重點班數(shù)學考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)\(y=f(x)\)的定義域是\([1,3]\)，則函數(shù)\(y=f(2x-1)\)的定義域是（）A.\([1,3]\)B.\([1,2]\)C.\([1,5]\)D.\([2,4]\)2.已知\(a=(1,2)\)，\(b=(x,1)\)，若\(a\perpb\)，則\(x=\)（）A.-2B.2C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)3.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，公比\(q=2\)，則\(a_{3}=\)（）A.1B.2C.4D.84.函數(shù)\(y=\sin(x+\frac{\pi}{2})\)的圖象（）A.關于\(x\)軸對稱B.關于\(y\)軸對稱C.關于原點對稱D.關于直線\(y=x\)對稱5.若\(\log_{a}2\lt\log_{a}3\)，則\(a\)的取值范圍是（）A.\(0\lta\lt1\)B.\(a\gt1\)C.\(a\gt0\)且\(a\neq1\)D.\(a\lt0\)6.已知直線\(l\)過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)，則直線\(l\)的方程為（）A.\(y-2=3(x-1)\)B.\(y+2=3(x+1)\)C.\(y-1=3(x-2)\)D.\(y+1=3(x+2)\)7.在\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(\angleC=60^{\circ}\)，則\(c=\)（）A.\(\sqrt{13}\)B.\(\sqrt{19}\)C.\(\sqrt{37}\)D.\(\sqrt{25}\)8.函數(shù)\(y=x^{3}-3x\)的極大值為（）A.2B.-2C.0D.19.若雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{1}{2}x\)，則\(a:b=\)（）A.\(1:2\)B.\(2:1\)C.\(1:\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}:1\)10.已知集合\(A=\{x|x^{2}-x-2\lt0\}\)，集合\(B=\{x|0\ltx\lt3\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\(\{x|0\ltx\lt2\}\)B.\(\{x|-1\ltx\lt3\}\)C.\(\{x|-1\ltx\lt0\}\)D.\(\{x|2\ltx\lt3\}\)答案：1.B2.A3.C4.B5.B6.A7.A8.A9.B10.A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^{x}\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.若向量\(a=(1,1)\)，則下列向量與\(a\)平行的有（）A.\((2,2)\)B.\((-1,-1)\)C.\((1,0)\)D.\((0,1)\)3.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，若\(a_{1}=1\)，\(d=2\)，則\(S_{5}=\)（）A.25B.30C.35D.404.下列函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調遞增的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=2^{x}\)D.\(y=\frac{1}{x}\)5.已知圓\(C:x^{2}+y^{2}=r^{2}(r\gt0)\)，直線\(l:y=kx+b\)，若直線\(l\)與圓\(C\)相切，則（）A.\(d=r\)（\(d\)為圓心到直線的距離）B.\(b^{2}=r^{2}(1+k^{2})\)C.直線\(l\)方程為\(kx-y+b=0\)D.直線\(l\)恒過定點\((0,b)\)6.在\(\triangleABC\)中，\(\sinA=\frac{3}{5}\)，\(\cosB=\frac{5}{13}\)，則\(\cosC\)可能的值為（）A.\(\frac{16}{65}\)B.\(-\frac{16}{65}\)C.\(\frac{56}{65}\)D.\(-\frac{56}{65}\)7.若\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，\(a+b=1\)，則下列不等式成立的有（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(a^{2}+b^{2}\geqslant\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geqslant4\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leqslant1\)8.函數(shù)\(y=\frac{1}{x^{2}+1}\)的性質有（）A.值域是\((0,1]\)B.是偶函數(shù)C.在\((-\infty,0)\)上單調遞增D.在\((0,+\infty)\)上單調遞減9.已知復數(shù)\(z=1+i\)，則（）A.\(\vertz\vert=\sqrt{2}\)B.\(z^{2}=2i\)C.\(\overline{z}=1-i\)D.\(z\)的輻角主值為\(\frac{\pi}{4}\)10.對于二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)，下列說法正確的有（）A.當\(a\gt0\)時，函數(shù)圖象開口向上B.對稱軸為\(x=-\frac{2a}\)C.當\(\Delta=b^{2}-4ac\gt0\)時，函數(shù)有兩個不同的零點D.當\(x=-\frac{2a}\)時，函數(shù)取得最值答案：1.ABD2.AB3.A4.ABC5.ACD6.AC7.ABC8.ABCD9.ABCD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(ac^{2}\gtbc^{2}\)。（）3.函數(shù)\(y=\cosx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（）4.平行四邊形的對角線相等。（）5.指數(shù)函數(shù)\(y=a^{x}(a\gt0,a\neq1)\)的值域是\((0,+\infty)\)。（）6.若直線\(l_{1}:y=k_{1}x+b_{1}\)與直線\(l_{2}:y=k_{2}x+b_{2}\)平行，則\(k_{1}=k_{2}\)。（）7.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{1}=1\)，\(q=-1\)，則\(a_{n}=(-1)^{n-1}\)。（）8.對于函數(shù)\(y=f(x)\)，若\(f(a)=f(b)\)，則\(a=b\)。（）9.圓\(x^{2}+y^{2}=1\)的圓心為\((0,0)\)，半徑為1。（）10.若\(z_{1}\)，\(z_{2}\)為復數(shù)，則\(\vertz_{1}+z_{2}\vert=\vertz_{1}\vert+\vertz_{2}\vert\)。（）答案：1.對2.錯3.對4.錯5.對6.對7.對8.錯9.對10.錯四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域。答案：因為分母不能為0，所以\(x-1\neq0\)，即\(x\neq1\)。所以函數(shù)的定義域為\(\{x|x\neq1\}\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(d=3\)，求\(a_{5}\)。答案：根據(jù)等差數(shù)列通項公式\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)，當\(n=5\)時，\(a_{5}=a_{1}+4d=2+4\times3=14\)。3.計算\(\int_{0}^{1}(x^{2}+1)dx\)。答案：\(\int_{0}^{1}(x^{2}+1)dx=\left[\frac{1}{3}x^{3}+x\right]_{0}^{1}=\left(\frac{1}{3}+1\right)-0=\frac{4}{3}\)。4.求直線\(y=2x+1\)與直線\(y=-x+4\)的交點坐標。答案：聯(lián)立方程組\(\begin{cases}y=2x+1\\y=-x+4\end{cases}\)，將\(y=2x+1\)代入\(y=-x+4\)得\(2x+1=-x+4\)，\(3x=3\)，\(x=1\)，把\(x=1\)代入\(y=2x+1\)得\(y=3\)，交點坐標為\((1,3)\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^{3}-3x^{2}+2\)的單調性。答案：對函數(shù)\(y=x^{3}-3x^{2}+2\)求導得\(y'=3x^{2}-6x=3x(x-2)\)。令\(y'=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x\lt0\)或\(x\gt2\)時，\(y'\gt0\)，函數(shù)單調遞增；當\(0\ltx\lt2\)時，\(y'\lt0\)，函數(shù)單調遞減。2.已知向量\(a=(1,2)\)，\(b=(3,-1)\)，討論向量\(a\)與\(b\)的夾角。答案：設向量\(a\)與\(b\)的夾角為\(\theta\)，根據(jù)向量點積公式\(a\cdotb=\verta\vert\vertb\vert\cos\theta\)，\(a\cdotb=1\times3+2\times(-1)=1\)，\(\verta\vert=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}\)，\(\vertb\vert=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{10}\)，則\(\cos\theta=\frac{a\cdotb}{\verta\vert\vertb\vert}=\frac{1}{\sqrt{5}\times\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{10}\)，\(\theta=\arccos\frac{\sqrt{2}}{10}\)。3.討論二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)的對稱軸與頂點坐標。答案：對稱軸為\(x=-\frac{2a}\)。將\(x=-\frac