函數(shù)極值計(jì)算與應(yīng)用習(xí)題全集函數(shù)極值作為微積分學(xué)的核心概念之一，不僅是理論學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是解決實(shí)際優(yōu)化問題的關(guān)鍵工具。掌握極值的計(jì)算方法，并能靈活應(yīng)用于不同場景，是學(xué)好微積分乃至更廣泛應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。本文匯集了一系列具有代表性的函數(shù)極值習(xí)題，涵蓋基礎(chǔ)計(jì)算、參數(shù)討論及實(shí)際應(yīng)用等多個(gè)方面，旨在幫助讀者系統(tǒng)提升相關(guān)技能。習(xí)題編排由淺入深，注重方法的引導(dǎo)與思維的拓展，適合作為鞏固練習(xí)或備考參考。一、一元函數(shù)極值的計(jì)算（一）利用導(dǎo)數(shù)判定（基本類型）1.不含參數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)試求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\)的極值點(diǎn)與極值。（提示：先確定定義域，再通過一階導(dǎo)數(shù)找駐點(diǎn)，結(jié)合二階導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)符號(hào)變化判斷極值類型。）2.含參數(shù)的極值討論設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，其中\(zhòng)(a,b,c\)為常數(shù)。若函數(shù)在\(x=1\)處取得極大值\(7\)，在\(x=3\)處取得極小值，求\(a,b,c\)的值及該極小值。（提示：極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，可建立關(guān)于\(a,b\)的方程；再結(jié)合函數(shù)值確定\(c\)。）3.分式與根式函數(shù)求函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}\)的極值。（提示：注意定義域的限制，化簡函數(shù)表達(dá)式可能簡化計(jì)算，但需關(guān)注化簡前后定義域的變化對(duì)極值點(diǎn)的影響。）4.三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)結(jié)合求函數(shù)\(f(x)=e^x\cosx\)在區(qū)間\([0,\pi]\)上的極值。（提示：三角函數(shù)的周期性可能導(dǎo)致多個(gè)駐點(diǎn)，需結(jié)合區(qū)間范圍分析；指數(shù)函數(shù)恒正，不影響導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷。）（二）隱函數(shù)的極值5.已知函數(shù)\(y=y(x)\)由方程\(x^2+y^2-xy=3\)確定，試求該函數(shù)的極值。（提示：利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算\(y'\)，令\(y'=0\)得到駐點(diǎn)滿足的關(guān)系式，再代入原方程求解可能的極值點(diǎn)坐標(biāo)，最后通過二階導(dǎo)數(shù)或一階導(dǎo)數(shù)在附近的符號(hào)變化判斷。）（三）實(shí)際應(yīng)用題（一元）6.幾何優(yōu)化欲制作一個(gè)容積為\(V\)的圓柱形無蓋鐵桶，問桶的底面半徑與高取何值時(shí)，所用材料最省？（不計(jì)材料厚度及損耗）（提示：將表面積表示為底面半徑的函數(shù)，注意定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值。）7.運(yùn)動(dòng)學(xué)問題一物體沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移\(s(t)\)（單位：米）與時(shí)間\(t\)（單位：秒）的關(guān)系為\(s(t)=t^3-6t^2+9t\)，求該物體在\(t\geq0\)時(shí)的速度極值及對(duì)應(yīng)的時(shí)間。（提示：速度是位移的導(dǎo)數(shù)，速度的極值需對(duì)速度函數(shù)再求導(dǎo)，即加速度為零。）二、多元函數(shù)極值的計(jì)算（一）無條件極值8.二元多項(xiàng)式函數(shù)求函數(shù)\(f(x,y)=x^3+y^3-3x-3y\)的極值。（提示：先求一階偏導(dǎo)數(shù)，解方程組得駐點(diǎn)，再通過二階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的Hessian矩陣判定極值類型。）9.含指數(shù)項(xiàng)的二元函數(shù)求函數(shù)\(f(x,y)=e^{2x}(x+y^2+2y)\)的極值。（提示：指數(shù)函數(shù)的存在不影響駐點(diǎn)的求解，但需注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的準(zhǔn)確性。）（二）條件極值（拉格朗日乘數(shù)法）10.簡單約束條件求函數(shù)\(f(x,y)=x+2y\)在約束條件\(x^2+y^2=5\)下的極值。（提示：可嘗試化為一元函數(shù)或直接應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，注意約束條件所表示的幾何意義。）11.實(shí)際應(yīng)用：資源分配某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為\(x\)和\(y\)，利潤函數(shù)為\(\pi(x,y)=8x+10y-x^2-xy-y^2\)，若原材料限制為\(x+2y\leq11\)，且\(x,y\geq0\)，求最大利潤及對(duì)應(yīng)的產(chǎn)量。（提示：此為帶不等式約束的極值問題，需考慮邊界情況，可結(jié)合拉格朗日乘數(shù)法或幾何意義分析。）三、綜合應(yīng)用與拓展（一）隱函數(shù)與參數(shù)方程的極值12.設(shè)曲線由參數(shù)方程\(x=t^2-2t\)，\(y=t^3-3t\)給出，求曲線上縱坐標(biāo)\(y\)的極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)\(t\)及該點(diǎn)坐標(biāo)。（提示：將\(y\)視為\(x\)的函數(shù)，通過參數(shù)方程求導(dǎo)法則計(jì)算\(\frac{dy}{dx}\)，再令其為零。）（二）物理與經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用13.物理：光的折射最速路徑光在兩種介質(zhì)中傳播，速度分別為\(v_1\)和\(v_2\)，界面為平面。設(shè)光源位于介質(zhì)1中的點(diǎn)\(A(0,a)\)，接收器位于介質(zhì)2中的點(diǎn)\(B(b,-c)\)（\(a,b,c>0\)）。光從\(A\)傳播到\(B\)時(shí)會(huì)發(fā)生折射，設(shè)折射點(diǎn)為\(P(x,0)\)，試證明當(dāng)折射定律\(\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}\)成立時(shí)（其中\(zhòng)(\theta_1,\theta_2\)分別為入射角與折射角），傳播時(shí)間最短。（提示：先建立時(shí)間關(guān)于\(x\)的函數(shù)，再通過求導(dǎo)證明極值條件與折射定律一致。）14.經(jīng)濟(jì)：成本最小化某廠商生產(chǎn)某產(chǎn)品，其總成本\(C\)與產(chǎn)量\(q\)的關(guān)系為\(C(q)=2q^2+3q+18\)，產(chǎn)品售價(jià)\(p\)與產(chǎn)量\(q\)的關(guān)系為\(p=20-q\)（價(jià)格函數(shù)）。假設(shè)產(chǎn)品全部售出，試求：（1）利潤最大時(shí)的產(chǎn)量及最大利潤；（2）平均成本最低時(shí)的產(chǎn)量及最低平均成本。（提示：利潤=總收入-總成本，平均成本=總成本/產(chǎn)量，分別建立函數(shù)后求極值。）（三）含絕對(duì)值與分段函數(shù)的極值15.求函數(shù)\(f(x)=|x^2-4x+3|\)在區(qū)間\([0,4]\)上的極值與最值。（提示：絕對(duì)值函數(shù)需分段討論，注意分段點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性，極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)。）四、解題思路與部分習(xí)題參考解答要點(diǎn)（一）習(xí)題1參考解答要點(diǎn)函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\)的定義域?yàn)閈(\mathbb{R}\)。1.求導(dǎo)：\(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)\)。2.駐點(diǎn)：令\(f'(x)=0\)，得\(x=-1\)或\(x=3\)。3.二階導(dǎo)數(shù)判定：\(f''(x)=6x-6\)。當(dāng)\(x=-1\)時(shí)，\(f''(-1)=-12<0\)，故\(x=-1\)為極大值點(diǎn)，極大值\(f(-1)=10\)。當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(f''(3)=12>0\)，故\(x=3\)為極小值點(diǎn)，極小值\(f(3)=-22\)。（二）習(xí)題8參考解答要點(diǎn)函數(shù)\(f(x,y)=x^3+y^3-3x-3y\)。1.一階偏導(dǎo)數(shù)：\(f_x=3x^2-3\)，\(f_y=3y^2-3\)。2.駐點(diǎn)：解方程組\(\begin{cases}3x^2-3=0\\3y^2-3=0\end{cases}\)，得駐點(diǎn)\((1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)\)。3.二階偏導(dǎo)數(shù)：\(f_{xx}=6x\)，\(f_{xy}=0\)，\(f_{yy}=6y\)，Hessian矩陣行列式\(H=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2=36xy\)。在\((1,1)\)處，\(H=36>0\)且\(f_{xx}=6>0\)，為極小值點(diǎn)，極小值\(f(1,1)=-4\)。在\((-1,-1)\)處，\(H=36>0\)且\(f_{xx}=-6<0\)，為極大值點(diǎn)，極大值\(f(-1,-1)=4\)。其余兩點(diǎn)\(H<0\)，非極值點(diǎn)。（三）習(xí)題10參考解答要點(diǎn)（拉格朗日乘數(shù)法）目標(biāo)函數(shù)\(f(x,y)=x+2y\)，約束條件\(g(x,y)=x^2+y^2-5=0\)。1.構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：\(L(x,y,\lambda)=x+2y+\lambda(x^2+y^2-5)\)。2.求偏導(dǎo)并令為零：\(L_x=1+2\lambdax=0\)，\(L_y=2+2\lambday=0\)，\(L_\lambda=x^2+y^2-5=0\)。3.聯(lián)立求解：由前兩式得\(x=-\frac{1}{2\lambda}\)，\(y=-\frac{1}{\lambda}\)，代入約束條件解得\(\lambda=\pm\frac{1}{2}\)。當(dāng)\(\lambda=\frac{1}{2}\)時(shí)，\(x=-1\)，\(y=-2\)，\(f(-1,-2)=-5\)（極小值）。當(dāng)\(\lambda=-\frac{1}{2}\)時(shí)，\(x=1\)，\(y=2\)，\(f(1,2)=5\)（極大值）。五、總結(jié)與學(xué)習(xí)建議函數(shù)極值的求解過程中，“定義域優(yōu)先”是首要原則，忽視定義域可能導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解。對(duì)于一元函數(shù)，需熟練掌握導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及二階導(dǎo)數(shù)在判定極值類型中的作用；對(duì)于多元函數(shù)，Hessian矩陣的應(yīng)用是關(guān)鍵，而條件極值則需理解拉格朗日