專題02有理數(shù)中的規(guī)律（代數(shù)推理）問題（舉一反三專項訓練） 【華東師大版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1數(shù)字規(guī)律】 1【題型2數(shù)陣規(guī)律】 2【題型3數(shù)表規(guī)律】 5【題型4數(shù)圖規(guī)律】 7【題型5運算規(guī)律】 9【題型6周期規(guī)律】 12【題型7遞進規(guī)律】 14【題型8數(shù)形規(guī)律】 17【題型1數(shù)字規(guī)律】【例1】（24-25七年級上·廣東珠?！て谥校┮唤M數(shù)1,3,7,15,31…按下列分組．第一組(1、3、7)，第二組(1、3、7、15)，第三組(1、3、A．213-12 B．214-15【答案】B【分析】本題考查有理數(shù)的乘方運算，數(shù)字類規(guī)律探索．能通過前幾項的計算找出規(guī)律是解題關鍵．先分別計算前幾組的所有數(shù)之和，觀察并找出規(guī)律即可．【詳解】解：第一組所有數(shù)之和為：1+3+7=11=第二組所有數(shù)之和為：1+3+7+15=26=第三組所有數(shù)之和為：1+3+7+15+31=57=………，所以第11組所有數(shù)之和為214故選:B．【變式1-1】一列數(shù)據(jù)按1，-2，3，-4，5，-6……的規(guī)律書寫，則第2021A．2021 B．-2021 C．2022 D．【答案】A【分析】找出該列數(shù)據(jù)的書寫規(guī)律即可求解．【詳解】解：觀察所給數(shù)據(jù)可知，第n個數(shù)字的絕對值是n，奇數(shù)項符號為正，偶數(shù)項符號為負，由此可知，第2021個數(shù)字為2021．故選A．【點睛】本題屬于數(shù)字規(guī)律題，找出所給數(shù)據(jù)的書寫規(guī)律是解題的關鍵．【變式1-2】（24-25六年級上·黑龍江哈爾濱·期末）觀察數(shù)組：12、23、1、85…依此規(guī)律，第6【答案】32【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，能從所給數(shù)組中發(fā)現(xiàn)并總結出一般規(guī)律是解題的關鍵．根據(jù)所給數(shù)組，觀察各數(shù)分子分母的變化規(guī)律，由此即可總結出一般規(guī)律并解決問題．【詳解】解：由題知，1=4則這列數(shù)的分子依次為：1，2，4，8，?，∴第n個數(shù)的分子可表示為：2n這列數(shù)的分母依次為：2，3，4，5，?，第6即：第6個數(shù)是327故答案為：327【變式1-3】（23-24七年級上·福建福州·期中）1，2，4，8，16，…，是按一定規(guī)律排列的一組數(shù)，則第2017個數(shù)是（）A．22015 B．22016 C．22017【答案】B【分析】根據(jù)給定的數(shù)字，得到第n個數(shù)為2n【詳解】解：由1=20,2=21故選B．【點睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究．【題型2數(shù)陣規(guī)律】【例2】（23-24七年級上·黑龍江牡丹江·期中）楊輝三角，又稱賈憲三角形，帕斯卡三角形（1261）一書中用如圖的三角形解釋二項式和的乘方規(guī)律，比歐洲的相同發(fā)現(xiàn)要早三百多年．

按此規(guī)律排列，第七行第四個數(shù)的相反數(shù)與第八行第三個數(shù)的積是（）A．-700 B．700 C．-420 D【答案】C【分析】根據(jù)題意確定第七行和第八行的數(shù)字，再根據(jù)有理數(shù)的乘法的法則計算，本題主要考查了數(shù)字類變化規(guī)律、相反數(shù)的定義、有理數(shù)乘法，熟練掌握“只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)”以及有理數(shù)乘方的運算法則是解此題的關鍵．【詳解】第六行的數(shù)字為1，5，10，10，5，1；第七行的數(shù)字為1，6，15，20，15，6，1；第八行的數(shù)字為1，7，21，35，35，21，7，1；可知第七行的第四個數(shù)是20，其相反數(shù)為-20，第八行的第三個數(shù)是21根據(jù)題意，得-20×21=-420故選：C．【變式2-1】（23-24九年級上·廣東汕頭·期末）將全體正偶數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:按照以上排列的規(guī)律,則第10行從左向右的第3個數(shù)是．【答案】96【分析】本題考查歸納推理．首先找出三角形數(shù)陣的規(guī)律,求出前9行正偶數(shù)的個數(shù),然后由偶數(shù)的特點求出第10行的第3個偶數(shù)．【詳解】解:設根據(jù)題意觀察得知,第n行有n個偶數(shù),∴前9行共有正偶數(shù)1+2++9=9×(1+9)2∴第45個偶數(shù)為90,是第9行的最后一個,∴第10行從左到右的第3個偶數(shù)為96．故答案為:96．【變式2-2】（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·開學考試）觀察如圖所示的三角形數(shù)陣，則第7行的最后一個數(shù)是．【答案】-【詳解】解：根據(jù)題意可得：奇數(shù)為正，偶數(shù)為負，∴第7行的最后一個數(shù)的絕對值為7-1×7∴第7行的最后一個數(shù)是-28故答案為：-28【變式2-3】觀察下面一組數(shù)：-1，2，-3，4，-5，6，…，將這組數(shù)排成如圖的形式，按照如圖規(guī)律排下去第10行從左邊數(shù)第9A．-90 B．90 C．-91 D【答案】B【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，先找到規(guī)律前n行共有n2個數(shù)，進而得到第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是第90個數(shù)，再找到規(guī)律當k為奇數(shù)時，第k個數(shù)是-k，當k為偶數(shù)時，第k個數(shù)為【詳解】解：第一行有1個數(shù)，前兩行有1+3=2前三行有1+3+5=3前四行有1+3+5+7=4……，以此類推，前n行共有n2∴前9行一共有92∴第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是第90個數(shù)，觀察可知，當k為奇數(shù)時，第k個數(shù)是-k，當k為偶數(shù)時，第k個數(shù)為k∴第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是90，故選：B．【題型3數(shù)表規(guī)律】【例3】將自然數(shù)按以下規(guī)律排列，則2016所在的位置（）第1列第2列第3列第4列…第1行12910第2行43811第3行56712第4行16151413第5行17……A．第45行第10列 B．第10行第45列C．第44行第10列 D．第10行第44列【答案】B【詳解】試題解析：∵442=1936，∴第44行的第一個數(shù)字是1936，∴第45行的第一個數(shù)字是1937，第45列數(shù)字是1981．∴2016應該是第45列1981往上再數(shù)35個，∴2016所在的位置是第10行的第45列．故選B．【變式3-1】（23-24七年級上·湖南湘西·期末）觀察圖中“品”字形中各數(shù)之間的規(guī)律，根據(jù)觀察到的規(guī)律，求出b的值為．【答案】741【分析】此題考查了數(shù)字變化規(guī)律，由圖可知，上邊的數(shù)與下邊左邊的數(shù)的和正好等于下邊右邊的數(shù)，上邊的數(shù)為連續(xù)的偶數(shù)，上邊的數(shù)為2n，下邊左邊的數(shù)為3n，由此可得【詳解】解：∵上邊的數(shù)為連續(xù)的偶數(shù)，由2n=12，得∵下邊左邊的數(shù)為3n∴a=∵上邊的數(shù)與下邊左邊的數(shù)的和正好等于下邊右邊的數(shù)，∴b=12+故答案為：741．【變式3-2】填在下面三個田字格內(nèi)的數(shù)有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，C的值是（

）A．76 B．82 C．86 D．108【答案】D【分析】根據(jù)圖中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，從而可以得到A、B、C的值．【詳解】解：由圖中的數(shù)字可知，左上角的數(shù)字是一些連續(xù)的奇數(shù)，從1開始，右上角的數(shù)字是一些連續(xù)的奇數(shù)，從3開始，左下角的數(shù)字是一些連續(xù)的奇數(shù)，從5開始，右下角的數(shù)字是對應的左上角的數(shù)字與右上角的數(shù)字之和與左下角數(shù)字的乘積，∴A=7，B=9，C=（5+7）×9=12×9=108，故選：D．【點睛】本題考查的是數(shù)字的變化類，根據(jù)題意找出各數(shù)之間的規(guī)律是解答此題的關鍵．【變式3-3】（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習）一組數(shù)按圖中規(guī)律從左向右依次排列，則第9個圖中m+A．100 B．95 C．90 D．85【答案】A【分析】根據(jù)題意可以求得m的值，n=10+m，從而可以求得【詳解】解：由圖可知，m=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,∴故選：A．【點睛】本題考查圖形的變化類，解題的關鍵是明確題意，找出圖形的變化規(guī)律．【題型4數(shù)圖規(guī)律】【例4】（24-25九年級上·重慶·期中）如圖，用規(guī)格相同的小棒擺成一組圖案，圖案①需要6根小棒，圖案②需要10根小棒，圖案③需要14根小棒，…，按此規(guī)律，則第8個圖形中需要小棒的根數(shù)是（

）A．32 B．34 C．36 D．38【答案】B【分析】本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖案的變化歸納出第n個圖案需要的小棒數(shù)是解題的關鍵．觀察圖案可知下一個圖形比前一個圖多4根小棒，找出4與第n個圖案的小棒的根數(shù)的聯(lián)系即可．【詳解】解：觀察圖案，可知下一個圖形比前一個圖多4根小棒，圖案①需要1×4+2=6根小棒，圖案②需要2×4+2=10根小棒，圖案③需要3×4+2=14根小棒，?∴第8個圖形中需要小棒的根數(shù)是4×8+2=34，故選：B．【變式4-1】（23-24七年級上·重慶沙坪壩·期末）如圖，用規(guī)格相同的小棒擺成一組圖案，第1個圖案需要3根小棒，第2個圖案需要5根小棒，第3個圖案需要7根小棒，…，按此規(guī)律，則第2024個圖案中需要小棒的根數(shù)是（

）A．4047 B．4048 C．4049 D．4050【答案】C【分析】本題考查了圖形的變化規(guī)律．觀察圖案，可知下一個圖比前一個圖多2根小棒，據(jù)此即可解答．【詳解】由圖可得：第1個圖案需要小棒3根，即3=2×1+1，第2個圖案需要小棒5根，即5=2×2+1，第3個圖案需要小棒7根，即7=2×3+1，第4個圖案需要小棒9根，即9=2×4+1，……∴第2024個圖案需要小棒的根數(shù)是：2×2024+1=4049．故選：C【變式4-2】（2025·重慶開州·二模）如圖是用大小相等的五角星按一定規(guī)律拼成的一組圖案，第①個圖案中有4顆五角星，第②個圖案中有7顆，第③個圖案中有10顆，…，按此規(guī)律排列下去，第⑧個圖案中五角星的顆數(shù)是）（

）A．22 B．24 C．25 D．28【答案】C【分析】本題考查了圖形的數(shù)字規(guī)律．觀察圖形，將圖形中的五角星分為四部分，即左、上、右、下四部分，先找出每部分的規(guī)律，再相加就可得出每個圖形中五角星個數(shù)的規(guī)律，即可解答．【詳解】觀察前四個圖案得：第①個圖案中小五角星的顆數(shù)=3×1+1=4；第②個圖案中小五角星的顆數(shù)=3×2+1=7；第③個圖案中小五角星的顆數(shù)=3×3+1=10；第④個圖案中小五角星的顆數(shù)=3×4+1=13；…，第⑧個圖案中小五角星的顆數(shù)=3×8+1=25；故選：C．【變式4-3】（2025·重慶·模擬預測）如圖，用火柴棒按照一定規(guī)律擺出一組圖形，a1有1根，a2有3根，a3有7根……照此規(guī)律擺下去，aA．23 B．63 C．127 D．129【答案】C【分析】本題主要考查了圖形類的規(guī)律問題，先根據(jù)前四個圖形中火柴棒的個數(shù)得變化特點得出規(guī)律，進而得出答案．【詳解】解：因為a1圖中有1因為a2圖中有1+因為a3圖中有1+因為a4圖中有1+???因為a7圖中有1+故選：C．【題型5運算規(guī)律】【例5】（23-24七年級上·河北石家莊·階段練習）觀察下面的式子的排列規(guī)律，寫出它后面的式子：2+23=22×2【答案】5+【分析】本題考查數(shù)字的變化類，有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中式子的變化特點（原式等于左邊第一個數(shù)的平方乘以左邊第二個數(shù)且分母是左邊第一個數(shù)的平方減1），從而寫出后面的式子．【詳解】解：總結規(guī)律可得它后面的式子是：5+5故答案為：5+5【變式5-1】觀察下列關于自然數(shù)的式子：4×12-12

①4×22-32

②4×32-52

③…根據(jù)上述規(guī)律，則第2018個式子的值是（

）A．8068 B．8069 C．8070 D．8071【答案】D【詳解】分析：由①②③三個等式可得，減數(shù)是從1開始連續(xù)奇數(shù)的平方，被減數(shù)是從1開始連續(xù)自然數(shù)的平方的4倍，由此規(guī)律得出答案即可．詳解：4×14×24×3…所以第2018個式子的值是：4×2018?1=8071.故選D.【變式5-2】（23-24七年級上·遼寧阜新·階段練習）觀察下列式子：a1=31×4=11-14；a【答案】6069【分析】本題主要考查了數(shù)字的規(guī)律探究，根據(jù)已知的式子中的數(shù)的特點得到分母是相差3的兩個整數(shù)相乘，分子為3，結果等于分母中的兩個數(shù)的倒數(shù)相減，進而表示出該規(guī)律．由此進行其他的應用計算．【詳解】解：a1a2a3a4…，∴a=1-=1-=6069故答案為：60696070【變式5-3】（22-23七年級上·天津和平·期中）觀察下列各式的計算結果：1-11-11-11-1…（1）用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填寫下列式子的結果：1-1102=（2）用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：(1-12【答案】9101110【分析】（1）根據(jù)所給的等式直接寫出即可；（2）通過觀察可將所求的式子變形為12【詳解】解：（1）1-1故答案為：910，11（2）(1-===1011故答案為：10112021【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，讀懂題意，根據(jù)題意進行準確變形是解本題的關鍵．【題型6周期規(guī)律】【例6】某種金屬元素鉍(Bi)會進行衰變，每次在一個周期里，衰變的量是上一次量的一半．鉍的周期（半衰期是1小時．設原有1克的未衰變的鉍，則1小時后有0.5克發(fā)生了衰變，再過1小時又有0.25克發(fā)生了衰變，衰變一直按照這種規(guī)律發(fā)生下去，請問5小時后，共有多少克鉍發(fā)生了衰變？（

）A．132 B．3132 C．1516【答案】B【分析】將每個小時的衰變量相加，計算可得結果．【詳解】解：由題意可得：1=1=16=31故選：B．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算的實際應用，解題的關鍵是理解題意，列出算式．【變式6-1】公園的長堤一邊有規(guī)三種樹，依次按照2棵梨樹、3棵柳樹、2棵桃樹的順序排列．那么從第一棵柳樹開始數(shù)，第125棵樹是（

）A．桃樹 B．柳樹 C．梨樹 D．無法確定【答案】C【分析】本題主要考查了周期問題，求出余數(shù)是解題的關鍵．根據(jù)題意找到周期求出余數(shù)即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：一個周期為7棵樹，∴125÷7=17...6，從第一棵柳樹開始數(shù)，故第125棵樹是梨樹．故選：C．【變式6-2】）觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定22011的個位數(shù)字是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)已知的結果找出個位數(shù)的周期性規(guī)律，進而分析判斷即可。【詳解】21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，可知，2n的個位數(shù)字以“2，4，8，6，…”重復出現(xiàn)，2011÷4=502…3，所以22011的個位數(shù)字是8；故選D．【點睛】此題主要考查數(shù)字的規(guī)律探索，根據(jù)已知確定數(shù)字的周期規(guī)律是解題的關鍵．【變式6-3】（24-25七年級上·遼寧鐵嶺·階段練習）干支紀年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法．干支是天干和地支的總稱，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十個符號天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二個符號叫地支．把干支（天干+地支）順序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十為一周期，周而復始，循環(huán)記錄，這就是俗稱的“干支表”，公歷年數(shù)先減三，除十余數(shù)是天干，改用十二除，余數(shù)便是地支年，如1997年是丁丑年，依據(jù)上述規(guī)律推斷析2024應為年．123456789101112天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥【答案】甲辰【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．根據(jù)題意，列出算式進行計算后，判斷即可．掌握天干，地支的確定方法，正確的列出算式即可．【詳解】解：由題意，得：天干為：2024-3÷10=202??1地支為：2024-3÷12=168??5∴2024年為農(nóng)歷甲辰年；故答案為：甲辰．【題型7遞進規(guī)律】【例7】（24-25七年級上·陜西西安·階段練習）如圖，數(shù)軸上O，A兩點的距離為12，一動點P從點A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到AO的中點A1處，第2次從A1點跳動到A1O的中點A1處，第3次從A2點跳動到A2O的中點A3處．按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點A4,A．12-3×122022 B．9-3×122022【答案】B【分析】本題考查了數(shù)軸上點的跳動規(guī)律以及中點距離的計算，通過觀察每次跳動后點與原點O的距離變化，可以發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律，即每次跳動后點與O的距離是前一次距離的一半，利用這個規(guī)律，可以計算出經(jīng)過2024次跳動后點A2024與A【詳解】解：∵數(shù)軸上O,A兩點的距離為∴點A表示的數(shù)為12，A1表示的數(shù)為12×A2表示的數(shù)為12×A3表示的數(shù)為12×A4表示的數(shù)為12×??，An表示的數(shù)為12×∴經(jīng)過這樣2024次跳動后的點A2024表示的數(shù)為12×∵點A表示的數(shù)為12，A1表示的數(shù)為6∴A1A∴經(jīng)過這樣2024次跳動后的點與A19-12×1故選：B．【變式7-1】（24-25七年級下·全國·假期作業(yè)）正方形圖1作如下操作：第1次：分別連接各邊中點如圖2，得到5個正方形；第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3，得到9個正方形，……，以此類推，根據(jù)以上操作，若要得到53個正方形，需要操作的次數(shù)是（）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】此題主要考查了圖形的變化類，根據(jù)已知得出正方形個數(shù)的變化規(guī)律是解題關鍵．由題意可知，第1次：分別連接各邊中點如圖2，得到4×1+1=5個正方形；第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3，得到4×2+1=9個正方形……以此類推，根據(jù)以上操作，則第n次得到4n【詳解】解：第1次：得到4×1+1=5（個）正方形；第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3，得到4×2+1=9（個）正方形……以此類推，根據(jù)以上操作，則第n次得到4n設第n次得到53個正方形．4n解得：n=13即若要得到53個正方形，需要操作的次數(shù)是13次．故選：B．【變式7-2】如圖，數(shù)軸上兩定點A、B對應的數(shù)分別為－18和14，現(xiàn)在有甲、乙兩只電子螞蟻分別從A、B同時出發(fā)，沿著數(shù)軸爬行，速度分別為每秒1．5個單位和1．7個單位，它們第一次相向爬行1秒，第二次反向爬行2秒，第三次相向爬行3秒，第四次反向爬行4秒，第五次相向爬行5秒，……，按如此規(guī)律，則它們第一次相遇所需的時間為（

）A．55秒 B．190秒 C．200秒 D．210秒【答案】B【分析】根據(jù)兩點間的距離，可得BA的長，根據(jù)爬行的規(guī)律，可得以后每兩次可以前進3.2，可得爬行的總次數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案．【詳解】AB之間的距離為14-（-18）=32，第一次相向爬行1秒后，兩只螞蟻相距32-1×（1.5+1.7）=28.8，以后每兩次可以前進3.2，∴28.8÷3.2=9，則最后一次是第19次，即甲乙兩只電子螞蟻相向爬行19秒，故第一次相遇的時間為1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19=（1+19）19÷2=190（秒），答：它們第一次相遇時所需的時間為190秒．故選B.【點睛】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)爬行的規(guī)律得出前進的速度，爬行的總次數(shù)是解題關鍵．【變式7-3】（2025·安徽蕪湖·模擬預測）將一張等邊三角形紙片分成四個大小、形狀一樣的等邊三角形（如圖所示），記為第1次操作，然后將其中右下角的等邊三角形又按同樣的方法分成四部分，記為第2次操作．若每次都把右下角的等邊三角形按此方法分成四部分，如此循環(huán)進行下去．(1)若操作4次，則總共能得到_____個等邊三角形．(2)計算14【答案】(1)17(2))255【分析】本題主要考查圖形變化的規(guī)律、數(shù)字變化規(guī)律等知識點，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)三角形的個數(shù)及邊長的變化規(guī)律是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由題意可知：操作1次，共得到的等邊三角形個數(shù)為：5=1×4+1；操作2次，共得到的等邊三角形個數(shù)為：9=2×4+1；操作3次，共得到的等邊三角形個數(shù)為：13=3×4+1；操作4次，共得到的等邊三角形個數(shù)為：17=4×4+1；故答案為：17．（2）解：1======【題型8數(shù)形規(guī)律】【例8】如圖是蜘蛛結網(wǎng)過程示意圖，一只蜘蛛先以O為起點結六條線OA，OB，OC，OD，OE，OF后，再從線OA上某點開始按逆時針方向依次在OA，OB，OC，OD，OE，OF，OA，OB…上結網(wǎng)，若將各線上的結點依次記為：1，2，3，4，5，6，7，8，…，那么第200個結點在（

）A．線OA上 B．線OB上 C．線OC上 D．線OF上【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可得：OA上的點為：1，7，13，即1+6（n-1），OB上的點為：2，8，14，即2+6（n-1），依次可得：OC、OD、OE上的點的性質．【詳解】解：第200個結點所在的位置，通過計算可得，200÷6＝33…2．在OB上，故選：B．【點睛】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．【變式8-1】剛會數(shù)數(shù)的妹妹問你：“伸出左手，從大拇指開始，如圖所示的那樣數(shù)數(shù)字：1、2、3、4、……請問數(shù)到9