7-1

動量定理質(zhì)點的動量——質(zhì)量與質(zhì)點速度的乘積，表征機械運動強弱的程度。質(zhì)點的動量為自由矢量，方向與質(zhì)點速度的方向一致，具瞬時性，其單位為kg·m/s

或N·s。一、動量與沖量質(zhì)點系的動量——質(zhì)點系中各質(zhì)點動量的矢量和，稱為質(zhì)點系的動量，又稱為質(zhì)點系動量的主矢。1.動量7-1動量定理m1m2mnzoxyrCCrimi質(zhì)點系質(zhì)量中心（質(zhì)心）質(zhì)心在直角坐標(biāo)軸上的投影式物理意義：表征質(zhì)點系的各質(zhì)點的質(zhì)量分布情況的一個幾何點。7-1動量定理計算質(zhì)點系動量的方法：（1）定義法（2）質(zhì)心法7-1動量定理m1m2mnzoxyrCCrimi例題1

橢圓規(guī)機構(gòu)中，OC＝AC＝CB＝l，滑塊A和B的質(zhì)量均為m，曲柄OC和連桿AB的質(zhì)量忽略不計，曲柄以等角速度

ω

繞O軸旋轉(zhuǎn)。圖示位置時角度為任意值，求此瞬時系統(tǒng)的總動量。解：第一種方法

先計算各個質(zhì)點的動量，再求其矢量和。

AB

=OωCD

ABxyABvCvBvA

7-1動量定理解：第二種方法

先確定系統(tǒng)的質(zhì)心，以及質(zhì)心的速度，然后計算系統(tǒng)的動量。質(zhì)點系的質(zhì)心在C處，速度矢量垂直于OC，vC=

l

系統(tǒng)的總動量方向沿vC

方向系統(tǒng)的總質(zhì)量mC=mA+mB=2m7-1動量定理OωCD

ABxyABvCvBvA

力在作用時間上的累積效應(yīng)——力的沖量（1）

常力（2）

變力沖量為矢量，其單位與動量單位相同為N·s。元沖量2.力的沖量7-1動量定理1.質(zhì)點的動量定理質(zhì)點動量的增量等于作用于質(zhì)點上的力的元沖量。在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點動量的變化等于作用于質(zhì)點上的力在同一時間內(nèi)的沖量。微分形式積分形式二、

動量定理及其應(yīng)用7-1動量定理2.質(zhì)點系的動量定理注意：內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量，但可以改變質(zhì)點的動量。微分形式積分形式7-1動量定理3.質(zhì)點系動量守恒定律若作用于質(zhì)點系的外力的主矢恒等于零，質(zhì)點系的動量保持不變。若作用于質(zhì)點系的外力的主矢在某一軸上的投影恒等于零，質(zhì)點系的動量在該軸上的投影保持不變。7-1動量定理例題2

圖示滑輪中兩重物A和B的重力分別為G

1和G2，如A物以加速度a下降，不計滑輪質(zhì)量，求軸承O

處約束力。解：1.以整體為研究對象2.受力分析，畫受力圖3.分析運動G1G2av解得7-1動量定理Gv030°Q例題3

已知炮彈重G=40

N，炮身重Q=8

kN，t=0.05

s，

v0=500

m/s,忽略地面摩擦，求炮身的后坐速度v和地面對炮身的法向平均約束力。解：取系統(tǒng)為研究對象FN

v由于水平方向受力為零解得得由質(zhì)點系的動量定理積分形式，得7-1動量定理質(zhì)點系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點系外力的矢量和。三、質(zhì)心運動定理及其應(yīng)用1.質(zhì)心運動定理7-1動量定理m1m2mnzoxyrCCrimi直角坐標(biāo)軸上的投影式自然軸上的投影式質(zhì)點系質(zhì)心的運動與一個質(zhì)點的運動規(guī)律一樣，這個質(zhì)點的質(zhì)量就是質(zhì)點系的質(zhì)量，這個質(zhì)點所受的力就是作用在質(zhì)點系上的外力。7-1動量定理2.質(zhì)心運動守恒定律vC

=常矢量，質(zhì)心作勻速直線運動；若開始靜止，則質(zhì)心的位置始終保持不變。vCx

=常數(shù)，質(zhì)心在x軸上作勻速運動，若開始時速度投影等于零，則質(zhì)心沿該軸的坐標(biāo)保持不變。7-1動量定理COO

Cα

mgFOxFOy例題4

已知均質(zhì)桿繞O軸轉(zhuǎn)動，桿長為2l，質(zhì)量為m，質(zhì)心為C。圖示位置角度為φ時角速度為ω，角加速度為α，求此瞬時轉(zhuǎn)軸O處約束力。解：取桿為研究對象由質(zhì)心運動定理得解得7-1動量定理例題5

電動機的外殼固定，外殼和定子的總質(zhì)量為m1

，其質(zhì)心C1

與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸O1重合；轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m2，由于制造誤差，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2與其轉(zhuǎn)軸不重合，偏心距O1O2=e。若轉(zhuǎn)子以等角速度

旋轉(zhuǎn)，初始時質(zhì)心O2在最低處，求轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過角度

時基礎(chǔ)支座所受水平和鉛錘方向約束力。解：取系統(tǒng)為研究對象O1O2

m1gm2gFxFy

xy7-1動量定理由質(zhì)心運動定理得解得7-1動量定理O1O2

m1gm2gFxFy

xy解法二：分析系統(tǒng)中各剛體的運動解得7-1動量定理O1O2

m1gm2gFxFy

x例題6

若例題5中電動機外殼不固定，各處摩擦不計，電動機初始靜止，求轉(zhuǎn)子以等角速度

旋轉(zhuǎn)時（1）外殼在水平方向的運動規(guī)律；（2）電動機跳起的條件。解：取系統(tǒng)為研究對象OyxFNas=常數(shù)=常數(shù)電動機初始靜止7-1動量定理O1O2

m1gm2g

x令電機在水平面上往復(fù)運動。由質(zhì)心運動定理解得當(dāng)時電動機將會離地跳起。7-1動量定理OyxFNasO1O2

m1gm2g

x7-2

動量矩定理1.質(zhì)點的動量矩MO(mv)hOA(x,y,z)BrmvyxzMO(mv)定位矢量瞬時矢量MO(mv)=r×mv方向按右手螺旋法則確定一、質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩7-2動量矩定理7-2動量矩定理2.質(zhì)點系的動量矩Oriviyxzm1mim2質(zhì)點系中所有質(zhì)點對于某定點O

的動量矩的矢量和，稱為質(zhì)點系對點O

的動量矩，以LO

表示。7-2動量矩定理3.剛體的動量矩平動剛體對固定點（軸）的動量矩等于剛體質(zhì)心的動量對該點（軸）的動量矩。（1）平動剛體對定點（軸）的動量矩7-2動量矩定理

（2）定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩rimiviyxz定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對該軸轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。7-2動量矩定理（3）平面運動剛體對定點（軸）的動量矩以質(zhì)心為原點建立一個平動參考系平面運動剛體對固定點（軸）的動量矩，等于隨質(zhì)心平移時對該點（軸）的動量矩加上相對于質(zhì)心的動量矩。miOyxzrivi7-2動量矩定理ri′rCy′x′z′C例題1均質(zhì)滑輪

A

在矩為

M

的力偶作用下可繞固定軸

O

轉(zhuǎn)動，繩繞在圓柱A

上，繩的另一端繞過圓輪B

并系在固定軸O上。已知滑輪A質(zhì)量m1、半徑R1，對軸O

轉(zhuǎn)動慣量J1；滑輪B質(zhì)量

m2、半徑R2，R1=2R2，對軸O?

轉(zhuǎn)動慣量J2；

物體C質(zhì)量m3，向上運動，速度v3。不計各處摩擦。求系統(tǒng)對O軸的動量矩。

解：系統(tǒng)對O

軸的動量矩（）v3OMAO?BC

1

2v2（）（）（）7-2動量矩定理

質(zhì)點對某定點

的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用力對同一點的力矩。MO(F)F二、動量矩定理及其應(yīng)用1.質(zhì)點的動量矩定理yxMO(mv)OA(x,y,z)Brmvz7-2動量矩定理同一題中，動量對軸之矩與力對軸之矩正負(fù)號規(guī)定要一致。注意:7-2動量矩定理★質(zhì)點的動量矩守恒定律

有心力作用下的運動軌跡是平面曲線?！镉行牧ψ饔孟碌倪\動問題=常矢量=常量=常矢量=常量rmvFMOh7-2動量矩定理2.質(zhì)點系的動量矩定理質(zhì)點系對某定點

的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力

對同一點的矩的矢量和。而所以7-2動量矩定理★質(zhì)點系動量矩定理，適合慣性坐標(biāo)系，故矩心O點是固定點?！飪?nèi)力不能使整個系統(tǒng)的動量矩發(fā)生變化。只有外力才使其發(fā)生變化，但內(nèi)力可使每一個質(zhì)點的動量矩發(fā)生變化。7-2動量矩定理★質(zhì)點系動量矩守恒定律如果外力系對于定點的主矩等于0，則質(zhì)點系對這一點的動量矩守恒。如果外力系對于定軸的矩等于0，則質(zhì)點系對這一軸的動量矩守恒。7-2動量矩定理解:

(1)取系統(tǒng)為研究對象例題2

均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為JO，圓輪在重物P帶動下繞固定軸O轉(zhuǎn)動，已知重物重量為W。求重物下落的加速度。OCWv

mgFOxFOy(4)用動量矩定理(2)受力分析(3)運動分析（）（）7-2動量矩定理zaallABCD

ozABCD

mgmg例題3圖示離心機構(gòu)，小球

C、D

以細(xì)繩相連，質(zhì)量皆為

m，其余構(gòu)件質(zhì)量不計，不計摩擦，系統(tǒng)繞鉛垂軸

z

自由轉(zhuǎn)動，初始時系統(tǒng)的角速度為

ω0，當(dāng)細(xì)繩

CD

拉斷后，求各桿與鉛垂線成

α

角時系統(tǒng)的角速度。解：取系統(tǒng)為研究對象解得7-2動量矩定理yxzvirimi

F1F2FnFiFN1FN2三、剛體的定軸轉(zhuǎn)動微分方程★

定軸轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體所有外力對該軸的矩的代數(shù)和。7-2動量矩定理

剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量——是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。轉(zhuǎn)動慣量的大小不僅與質(zhì)量有關(guān)，而且與質(zhì)量的分布情況有關(guān)，其單位在國際單位制中為kg·m2。四、剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量7-2動量矩定理1.

簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的計算（1）均質(zhì)細(xì)直桿CBAlxdxxz（2）均質(zhì)圓環(huán)ROz7-2動量矩定理（3）均質(zhì)圓板2.慣性半徑（或回轉(zhuǎn)半徑）如果把剛體的質(zhì)量集中于某一點上，仍保持原有的轉(zhuǎn)動慣量，ρz就是這個點到z

軸的距離。ROzρdρ7-2動量矩定理3.平行軸定理★

兩軸必須相互平行★

必須通過質(zhì)心xz?zx?y(y?)riri?miCO?yiyi?dxi=ri?7-2動量矩定理例題4

一勻質(zhì)圓盤剛連于勻質(zhì)細(xì)桿OC上，可繞O

軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，已知桿長L=0.3

m，質(zhì)量m1=10

kg，圓盤半徑r=0.15

m，質(zhì)量m2=40

kg，C

為圓盤質(zhì)心。試求系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：MCrαO7-2動量矩定理OC解：取圓輪為研究對象mgFOyFOx由質(zhì)心運動定理例題5已知均質(zhì)圓輪質(zhì)量為m，半徑為R，初始OC水平。現(xiàn)將圓輪無初速釋放，不計摩擦，求此瞬時O處約束力。7-2動量矩定理αmiriviOyxzrCC動點：動系：virvC即：以質(zhì)點的相對速度或絕對速度計算質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩結(jié)果相等。1.

質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理四、剛體平面運動微分方程7-2動量矩定理7-2動量矩定理miriviOyxzrCCvirvC即：質(zhì)點系相對質(zhì)心(平移系)的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩。這一表達(dá)式只有將質(zhì)心取為動系原點才是正確的。7-2動量矩定理miriviOyxzrCCvirvC2.剛體的平面運動微分方程直角坐標(biāo)軸上的投影式自然軸上的投影式7-2動量矩定理例題6

均質(zhì)圓輪質(zhì)量為m，半徑為r。圓輪上繞有軟繩，繩的一端固定與O點，輪自由下落。繩子質(zhì)量不計。求質(zhì)心C

點的加速度和繩子拉力。解:以圓輪為研究對象mgaCFT解得 其中7-2動量矩定理αOABC例題7已知質(zhì)量為m的AB桿兩端由繩連接至O點，其中OA=OB=AB=l

。求剪斷OB

繩瞬時OA

繩的張力。解：取AB桿為研究對象（1）應(yīng)用平面運動微分方程BW=mgACFA60°aCxaCy7-2動量矩定理α（2）應(yīng)用平面運動加速度分析，取A

為基點。解得7-2動量矩定理BW=mgACFA60°aCxaCyαaAaCAaA7-3

動能定理一、力的功（1）

常力的功FMM1M2

s代數(shù)量，國際單位制為J，角度小于90°力作正功，大于90°力作負(fù)功，等于90°力不作功。1.功的一般表達(dá)式7-3動能定理（2）

變力的功M1M2MFM?drθds7-3動能定理（3）

力系的功作用于質(zhì)點的力系在任一路程中所作的功等于各分力在同一路程中所作的功的代數(shù)和。7-3動能定理2.常見力的功（1）重力的功重力作功僅與質(zhì)點運動始末位置的高度差有關(guān)，與運動軌跡形狀無關(guān)。質(zhì)點系OxzymgM1M2z2z17-3動能定理（2）彈性力的功彈性力作功僅與彈簧運動始末位置的變形量的平方有關(guān)，與力作用點的運動軌跡無關(guān)。7-3動能定理CMF（3）摩擦力的功FPFNFd動摩擦力作功：力方向一般與滑動方向相反，功為負(fù)值。動摩擦力的功不僅與起止位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)。靜摩擦力作功：純滾動時受力作用點沒有相對位移，靜摩擦力不做功。7-3動能定理（4）內(nèi)力的功

FA

和FB

在drA

和drB上所作之元功OxzyFAFBABrArB這一結(jié)果表明：當(dāng)兩點之間的距離發(fā)生變化時，這兩點之間的內(nèi)力所作之元功不等于零。7-3動能定理約束力做功等于零的約束

理想約束。常見的理想約束：1）光滑接觸面約束;2）柔軟而不可伸長的繩約束;3）光滑鉸鏈或軸承約束;4）固定端約束。（5）約束力的功

7-3動能定理BACmgFNBFNAPvC

vBvAF1dr1dr2F2Oβ1β2光滑接觸面約束柔軟而不可伸長的繩約束7-3動能定理光滑鉸鏈或軸承約束固定端約束AAAyxMxMyMz7-3動能定理三、作用于剛體上的力系的功（1）平動剛體上力系的功與作用于質(zhì)點上的力系的功一樣，作用于平動剛體上的力系在任一路程中所作的功等于各分力在同一路程中所作的功的代數(shù)和。7-3動能定理（2）定軸轉(zhuǎn)動剛體上力系的功yxzrAFFAθθ作用于轉(zhuǎn)動剛體上力系的功等于力系對轉(zhuǎn)軸之矩在轉(zhuǎn)動角度上的積分。FbFnFt7-3動能定理FF'rOMOM=Fr作用于剛體上的力偶的功等于力偶對于轉(zhuǎn)軸之矩在轉(zhuǎn)動角度上的積分。力偶的功ds7-3動能定理C

O（3）平面運動剛體上力系的功作用于平面運動剛體上的力系的功等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和。7-3動能定理例題1均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪外緣纏繞無重細(xì)繩，繩端用力F使圓輪水平直線純滾動。求當(dāng)輪心走過路程s

時圓輪所受力系的功。

CF

Cs解：取圓輪為研究對象F?MC方法二：FSP7-3動能定理二、質(zhì)點和質(zhì)點系的動能1.

質(zhì)點的動能2.

質(zhì)點系的動能動能和動量都是表征機械運動的量，前者與質(zhì)點速度的平方成正比，為標(biāo)量；后者與質(zhì)點速度的一次方成正比，為矢量，它們是機械運動的兩種度量。動能與功的量綱相同，也為J

。7-3動能定理3.

剛體的動能（1）平動剛體的動能（2）定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能7-3動能定理yxzvirimi

PCd

vC（3）平面運動剛體的動能平面運動剛體動能等于隨質(zhì)心平移的動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能的和。7-3動能定理解：取車輪為研究對象取履帶為研究對象則質(zhì)點系的動能為vC=

vD=2v例題2

已知兩均質(zhì)車輪質(zhì)量均為m1，半徑為R，履帶質(zhì)量為m2，兩車輪軸間的距離為

R，輪心速度為v

。求質(zhì)點系的動能。vR

A

B

C

DvCvD7-3動能定理

三、動能定理1.質(zhì)點的動能定理質(zhì)點動能的增量等于作用于質(zhì)點上力的元功。質(zhì)點起始與終了動能的改變量等于某一段路程上作用于質(zhì)點上力所作的功。7-3動能定理2.質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系動能的增量，等于作用于質(zhì)點系全部力所作的元功的和。質(zhì)點系在某一段運動過程中動能的改變量，等于作用于質(zhì)點系全部力所作功的和。7-3動能定理

BAC

PmgvC解：取桿為研究對象主動力的功由動能定理解得又解得例題3

示均質(zhì)桿AB長為l，放在鉛直