及其一角解三角形

3

［素養(yǎng)小結(jié)］已知三角形兩邊及其一角解三角形有以下兩種情況:（1）已知兩邊和兩邊夾角，直接應(yīng)用余弦定理求出第三邊，然后根據(jù)邊角關(guān)系應(yīng)用正弦定理或余弦定理求解.（2）已知兩邊和一邊的對角，有兩種解法.解法一：利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程，運用解方程的方法求出第三邊的長，這樣可免去判斷取舍的麻煩；解法二：直接運用正弦定理，先求角再求邊，需討論.

探究點二

已知三邊解三角形［探索］

在前面我們所解的三角形問題中，已知條件中都至少含有一個角，若已知三角形的三邊，能否解此三角形？你能給出具體解決方法嗎？

［素養(yǎng)小結(jié)］已知三角形的三邊解三角形的方法：（1）先利用余弦定理的變形形式求出其中兩個角的余弦值,從而求出兩個角,再利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角.（2）利用余弦定理的變形形式求出三個角的余弦值,進(jìn)而求出三個角.探究點三

判斷三角形的形狀

等腰三角形

等邊三角形

√

A.等腰三角形

B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

√［素養(yǎng)小結(jié)］利用余弦定理判斷三角形形狀的兩種途徑①先化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關(guān)系；②先化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換，求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系．

√

√

√

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.等邊三角形

D.鈍角三角形

√

2

1.余弦定理的特點（1）等式左側(cè)為一條邊的平方,等式右側(cè)很像另兩邊差的完全平方式,但多了一個角的余弦,這個角正好是等式左側(cè)的邊所對的角;（2）余弦定理對任意三角形都成立;（3）余弦定理是勾股定理的推廣,勾股定理是余弦定理的特例.2.余弦定理的適用范圍余弦定理適用于所有的三角形.余弦定理及其變形形式把用“邊角邊”和“邊邊邊”判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進(jìn)行了刻畫,使其變成了可以計算的公式.在余弦定理中,每一個等式均含有四個量,利用方程的觀點,可以知三求一.3.應(yīng)用余弦定理求解三角形利用余弦定理及其變形,可以解決以下三類解三角形問題：①已知三邊,求三個角;②已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角；③已知兩邊及其中一邊的對角，求第三邊和剩余兩個角.

1.已知兩邊及其中一邊的對角解三角形，一般情況下，利用正弦定理求出另一邊所對的角，再求其他的邊或角，要注意進(jìn)行討論．如果采用余弦定理來解，只需解一個一元二次方程，即可求出邊來，比較兩種方法，采用余弦定理較簡單．

2.對所給條件進(jìn)行變形，主要有兩種途徑:（1）化邊為角;（2）化角