考

情

分

析

生活實踐類地球不同緯度重力加速度的比較

開普勒第三定律的應用，利用“重力加速度法”、“環(huán)繞法”計算天體的質(zhì)量和密

學習探究類度，衛(wèi)星運動參量的分析與計算，人造衛(wèi)星，宇宙速度，天體的“追及”問題，衛(wèi)

星的變軌和對接問題，雙星或多星模型

第23課時萬有引力定律及應用

目標要求1.理解開普勒行星運動定律和萬有引力定律，并會用來解決相關問題。2.掌握計算天體質(zhì)量和

密度的方法。

考點一開普勒定律

開普勒三大定律

定律內(nèi)容圖示或公式

開普勒第一定律(軌所有行星繞太陽運動的軌道都是，

道定律)太陽處在的一個焦點上

開普勒第二定律(面對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相

積定律)等的時間內(nèi)掃過的相等

開普勒第三定律(周所有行星軌道的半長軸的跟它的公轉＝k，k是一個與行星

3

?

2

期定律)周期的的比都相等無?關的常量

注意：開普勒行星運動定律也適用于其他天體系統(tǒng)，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動。此時k是一個與中心

天體有關的常量。

1.已知同一行星在軌道的兩個位置的速度：近日點速度大小為v1，遠日點速度大小為v2，近日點距太陽距

離為r1，遠日點距太陽距離為r2。

(1)v1與v2大小什么關系？

(2)試證明＝。

?1?2

?2?1

2.把行星繞太陽運行的軌道近似為圓軌道，試求k值。

1.圍繞同一天體運動的不同行星橢圓軌道不一樣，但都有一個共同的焦點。()

2.行星在橢圓軌道上運行速率是變化的，離太陽越遠，運行速率越大。()

3.不同軌道上的行星與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過相等的面積。()

例1(2024·安徽卷·5)2024年3月20日，我國探月工程四期鵲橋二號中繼星成功發(fā)射升空。當?shù)诌_

距離月球表面某高度時，鵲橋二號開始進行近月制動，并順利進入捕獲軌道運行，如圖所示，軌道的

半長軸約為51900km。后經(jīng)多次軌道調(diào)整，進入凍結軌道運行，軌道的半長軸約為9900km，周期約

為24h。則鵲橋二號在捕獲軌道運行時()

A.周期約為144h

B.近月點的速度大于遠月點的速度

C.近月點的速度小于在凍結軌道運行時近月點的速度

D.近月點的加速度大于在凍結軌道運行時近月點的加速度

考點二萬有引力定律

1.萬有引力定律

(1)內(nèi)容

自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與

成正比、與它們之間成反比。即F＝G，G為引力常量，通常取G＝6.67×10－11

?1?2

2

N·m2/kg2，由英國物理學家卡文迪什測定。?

(2)適用條件

①公式適用于間的相互作用，當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點。

②質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點，r是間的距離。

2.星體表面及上空的重力加速度(以地球為例)

(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考慮地球自轉)：有mg＝G，得g＝。

????

22

(2)地球上空的重力加速度大小g'??

地球上空距離地球中心r＝R+h處由mg'＝，得g'＝。

?????

22

(?+?)(?+?)

1.地球對人的萬有引力大于人對地球的萬有引力。()

2.地面上的物體所受地球的萬有引力方向一定指向地心。()

3.兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大。()

例2火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，半徑約為地球半徑的，則同一物體在火星表面與在地球表面受

11

到的引力的比值約為()102

A.0.2B.0.4C.2.0D.2.5

例3(2024·山東泰安市模擬)某探測器在距離月面的高度等于月球半徑處繞著月球做勻速圓周運動時，

其周期為T1；當探測器停在月球的南極時，測得重力加速度的大小為g0。已知月球自轉的周期為T2，

月球視為均勻球體，月球赤道處的重力加速度為()

A.22B.22

(8?2??1)?0(?2??1)?0

22

8?28?2

C.22D.g0

(?2??1)?0

2

?2

萬有引力與重力的關系

地球對物體的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉的向心力F向，如圖所

示。

(1)在赤道上：

2

G＝mg1+mωR。

??

2

?

(2)在兩極上：G＝mg0。

??

2

?

(3)在一般位置：萬有引力G等于重力mg與向心力F向的矢量和。

??

2

越靠近兩極，向心力越小，g?值越大。由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于

重力，即＝mg。

???

2

例4已知?質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)任一質(zhì)點的萬有引力為零，將地球看成半徑為R、質(zhì)量分布均

勻的球體，忽略地球的自轉，北斗導航系統(tǒng)中的一顆衛(wèi)星的軌道距離地面的高度為h，“蛟龍?zhí)枴毕?/p>

潛的深度為d，則該衛(wèi)星所在處的重力加速度與“蛟龍?zhí)枴彼谔幍闹亓铀俣鹊拇笮≈葹?)

A.B.()2

??????

?+??+?

C.3D.

?(???)(?+?)

22

(?+?)(???)?

萬有引力的“兩個推論”

推論1：在勻質(zhì)球殼空腔內(nèi)的任意位置處，質(zhì)點受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0。

推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M')對其

的萬有引力，即＝。

FG'

??

2

?

考點三天體質(zhì)量和密度的計算

1.利用天體表面重力加速度

已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。

由＝，得天體質(zhì)量＝。

(1)GmgM2

????

2

(2)天體密?度ρ＝＝＝。?

??3?

43

?4π??

2.利用運行天體3π?

已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T。

由＝，得＝。

(1)Gm2rM23

??4π4π?

222

若已知?天體的?半徑，則天??體的密度＝＝＝。

(2)Rρ3

??3π?

4323

?3π????

(3)若衛(wèi)星繞天體表面運行，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝，故只要測出衛(wèi)星環(huán)繞

3π

2

天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度。??

例5(2024·新課標卷·16)天文學家發(fā)現(xiàn)，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行，其中行星

GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質(zhì)量

約為太陽質(zhì)量的()

A.0.001倍B.0.1倍

C.10倍D.1000倍

針對訓練(2021·全國乙卷·18)科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續(xù)觀測，給出1994

年到2002年間S2的位置如圖所示?？茖W家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1000AU(太陽到地球的

距離為1AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學

獎。若認為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量

約為()

A.4×104MB.4×106M

C.4×108MD.4×1010M

例6(2024·黑吉遼·7)如圖(a)，將一彈簧振子豎直懸掛，以小球的平衡位置為坐標原點O，豎直向上

為正方向建立x軸。若將小球從彈簧原長處由靜止釋放，其在地球與某球狀天體表面做簡諧運動的圖

像如圖(b)所示(不考慮自轉影響)，設地球、該天體的平均密度分別為ρ1和ρ2，地球半徑是該天體半徑的

n倍。的值為()

?1

?2

A.2nB.C.D.

?21

2?2?

答案精析

考點一

橢圓橢圓面積三次方二次方

討論交流

1.(1)v1>v2

(2)證明：由開普勒第二定律可得

Δl1·r1＝Δl2·r2，

11

22

則有v1Δt·r1＝v2Δt·r2，

11

可得2＝。2

?1?2

21

由?＝?得：＝，即＝。

2.m2r3k

???4π?????

22222

判斷正?誤??4π4π

1.√2.×3.×

例1B[根據(jù)開普勒第三定律有＝，可知鵲橋二號在捕獲軌道運行周期T2＝T1≈288h，A錯誤；

223

?1?2?2

333

121

根據(jù)開普勒第二定律可知，近月點?的速度?大于遠月點的速度，B正確；?

從捕獲軌道到凍結軌道，鵲橋二號在近月點進行近月制動減速，在捕獲軌道運行時近月點的速度大于在凍

結軌道運行時近月點的速度，C錯誤；

鵲橋二號在兩軌道的近月點所受的萬有引力相同，根據(jù)牛頓第二定律可知，在捕獲軌道運行時近月點的加

速度等于在凍結軌道運行時近月點的加速度，D錯誤。]

考點二

1.(1)物體的質(zhì)量m1和m2的乘積距離r的二次方(2)①質(zhì)點②兩球心

判斷正誤

1.×2.√3.×

例2B[萬有引力定律表達式為F＝G，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值為

?1?2

2

火引火地?

＝2＝0.4，選項B正確。]

?地引?地?火

2

???

例設月球的半徑為，月球的質(zhì)量為，探測器的質(zhì)量為，由題意得，

3A[RMmG=m2×2R

??4π

22

(2?)?1

0，，綜合以上三式解得月球赤道處的重力加速度，故選。

G=mgG=m2R+mgg=22A]

????4π(8?2??1)?0

2222

22

例?4C[設地?球的?密度為ρ，在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有8?G＝mg，由于地球的

??

2

質(zhì)量M＝ρV＝ρ·πR3，聯(lián)立解得g＝πGρR，在深度為d的地球內(nèi)部，“蛟龍?zhí)枴笔艿?地球的萬有引力等于

44

33

半徑為(R－d)的球體表面的重力，“蛟龍?zhí)枴痹诤＠锼幬恢玫闹亓铀俣葹間1＝πGρ(R－d)，聯(lián)立可得

4

3

g1＝g，衛(wèi)星在高度h處受到的重力，即為該處受到的萬有引力，即mg2＝，解得加速度g2＝

????????

22

?(?+?)(?+?)

＝g，所以＝，故C正確。]

23

??2?

22

(?+?)?1(?+?)(???)

例5B[設紅矮星質(zhì)量為M1，行星質(zhì)量為m1，軌道半徑為r1，行星繞紅矮星運行周期為T1；太陽的質(zhì)

量為M2，地球質(zhì)量為m2，地球到太陽距離為r2，地球公轉周期為T2；根據(jù)萬有引力提供向心力有

＝11

Gm2r

?1?14π

22

?1?1

＝22

Gm2r

?2?24π

22

22

聯(lián)立?得＝?3·2

?1?1?2

221

由于軌道?半徑(?約)為(日?地)距離的0.07倍，周期約為0.06年，得≈0.1，故選B。]

?1

?2

針對訓練B[由題圖可知，S2繞黑洞的周期T＝16年，地球的公轉周期T0＝1年，S2繞黑洞做圓周運動

的半徑r與地球繞太陽做圓周運動的半徑R關系是r＝1000R

地球繞太陽做圓周運動所需的向心力由太陽對地球的萬有引力提供，由向心力公式可知

G＝mR＝mR

??2π2

22

??0?0

解得太陽的質(zhì)量為M＝

23

4π?

2

同理S2繞黑洞做圓周運?動?0所需的向心力由黑洞對它的萬