高考科學復習解決方案物理第講萬有引力定律及其應用(對應人教版必修第二冊相關(guān)內(nèi)容及問題)第七章第1節(jié)閱讀“開普勒定律”的有關(guān)內(nèi)容，寫出開普勒行星運動定律的表述。提示：開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等。開普勒第三定律：所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等。第七章第1節(jié)閱讀“行星軌道簡化為圓軌道”的有關(guān)內(nèi)容，寫出對行星運動軌道簡化為圓軌道后的開普勒三個定律的表述。提示：(1)行星繞太陽運動的軌道十分接近圓，太陽處在圓心。(2)對某一行星來說，它繞太陽做圓周運動的角速度(或線速度)大小不變，即行星做勻速圓周運動。(3)所有行星軌道半徑r的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方的比值都相等，即eq\f(r3,T2)＝k。第七章第1節(jié)[練習與應用]T2。提示：近地點的速度較大。第七章第2節(jié)閱讀“行星與太陽間的引力”這一部分內(nèi)容，太陽與行星間引力的公式是依據(jù)什么推導出來的？提示：依據(jù)開普勒行星運動定律和圓周運動向心力公式及牛頓第三定律推導出來的。第七章第2節(jié)閱讀“月—地檢驗”這一部分內(nèi)容，什么是月—地檢驗？提示：驗證地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力是否遵從相同的規(guī)律。第七章第2節(jié)閱讀“引力常量”這部分內(nèi)容及后面的[拓展學習]，引力常量是如何測得的？數(shù)值為多少？提示：英國物理學家卡文迪什利用扭秤裝置測得G＝6．67×10－11N·m2/kg2。第七章第3節(jié)，萬有引力理論的成就有哪些？提示：“稱量”地球的質(zhì)量、計算天體的質(zhì)量、發(fā)現(xiàn)未知天體、預言哈雷彗星回歸。第七章[復習與提高]B組T2；T3。提示：T2：將行星看作球體，設(shè)半徑為R，質(zhì)量為m星，則行星的密度為ρ＝eq\f(m星,V)＝eq\f(m星,\f(4πR3,3))。衛(wèi)星貼近行星表面運行時，運動半徑為R，由萬有引力提供向心力可知eq\f(Gm星m,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，即m星＝eq\f(4π2R3,GT2)。由此可以解得ρT2＝eq\f(3π,G)，式中G為引力常量，可見ρT2是一個對任何行星都相同的常數(shù)。溫馨提示：當衛(wèi)星貼著行星表面飛行時，只要有一個計時工具就可以知道行星的密度。T3：eq\f(7Gmm′,36R2)。質(zhì)量分布均勻的球體之間的萬有引力可以等效為質(zhì)量集中在兩球心的兩個質(zhì)點之間的萬有引力，直接代公式可求。本題采用先填補成完整的球體，再減去補上的小球部分產(chǎn)生的引力的方法來求解?？键c一開普勒定律1．定律內(nèi)容(1)開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是eq\x(\s\up1(01))橢圓，太陽處在橢圓的一個eq\x(\s\up1(02))焦點上。(2)開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的eq\x(\s\up1(03))面積相等。(3)開普勒第三定律：所有行星軌道的eq\x(\s\up1(04))半長軸的三次方跟它的eq\x(\s\up1(05))公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等，即eq\x(\s\up1(06))eq\f(a3,T2)＝k。2．適用條件：適用于宇宙中一切環(huán)繞同一中心天體的運動。1．微元法解讀開普勒第二定律：行星在近日點、遠日點時的速度方向與兩點連線垂直，若行星在近日點、遠日點到太陽的距離分別為a、b，取足夠短的時間Δt，則行星在Δt時間內(nèi)的運動可看作勻速直線運動，由開普勒第二定律可知eq\f(1,2)va·Δt·a＝eq\f(1,2)vb·Δt·b，可得va＝eq\f(vbb,a)?？赏浦行堑教柕木嚯x越大，行星的速率越小，反之越大。2．行星繞太陽的運動通常按勻速圓周運動處理。3．開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動。4．開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同，故該定律只能用在繞同一中心天體公轉(zhuǎn)的星體之間。例1有關(guān)開普勒三大定律，結(jié)合地球和火星的軌道示意圖，下列說法正確的是()A．地球靠近太陽的過程中，運行速度的大小不變B．地球繞太陽運動的軌道是橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點上C．在相等時間內(nèi)，火星和太陽的連線掃過的面積與地球和太陽的連線掃過的面積相等D．火星繞太陽運行一周的時間比地球繞太陽運行一周的時間短[答案]B[解析]根據(jù)開普勒第二定律可知，對同一個行星而言，行星與太陽的連線在相同時間內(nèi)掃過的面積相等，故地球靠近太陽的過程中，運行速度的大小將增大，故A錯誤；開普勒第二定律僅對同一行星適用，故C錯誤；根據(jù)開普勒第一定律可知，行星繞太陽運動的軌道是橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點上，地球也不例外，故B正確；根據(jù)開普勒第三定律可知，所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，由于火星軌道的半長軸比地球的大，所以火星繞太陽運行一周的時間比地球的長，故D錯誤。例2(人教版必修第二冊·第七章第3節(jié)[練習與應用]T4節(jié)選)地球的公轉(zhuǎn)軌道接近圓，但彗星的運動軌道則是一個非常扁的橢圓，如圖所示，天文學家哈雷成功預言哈雷彗星的回歸，哈雷彗星最近出現(xiàn)的時間是1986年，預測下次飛近地球?qū)⒃?061年左右。請根據(jù)開普勒行星運動定律估算哈雷彗星軌道的半長軸是地球公轉(zhuǎn)半徑的多少倍。[答案]17．8[解析]設(shè)地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑為R0，周期為T0，哈雷彗星繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半長軸為a，周期為T，由題意可知T＝2061年－1986年＝75年根據(jù)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，有eq\f(a3,T2)＝eq\f(Req\o\al(3,0),Teq\o\al(2,0))則eq\f(a,R0)＝eq\r(3,\f(T2,Teq\o\al(2,0)))≈17．8?？键c二萬有引力定律萬有引力與重力的關(guān)系1．萬有引力定律的內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與eq\x(\s\up1(01))物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與eq\x(\s\up1(02))它們之間距離r的二次方成反比。2．公式：F＝eq\x(\s\up1(03))Geq\f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量，G＝6．67×10－11N·m2/kg2，其值由卡文迪什通過扭秤實驗測得。3．公式的適用條件：計算兩個eq\x(\s\up1(04))質(zhì)點間的萬有引力。(1)當物體不能看成質(zhì)點時，可以把物體分成若干部分，求出兩物體每部分之間的萬有引力，然后矢量求和計算它們的合力。(2)兩個質(zhì)量分布均勻的球體之間的萬有引力，等于位于兩球心處、質(zhì)量分別與兩球體相等的質(zhì)點間的萬有引力。4．萬有引力理論的主要成就(1)發(fā)現(xiàn)未知天體。(2)計算天體質(zhì)量。1．萬有引力與重力的關(guān)系如圖所示，地球?qū)ξ矬w的萬有引力F可分解為：重力mg、提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg0。(3)在一般位置：萬有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg與向心力F向的矢量和。越靠近南、北兩極，向心力越小，g值越大。由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，通?？烧J為萬有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg。2．星體表面及上空的重力加速度(以地球為例)(1)地球表面的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響)：由eq\f(GMm,R2)＝mg，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)地球上空的重力加速度：設(shè)地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，則mg′＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)。例3(2020·全國卷Ⅰ)火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為()A．0．2 B．0．4C．2．0 D．2．5[答案]B[解析]設(shè)該物體質(zhì)量為m，則在火星表面有F火＝Geq\f(M火m,Req\o\al(2,火))，在地球表面有F地＝Geq\f(M地m,Req\o\al(2,地))，由題意知eq\f(M火,M地)＝eq\f(1,10)，eq\f(R火,R地)＝eq\f(1,2)。聯(lián)立以上各式可得eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火,M地)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R地,R火)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,10)×eq\f(4,1)＝0．4，故B正確。例4某行星為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R、質(zhì)量為M?？蒲腥藛T研究同一物體在該行星上的重力時，發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的1．1倍。已知引力常量為G，則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為()A．eq\r(\f(GM,10R3)) B．eq\r(\f(GM,11R3))C．eq\r(\f(1.1GM,R3)) D．eq\r(\f(GM,R3))[答案]B[解析]設(shè)該行星“赤道”上某處的重力加速度大小為g，該行星自轉(zhuǎn)的角速度為ω，物體的質(zhì)量為m，物體在“兩極”處所受行星的萬有引力大小等于重力大小，即Geq\f(Mm,R2)＝1．1mg，物體在“赤道”上某處時所受行星的萬有引力按效果進行分解，有Geq\f(Mm,R2)＝mg＋mω2R，聯(lián)立解得ω＝eq\r(\f(GM,11R3))，故選B。例5如圖所示，《流浪地球2》影片中，太空電梯高聳入云，在地表與太空間高速穿梭。太空電梯上升到某高度時，質(zhì)量為2．5kg的物體重力為16N。已知地球半徑為6371km，不考慮地球自轉(zhuǎn)，地球表面處重力加速度g取10m/s2，則此時太空電梯距離地面的高度約為()A．1593km B．3584kmC．7964km D．9955km[答案]A[解析]設(shè)地球的質(zhì)量為M，物體的質(zhì)量為m，此時太空電梯距離地面的高度為h，太空電梯所在位置處的重力加速度為g′，不考慮地球自轉(zhuǎn)，則物體所受重力等于地球的引力，根據(jù)萬有引力公式，物體在地球表面時，有Geq\f(Mm,R2)＝mg，物體在太空電梯中距地面h高度處，有Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝mg′，兩式相比可得eq\f(R2,（R＋h）2)＝eq\f(mg′,mg)，由題意知，mg′＝16N，又mg＝2．5×10N＝25N，解得h＝eq\f(1,4)R＝1593km，故選A?？键c三天體質(zhì)量和密度的估算1．重力加速度法：利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．天體環(huán)繞法：測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得天體質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若衛(wèi)星繞天體表面運行，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度。注：若已知的量不是r、T，而是r、v或v、T等，計算中心天體質(zhì)量和密度的思路相同。若已知r、v，利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得M＝eq\f(v2r,G)。若已知v、T，可先求出r＝eq\f(vT,2π)，再利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)或Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r求M。若已知ω、T則不能求出M。例6宇航員在月球表面將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處開始下落，經(jīng)時間t落到月球表面。已知引力常量為G，月球的半徑為R(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)。求：(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；(2)月球的質(zhì)量M；(3)月球的密度ρ。[答案](1)eq\f(2h,t2)(2)eq\f(2hR2,Gt2)(3)eq\f(3h,2πRGt2)[解析](1)羽毛和鐵錘在月球表面附近做自由落體運動，有h＝eq\f(1,2)g月t2解得g月＝eq\f(2h,t2)。(2)不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，對在月球表面上質(zhì)量為m的物體，有Geq\f(Mm,R2)＝mg月解得M＝eq\f(2hR2,Gt2)。(3)假設(shè)月球為均勻球體，則其體積V＝eq\f(4,3)πR3根據(jù)密度公式可知，ρ＝eq\f(M,V)解得ρ＝eq\f(3h,2πRGt2)。例7(2024·海南高考)嫦娥六號進入環(huán)月圓軌道，周期為T，軌道高度與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為()A．eq\f(3π（1＋k）3,GT2k3) B．eq\f(3π,GT2)C．eq\f(π（1＋k）,3GT2k) D．eq\f(3π,GT2)(1＋k)3[答案]D[解析]設(shè)月球的質(zhì)量為M，半徑為R，嫦娥六號的質(zhì)量為m，軌道高度為h，由題意知h＝kR，對嫦娥六號，根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，又月球的體積V＝eq\f(4,3)πR3，月球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)，聯(lián)立可得ρ＝eq\f(3π,GT2)(1＋k)3，故選D。估算天體質(zhì)量和密度時應注意的問題(1)利用萬有引力提供天體做圓周運動的向心力估算天體質(zhì)量時，估算的是中心天體的質(zhì)量，并非環(huán)繞天體的質(zhì)量。(2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近運動的衛(wèi)星才有r≈R；計算天體密度時，V＝eq\f(4,3)πR3中的R只能是中心天體的半徑。(3)在考慮中心天體自轉(zhuǎn)問題時，只有在兩極處才有eq\f(GMm,R2)＝mg。課時作業(yè)[A組基礎(chǔ)鞏固練]1．(2025·新疆高三上第一次模擬)南山—哈恩彗星是被新疆南山觀測站和德國天文學家哈恩共同發(fā)現(xiàn)的一顆新彗星。如圖所示，已知該彗星的近日點接近火星軌道，遠日點接近木星軌道，火星、木星的公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為地球公轉(zhuǎn)軌道半徑的p倍和q倍，則南山—哈恩彗星的運動周期為()A．(p＋q)eq\s\up6(\f(3,2))年 B．(p＋q)eq\s\up6(\f(2,3))年C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋q,2)))eq\s\up6(\f(3,2))年 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋q,2)))eq\s\up6(\f(2,3))年答案：C解析：設(shè)地球公轉(zhuǎn)軌道半徑為R，則火星公轉(zhuǎn)軌道半徑R火＝pR，木星公轉(zhuǎn)軌道半徑R木＝qR，南山—哈恩彗星的公轉(zhuǎn)軌道半長軸為a＝eq\f(R火＋R木,2)＝eq\f(p＋q,2)R，根據(jù)開普勒第三定律有eq\f(R3,Teq\o\al(2,地))＝eq\f(a3,Teq\o\al(2,彗))，聯(lián)立解得南山—哈恩彗星的運動周期T彗＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋q,2)))eq\s\up6(\f(3,2))T地＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋q,2)))eq\s\up6(\f(3,2))年，故C正確。2．(2025·廣西南寧市高三上摸底測試)某飛船繞地球做橢圓運動的軌跡如圖所示，AB是橢圓的長軸，CD是橢圓的短軸，E、F兩點關(guān)于橢圓中心對稱。比較飛船沿順時針分別從C運動到E和從D運動到F的兩個過程，以下說法正確的是()A．從D運動到F的過程平均速率小B．兩個過程運動時間相等C．兩個過程飛船與地心連線掃過的面積相等D．飛船在C點所受萬有引力小于在F點所受萬有引力答案：D解析：C、D兩點關(guān)于長軸AB對稱，由飛船做橢圓運動的規(guī)律可知飛船在C、D兩點的速度大小相等，飛船從C點運動到E點的過程，地球的萬有引力做負功，由動能定理可知飛船的動能減小，速度減小，則在CE段的平均速度小于在C點時的速度，同理可知，飛船在DF段的平均速度大于在D點時的速度，由t＝eq\f(s,\o(v,\s\up6(－)))可知飛船在CE段運動的時間長，由開普勒第二定律可知兩個過程飛船與地心連線掃過的面積不相等，故A、B、C錯誤；由于C點到地心的距離比F點到地心的距離遠，根據(jù)F＝Geq\f(Mm,r2)，飛船在C點所受萬有引力小于在F點所受萬有引力，故D正確。3．(2024·浙江6月選考)與地球公轉(zhuǎn)軌道“外切”的小行星甲和“內(nèi)切”的小行星乙的公轉(zhuǎn)軌道如圖所示，假設(shè)這些小行星與地球的公轉(zhuǎn)軌道都在同一平面內(nèi)，地球的公轉(zhuǎn)半徑為R，小行星甲的遠日點到太陽的距離為R1，小行星乙的近日點到太陽的距離為R2，則()A．小行星甲在遠日點的速度大于近日點的速度B．小行星乙在遠日點的加速度小于地球公轉(zhuǎn)加速度C．小行星甲與乙的運行周期之比eq\f(T1,T2)＝eq\r(\f(Req\o\al(3,1),Req\o\al(3,2)))D．甲、乙兩星從遠日點到近日點的時間之比eq\f(t1,t2)＝eq\r(\f(（R1＋R）3,（R2＋R）3))答案：D解析：根據(jù)開普勒第二定律，小行星甲在遠日點的速度小于近日點的速度，故A錯誤；由題圖可知，小行星乙的遠日點到太陽的距離等于地球到太陽的距離，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，則小行星乙在遠日點的加速度等于地球公轉(zhuǎn)加速度，故B錯誤；由題圖可知，小行星甲軌道的半長軸a甲＝eq\f(1,2)(R1＋R)，小行星乙軌道的半長軸a乙＝eq\f(1,2)(R2＋R)，根據(jù)開普勒第三定律，小行星甲與乙的運行周期之比eq\f(T1,T2)＝eq\r(\f(aeq\o\al(3,甲),aeq\o\al(3,乙)))＝eq\r(\f(（R1＋R）3,（R2＋R）3))，故C錯誤；甲、乙兩星從遠日點到近日點的時間均為各自的半個公轉(zhuǎn)周期，則兩者之比eq\f(t1,t2)＝eq\f(0.5T1,0.5T2)＝eq\r(\f(（R1＋R）3,（R2＋R）3))，故D正確。4．(2024·福建省福州市高三上2月質(zhì)量檢測)(多選)牛頓著名的“月—地檢驗”證明思路如下：設(shè)月球在半徑為r(r＝60R，R為地球半徑)的軌道上繞地球做勻速圓周運動，運行周期為T，從運動學角度得到月球的向心加速度為a；假定物體在地面受到的重力與地球吸引月球的力是相同性質(zhì)的力，都遵從與距離的平方成反比的規(guī)律，從動力學角度得到物體在地面處的重力加速度為g和物體在月球所在軌道處的加速度為g′。根據(jù)牛頓的思路，下列關(guān)系正確的是()A．g′＝eq\f(g,3600) B．g′＝eq\f(g,60)C．a(chǎn)＝eq\f(4π2r,T2) D．a(chǎn)＝eq\f(g′,3600)答案：AC解析：根據(jù)萬有引力定律有eq\f(GMm,R2)＝mg，eq\f(GMm,r2)＝mg′，又r＝60R，可得g′＝eq\f(g,3600)，故A正確，B錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力可得eq\f(GMm,r2)＝mg′＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r＝ma，可得a＝g′＝eq\f(4π2r,T2)，故C正確，D錯誤。5．(2024·全國甲卷)2024年5月，嫦娥六號探測器發(fā)射成功，開啟了人類首次從月球背面采樣返回之旅。將采得的樣品帶回地球，飛行器需經(jīng)過月面起飛、環(huán)月飛行、月地轉(zhuǎn)移等過程。月球表面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的eq\f(1,6)。下列說法正確的是()A．在環(huán)月飛行時，樣品所受合力為零B．若將樣品放置在月球正面，它對月球表面壓力等于零C．樣品在不同過程中受到的引力不同，所以質(zhì)量也不同D．樣品放置在月球背面時對月球的壓力，比放置在地球表面時對地球的壓力小答案：D解析：在環(huán)月飛行時，樣品做曲線運動，所受合力不為零，故A錯誤；若將樣品放置在月球正面，由平衡條件知，樣品在月球表面所受的重力大小等于月球表面對樣品的支持力大小，由牛頓第三定律知，月球表面對樣品的支持力大小等于樣品對月球表面的壓力大小，則樣品對月球表面壓力大小等于它在月球表面的重力大小，故B錯誤；質(zhì)量是物體的固有屬性，樣品在不同過程中受到的引力不同，但質(zhì)量不變，故C錯誤；由于月球表面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的eq\f(1,6)，則樣品在月球表面的重力小于在地球表面的重力，所以樣品放置在月球背面時對月球的壓力，比放置在地球表面時對地球的壓力小，故D正確。6．利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，不能計算出地球質(zhì)量的是()A．地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉(zhuǎn))B．人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期C．月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離D．地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離答案：D解析：根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg可知，已知地球的半徑及重力加速度可計算出地球的質(zhì)量，A能；根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)及v＝eq\f(2πR,T)可知，已知人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期可計算出地球的質(zhì)量，B能；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可知，已知月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離，可計算出地球的質(zhì)量，C能；已知地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離只能求出太陽的質(zhì)量，不能求出地球的質(zhì)量，D不能。7．北京時間2019年4月10日21時，天文學家召開全球新聞發(fā)布會，宣布首次直接拍攝到黑洞的照片。黑洞是體積極小的天體，它的引力很大，連光都無法逃脫。若某黑洞表面的物體速度達到光速c時，恰好圍繞其表面做勻速圓周運動，已知該黑洞的半徑為R，引力常量為G，忽略相對論效應，則可推測這個黑洞的密度為()A．eq\f(3c2,4πGR2) B．eq\f(4c2,3πGR2)C．eq\f(3cR,4πG) D．eq\f(4cR,3πG)答案：A解析：設(shè)黑洞的質(zhì)量為M，則黑洞的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3M,4πR3)，物體繞黑洞表面做勻速圓周運動的速度為光速c，該物體的質(zhì)量為m，由萬有引力提供向心力有eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mc2,R)，聯(lián)立可得ρ＝eq\f(3c2,4πGR2)，故選A。[B組綜合提升練]8．(2021·全國甲卷)2021年2月，執(zhí)行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1．8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2．8×105m。已知火星半徑約為3．4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3．7m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m答案：C解析：設(shè)沿火星表面運動的衛(wèi)星的繞行周期為T0，則有Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T0)))eq\s\up12(2)R，在火星表面處有eq\f(GMm,R2)＝mg，聯(lián)立可得T0＝2πeq\r(\f(R,g))；設(shè)“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最近距離為d1，最遠距離為d2，則停泊軌道的半長軸為a＝eq\f(d1＋d2＋2R,2)，由開普勒第三定律可知eq\f(a3,T2)＝eq\f(R3,Teq\o\al(2,0))，由以上各式聯(lián)立，可得d2＝2eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－d1－2R≈6×107m，故C正確。9．(2024·山東高考)“鵲橋二號”中繼星環(huán)繞月球運行，其24小時橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為r，則月球與地球質(zhì)量之比可表示為()A．eq\r(\f(r3,a3)) B．eq\r(\f(a3,r3))C．eq\f(r3,a3) D．eq\f(a3,r3)答案：D解析：“鵲橋二號”中繼星在半長軸為a的橢圓軌道環(huán)繞月球運行時，周期T＝24h，根據(jù)開普勒第三定律可知，環(huán)繞月球以半徑a做勻速圓周運動的衛(wèi)星的周期也是T；設(shè)該月球衛(wèi)星質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力提供向心力，可得Geq\f(M月m,a2)＝meq\f(4π2,T2)a，設(shè)地球的同步衛(wèi)星質(zhì)量為m同，則根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(M地m同,r2)＝m同eq\f(4π2,T2)r，聯(lián)立可得eq\f(M月,M地)＝eq\f(a3,r3)，故D正確。10．一顆質(zhì)量均勻、可看作球體的小行星，其過去自轉(zhuǎn)對該行星表面重力的影響可以忽略。現(xiàn)該行星自轉(zhuǎn)加快，角速度為ω時，該行星表面“赤道”上的物體對行星的壓力減為過去的eq\f(2,3)。已知引力常量為G，則該行星的密度ρ為()A．eq\f(9ω2,8πG) B．eq\f(ω2,3πG)C．eq\f(3ω2,2πG) D．eq\f(9ω2,4πG)答案：D解析：該行星的自轉(zhuǎn)可以忽略時，由萬有引力定律、牛頓第三定律和平衡條件可得，質(zhì)量為m的物體對行星的壓力大小FN＝eq\f(GMm,R2)，當行星自轉(zhuǎn)角速度為ω時，由牛頓第三定律和牛頓第二定律有eq\f(GMm,R2)－eq\f(2,3)FN＝mRω2，行星的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，聯(lián)立解得ρ＝eq\f(9ω2,4πG)，故選D。11．理論上已經(jīng)證明：質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零?，F(xiàn)假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的實心球體，O為球心，以O(shè)為原點建立坐標軸Ox，如圖所示。一個質(zhì)量一定的質(zhì)點(假設(shè)它能夠在地球內(nèi)部移動)在x軸上各位置受到的引力大小用F表示，則F隨x的變化關(guān)系圖像正確的是()答案：A解析：根據(jù)題意，質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，當質(zhì)點在地球的內(nèi)部離球心x處時，受到地球的萬有引力即為半徑等于x的同心球體對質(zhì)點的萬有引力，所以F＝Geq\f(ρ·\f(4πx3,3)·m,x2)＝Geq\f(4πρm,3)x，其中ρ為地球的密度，m為質(zhì)點的質(zhì)量；當質(zhì)點在地球球面或球面以外，離球心x處時，地球可以看成質(zhì)量集中于球心的質(zhì)點，對質(zhì)點的萬有引力F＝Geq\f(Mm,x2)，其中M為地球的質(zhì)量。綜上所述，當x<R時，F(xiàn)與x成正比，當x≥R后，F(xiàn)與x的平方成反比，所以A正確。12．如圖甲所示，南京紫金山天文臺展示的每隔2h拍攝的某行星及其一顆衛(wèi)星的照片。小齊同學取向左為正方向，在圖甲照片上用刻度尺測得行星球心與衛(wèi)星之間的距離L如圖乙所示。已知該衛(wèi)星圍繞行星做勻速圓周運動，在圖甲照片上測得行星的直徑為2cm，引力常量為G＝6．67×10－11N·m2/kg2。下列說法正確的是()A．該衛(wèi)星圍繞行星運動的周期為T＝24hB．該衛(wèi)星圍繞行星運動的周期為T＝32hC．該行星的平均密度ρ＝5×103kg/m3D．該行星的平均密度ρ＝5×105kg/m3答案：C解析：由題圖乙可知，從t＝0時刻到t＝24h時刻衛(wèi)星繞行星轉(zhuǎn)動半周，則該衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動的周期為T＝2×24h＝48h，故A、B錯誤；照片上行星的半徑為R′＝1cm，照片上的軌道半徑r′＝10cm，設(shè)實際尺寸是照片上尺寸的k倍，則實際行星的半徑為R＝kR′，軌道半徑為r＝kr′，由萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，行星的體積為V＝eq\f(4,3)πR3，行星的密度為ρ＝eq\f(M,V)，聯(lián)立解得ρ＝5×103kg/m3，故C正確，D錯誤。13．(2023·遼寧高考)在地球上觀察，月球和太陽的角直徑(直徑對應的張角)近似相等，如圖所示。若月球繞地球運動的周期為T1，地球繞太陽運動的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為()A．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))eq\s\up12(2) B．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)C．eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))eq\s\up12(2) D．eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)答案：D解析：設(shè)月球繞地球運動的軌道半徑為r1，地球繞太陽運動的軌道半徑為r2，根據(jù)萬有引力提供向心力，可得Geq\f(m地m月,req\o\al(2,1))＝m月eq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))r1，Geq\f(m地m日,req\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,Teq\o\al(2,2))r2，由題圖中幾何關(guān)系可知eq\f(r1,r2)＝eq\f(R月,R日)，由題意可知R地＝kR月，又地球的平均密度ρ地＝eq\f(m地,\f(4,3)πReq\o\al(3,地))，太陽的平均密度ρ日＝eq\f(m日,\f(4,3)πReq\o\al(3,日))，聯(lián)立可得eq\f(ρ地,ρ日)＝eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)，故選D。[C組拔尖培優(yōu)練]14．(多選)某天文愛好者根據(jù)地球和木星的不同衛(wèi)星做圓周運動的半徑r與周期T，現(xiàn)作出如圖所示的圖像，圖線①中c的左側(cè)部分為虛線，圖線②中b的左側(cè)部分為虛線。已知引力常量為G，木星質(zhì)量大于地球質(zhì)量。下列說法正確的是()A．圖線①反映木星衛(wèi)星運動的規(guī)律B．地球的質(zhì)量為eq\f(4π2d,Gc)C．木星的密度為eq\f(3π,Gc)D．木星與地球的密度之比為eq\f(c,b)答案：AC解析：對于繞中心天體做圓周運動的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，得eq\f(r3,T2)＝eq\f(GM,4π2)，可知中心天體的質(zhì)量越大，圖線的斜率越大，因木星質(zhì)量大于地球質(zhì)量，故圖線①反映木星衛(wèi)星運動的規(guī)律，A正確；圖線②反映地球衛(wèi)星運動的規(guī)律，故eq\f(a,b)＝eq\f(GM地,4π2)，解得地球的質(zhì)量M地＝eq\f(4π2a,Gb)，同理可得，木星的質(zhì)量M木＝eq\f(4π2d,Gc)，圖線①中c的左側(cè)部分為虛線，故木星的半徑的三次方Req\o\al(3,木)＝d，木星的密度ρ木＝eq\f(M木,\f(4,3)πReq\o\al(3,木))＝eq\f(3π,Gc)，同理可得，地球的密度ρ地＝eq\f(3π,Gb)，故木星與地球的密度之比eq\f(ρ木,ρ地)＝eq\f(b,c)，C正確，B、D錯誤。第講人造衛(wèi)星宇宙速度(對應人教版必修第二冊相關(guān)內(nèi)容及問題)第七章第4節(jié)閱讀“宇宙速度”這一部分內(nèi)容，發(fā)射地球衛(wèi)星的最小速度是多少？有哪兩種計算方法？提示：7．9km/s。方法一：eq\f(Gm地m,R2)＝eq\f(mv2,R)，v＝eq\r(\f(Gm地,R))＝7．9km/s；方法二：mg＝eq\f(mv2,R)，v＝eq\r(gR)＝7．9km/s。第七章第4節(jié)[科學漫步]，黑洞的特點是什么？提示：黑洞是引力非常大的天體，光以3×108m/s的速度都不能從其表面逃逸。第七章[復習與提高]B組T4。提示：4h。地球自轉(zhuǎn)周期變小，衛(wèi)星要與地球保持同步，則衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期也應隨之變小，由eq\f(Gm地m,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得T＝eq\r(\f(4π2r3,Gm地))，故衛(wèi)星與地球間的距離變小。要想僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)地球赤道上任意兩點之間保持無線電通信的目的，最小的軌道半徑對應的幾何關(guān)系為衛(wèi)星連線正好和地球相切，如圖所示。由幾何關(guān)系可推出最小半徑，從而得到最小周期?？键c一衛(wèi)星運動參量的分析1．環(huán)繞天體(衛(wèi)星)運行問題分析將環(huán)繞天體或衛(wèi)星的運動看成eq\x(\s\up1(01))勻速圓周運動時，其所需向心力由中心天體對其的eq\x(\s\up1(02))萬有引力提供。2．物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律Geq\f(Mm,r2)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\x(\s\up1(03))\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\x(\s\up1(04))\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\x(\s\up1(05))\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\x(\s\up1(06))\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))即r越大，v、ω、aeq\x(\s\up1(07))越小，Teq\x(\s\up1(08))越大。(越高越慢)拓展：天體對其表面的物體的萬有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg或gR2＝GM(R、g分別是天體的半徑、表面重力加速度)，公式gR2＝GM應用廣泛，被稱為“黃金代換”。3．人造衛(wèi)星衛(wèi)星運行的軌道平面一定通過地心，一般分為赤道軌道、極地軌道和其他軌道。(1)極地衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋。(2)地球同步衛(wèi)星①其中的靜止衛(wèi)星，軌道平面與eq\x(\s\up1(09))赤道共面，且與地球自轉(zhuǎn)的方向相同。②周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝eq\x(\s\up1(10))24h＝86400s。③角速度大小一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度大小相同。④高度一定：據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))＝4．23×104km，衛(wèi)星離地面高度h＝r－R≈6R(為恒量)。(3)近地衛(wèi)星近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7．9km/s。1．人造地球衛(wèi)星繞地球運動，其軌道平面一定過地心。()2．地球同步衛(wèi)星一定在赤道的正上方。()答案：1．√2．×例1(2025·陜西省安康市高三上期中)地球可看作半徑為R的均質(zhì)球體，已知地球同步衛(wèi)星距地面的高度為h，地球表面的重力加速度大小為g(不考慮地球自轉(zhuǎn)造成的影響)，則地球同步衛(wèi)星繞地球做圓周運動的環(huán)繞速度為()A．eq\r(gR) B．eq\r(gh)C．eq\r(\f(gR2,R＋h)) D．eq\r(\f(gh2,R＋h))[答案]C[解析]設(shè)地球的質(zhì)量為M，對地球表面一質(zhì)量為m′的物體，有eq\f(GMm′,R2)＝m′g，可得GM＝gR2，設(shè)同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m，由萬有引力提供向心力可得eq\f(GMm,（R＋h）2)＝meq\f(v2,R＋h)，可得地球同步衛(wèi)星繞地球做圓周運動的環(huán)繞速度為v＝eq\r(\f(GM,R＋h))＝eq\r(\f(gR2,R＋h))，故選C。例2(2024·遼寧省遼陽市高三下第一次模擬)(多選)設(shè)想將來發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，其繞地球運行的軌道半徑是月球繞地球運行軌道半徑的eq\f(1,4)。該衛(wèi)星與月球繞地球做勻速圓周運動時的()A．周期之比為1∶8 B．線速度大小之比為8∶1C．向心加速度大小之比為16∶1 D．角速度之比為4∶1[答案]AC[解析]對繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星和月球，根據(jù)萬有引力提供向心力可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r＝meq\f(v2,r)＝ma＝mω2r，可知T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，v＝eq\r(\f(GM,r))，a＝eq\f(GM,r2)，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，則周期之比為eq\f(T,T月)＝eq\r(\f(r3,req\o\al(3,月)))＝eq\f(1,8)，線速度大小之比為eq\f(v,v月)＝eq\r(\f(r月,r))＝eq\f(2,1)，向心加速度大小之比為eq\f(a,a月)＝eq\f(req\o\al(2,月),r2)＝eq\f(16,1)，角速度之比為eq\f(ω,ω月)＝eq\r(\f(req\o\al(3,月),r3))＝eq\f(8,1)，故A、C正確，B、D錯誤。例3(教科版必修第二冊·第三章[本章復習題]T3改編)經(jīng)國際小行星命名委員會命名的“神舟星”和“楊利偉星”的軌道均處在火星和木星軌道之間，已知“神舟星”平均每天繞太陽運行174萬公里，“楊利偉星”平均每天繞太陽運行145萬公里，假設(shè)兩行星均繞太陽做勻速圓周運動，則兩星相比較()A．“神舟星”的軌道半徑大B．“神舟星”的公轉(zhuǎn)周期大C．“神舟星”的加速度大D．“神舟星”受到的向心力大[答案]C[解析]由題意可知，相同時間t內(nèi)，“神舟星”繞太陽運行的弧長較“楊利偉星”的弧長長，根據(jù)v＝eq\f(l,t)知，兩星相比較，“神舟星”的線速度v大，設(shè)太陽質(zhì)量為M，行星質(zhì)量為m，行星軌道半徑為r，根據(jù)萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得r＝eq\f(GM,v2)，則“神舟星”的軌道半徑小，A錯誤；根據(jù)T＝eq\f(2πr,v)知，“神舟星”的軌道半徑小，線速度大，則“神舟星”的公轉(zhuǎn)周期小，B錯誤；根據(jù)a＝eq\f(v2,r)知，“神舟星”的加速度大，C正確；兩行星質(zhì)量大小關(guān)系未知，故無法比較兩星受到的向心力的大小，D錯誤。例4有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星：a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球表面一起轉(zhuǎn)動；b在地球的近地圓軌道上正常運行；c是地球同步衛(wèi)星；d是高空探測衛(wèi)星。各衛(wèi)星排列位置如圖，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)的向心加速度大于b的向心加速度B．四顆衛(wèi)星的速度大小關(guān)系是：va＞vb＞vc＞vdC．在相同時間內(nèi)d轉(zhuǎn)過的弧長最長D．d的運動周期可能是30h[答案]D[解析]由題意可知，衛(wèi)星a、c的角速度相同，根據(jù)an＝ω2r，可知a的向心加速度小于c；b、c是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力有：Geq\f(Mm,r2)＝man，得：an＝eq\f(GM,r2)，可知b的向心加速度大于c；綜上分析可知，a的向心加速度小于b的向心加速度，故A錯誤。因為a、c的角速度相同，根據(jù)v＝ωr，可知a的速度大小小于c，即va＜vc；b、c、d是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力有：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得：v＝eq\r(\f(GM,r))，因rb＜rc＜rd，則vb＞vc＞vd，故B錯誤。因b的線速度最大，則在相同時間內(nèi)b轉(zhuǎn)過的弧長最長，故C錯誤。c、d是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力有：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得：T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因d的軌道半徑大于c的軌道半徑，則d的周期大于c，而c的周期是24h，則d的運動周期可能是30h，故D正確?？键c二宇宙速度1．第一宇宙速度(1)第一宇宙速度數(shù)值為eq\x(\s\up1(01))7．9km/s。(2)第一宇宙速度是物體在eq\x(\s\up1(02))地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動時具有的速度。(3)第一宇宙速度是在地面附近發(fā)射飛行器，使飛行器成為繞地球運動的人造地球衛(wèi)星的最小eq\x(\s\up1(03))發(fā)射速度，也是飛行器環(huán)繞地球運動的最大eq\x(\s\up1(04))環(huán)繞速度。(4)第一宇宙速度的計算方法①由Geq\f(mm地,R2)＝meq\f(v2,R)，解得：v＝eq\x(\s\up1(05))eq\r(\f(Gm地,R))；②由mg＝meq\f(v2,R)，解得：v＝eq\x(\s\up1(06))eq\r(gR)。拓展：第一宇宙速度的公式不僅適用于地球，也適用于其他星球，只是M、R、g必須與相應星球?qū)?，不能套用地球的參?shù)。2．第二宇宙速度在地面附近發(fā)射飛行器，使飛行器掙脫eq\x(\s\up1(07))地球引力束縛，永遠離開地球的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為eq\x(\s\up1(08))11．2km/s。3．第三宇宙速度在地面附近發(fā)射飛行器，使飛行器掙脫eq\x(\s\up1(09))太陽引力束縛，飛到太陽系外的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為eq\x(\s\up1(10))16．7km/s。1．地球同步衛(wèi)星的運行速度一定小于地球第一宇宙速度。()2．發(fā)射火星探測器的速度必須大于11．2km/s。()答案：1．√2．√例5(2025·八省聯(lián)考四川卷)我國某研究團隊提出以磁懸浮旋轉(zhuǎn)拋射為核心的航天器發(fā)射新技術(shù)。已知地球和月球質(zhì)量之比約為81∶1，半徑之比約為4∶1。若在地球表面拋射繞地航天器，在月球表面拋射繞月航天器，所需最小拋射速度的比值約為()A．20 B．6C．4．5 D．1．9[答案]C[解析]要拋射航天器，所需要的最小速度為中心天體的第一宇宙速度，對在中心天體表面環(huán)繞飛行的航天器，根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得中心天體的第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，結(jié)合題意可得地球和月球的第一宇宙速度之比為eq\f(v地,v月)＝eq\r(\f(M地,M月)×\f(R月,R地))＝eq\r(\f(81,1)×\f(1,4))＝4．5，即所需最小拋射速度的比值約為4．5，故選C。例6第73屆國際宇航大會于2022年9月18日至22日在法國巴黎舉行，我國“天問一號”火星探測團隊獲得了2022年度“世界航天獎”?！疤靻栆惶枴被鹦翘綔y器的發(fā)射速度()A．大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度B．小于第一宇宙速度C．只有達到第三宇宙速度才可以D．大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度[答案]D[解析]火星探測器前往火星，脫離了地球引力束縛，但還是在太陽系內(nèi)飛行，所以發(fā)射速度應該大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度，D正確?？键c三相對論時空觀與牛頓力學的局限性1．相對論時空觀(1)愛因斯坦的兩個假設(shè)：在不同的慣性參考系中，物理規(guī)律的形式都是eq\x(\s\up1(01))相同的；真空中的光速在不同的慣性參考系中大小都是eq\x(\s\up1(02))相同的。(2)同時的相對性：根據(jù)愛因斯坦的假設(shè)，如果兩個事件在一個參考系中是同時的，在另一個參考系中eq\x(\s\up1(03))不一定是同時的。(3)愛因斯坦假設(shè)的結(jié)果①時間延緩效應如果相對于地面以v運動的慣性參考系上的人觀察到與其一起運動的物體完成某個動作的時間間隔為Δτ，地面上的人觀察到該物體完成這個動作的時間間隔為Δt，那么兩者之間的關(guān)系是Δt＝eq\x(\s\up1(04))eq\f(Δτ,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))\s\up12(2)))。②長度收縮效應如果與桿相對靜止的人測得桿長是l0，沿著桿的方向，以v相對桿運動的人測得桿長是l，那么兩者之間的關(guān)系是l＝eq\x(\s\up1(05))l0eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))\s\up12(2))。2．牛頓力學的成就與局限性(1)牛頓力學的成就牛頓力學的基礎(chǔ)是eq\x(\s\up1(06))牛頓運動定律。牛頓力學在eq\x(\s\up1(07))宏觀、eq\x(\s\up1(08))低速的廣闊領(lǐng)域里與實際相符，顯示了牛頓運動定律的正確性和牛頓力學的魅力。(2)牛頓力學的局限性①物體在以接近eq\x(\s\up1(09))光速運動時所遵從的規(guī)律，有些是與牛頓力學的結(jié)論并不相同的。②電子、質(zhì)子、中子等微觀粒子不僅具有粒子性，同時還具有eq\x(\s\up1(10))波動性，它們的運動規(guī)律在很多情況下不能用牛頓力學來說明，而eq\x(\s\up1(11))量子力學能夠很好地描述微觀粒子運動的規(guī)律。③基于實驗檢驗的牛頓力學不會被新的科學成就所否定，而是作為某些條件下的eq\x(\s\up1(12))特殊情形，被包括在新的科學成就之中。當物體的運動速度eq\x(\s\up1(13))遠小于光速c時，eq\x(\s\up1(14))相對論物理學與牛頓力學的結(jié)論沒有區(qū)別；當另一個重要常數(shù)即普朗克常量h可以忽略不計時，eq\x(\s\up1(15))量子力學和牛頓力學的結(jié)論沒有區(qū)別。相對論與量子力學都沒有否定過去的科學，而只認為過去的科學是自己在eq\x(\s\up1(16))一定條件下的特殊情形。課時作業(yè)[A組基礎(chǔ)鞏固練]1．(2025·甘肅省天水市高三上月考)2023年5月17日10時49分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征三號”乙運載火箭，成功發(fā)射第五十六顆北斗導航衛(wèi)星，該衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，距離地球表面的高度為h。已知地球的質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G，下列說法正確的是()A．該衛(wèi)星的環(huán)繞速度為eq\f(\r(GM),R＋h)B．該衛(wèi)星的加速度大小為eq\f(GM,R＋h)C．該衛(wèi)星的角速度為eq\r(\f(GM,（R＋h）3))D．該衛(wèi)星的周期為4π2(R＋h)eq\r(\f(R＋h,GM))答案：C解析：設(shè)該衛(wèi)星的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝meq\f(v2,R＋h)＝ma＝mω2·(R＋h)，解得該衛(wèi)星的環(huán)繞速度為v＝eq\r(\f(GM,R＋h))，加速度大小為a＝eq\f(GM,（R＋h）2)，角速度為ω＝eq\r(\f(GM,（R＋h）3))，故A、B錯誤，C正確；該衛(wèi)星的周期為T＝eq\f(2π,ω)＝2πeq\r(\f(（R＋h）3,GM))，故D錯誤。2．(2024·貴州高考)土星的部分衛(wèi)星繞土星的運動可視為勻速圓周運動，其中的兩顆衛(wèi)星軌道半徑分別為r1、r2，且r1≠r2，向心加速度大小分別為a1、a2，則()A．eq\f(a1,r1)＝eq\f(a2,r2) B．eq\f(a1,req\o\al(2,1))＝eq\f(a2,req\o\al(2,2))C．a(chǎn)1r1＝a2r2 D．a(chǎn)1req\o\al(2,1)＝a2req\o\al(2,2)答案：D解析：設(shè)土星的質(zhì)量為M，兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量分別為m1、m2，對于兩顆衛(wèi)星，根據(jù)牛頓第二定律分別有Geq\f(Mm1,req\o\al(2,1))＝m1a1，Geq\f(Mm2,req\o\al(2,2))＝m2a2，整理可得a1req\o\al(2,1)＝a2req\o\al(2,2)，故選D。3．(2023·江蘇高考)設(shè)想將來發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，能在月球繞地球運動的軌道上穩(wěn)定運行，該軌道可視為圓軌道。該衛(wèi)星與月球相比，一定相等的是()A．質(zhì)量 B．向心力大小C．向心加速度大小 D．受到地球的萬有引力大小答案：C解析：設(shè)地球質(zhì)量為M，質(zhì)量為m的物體以半徑r繞地球做勻速圓周運動時，根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)。因該衛(wèi)星與月球的軌道半徑相同，可知向心加速度大小一定相等；由地球?qū)υ虑蚣靶l(wèi)星的萬有引力分別提供月球及衛(wèi)星繞地球勻速圓周運動的向心力，并結(jié)合題設(shè)條件、萬有引力定律可知，C正確，A、B、D錯誤。4．(2025·廣東省高三上12月聯(lián)考)“戴森環(huán)”是人類為了解決地球能源危機提出的一種科學構(gòu)想，它通過一系列搭載太陽能接收器的衛(wèi)星來接收能量，并且這些衛(wèi)星布置在同一個繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道上。若這些衛(wèi)星繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道是半徑為0．4AU(1AU代表地球到太陽中心的距離)的圓周，則下列說法正確的是()A．這些衛(wèi)星的發(fā)射速度要小于11．2km/sB．這些衛(wèi)星公轉(zhuǎn)的加速度為地球公轉(zhuǎn)加速度的0．4倍C．這些衛(wèi)星公轉(zhuǎn)的線速度為地球公轉(zhuǎn)線速度的2．5倍D．這些衛(wèi)星公轉(zhuǎn)的周期約為0．25年答案：D解析：發(fā)射的衛(wèi)星需克服地球的引力，離開地球圍繞太陽做圓周運動，衛(wèi)星的發(fā)射速度要大于地球第二宇宙速度11．2km/s，故A錯誤；對繞太陽公轉(zhuǎn)的星體，根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得公轉(zhuǎn)的加速度a＝eq\f(GM,r2)，由題意知這些衛(wèi)星的軌道半徑為地球軌道半徑的0．4倍，故這些衛(wèi)星公轉(zhuǎn)的加速度為地球公轉(zhuǎn)加速度的eq\f(25,4)倍，故B錯誤；同理，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得星體繞太陽公轉(zhuǎn)的線速度v＝eq\r(\f(GM,r))，則這些衛(wèi)星公轉(zhuǎn)的線速度為地球公轉(zhuǎn)線速度的eq\f(\r(10),2)倍，故C錯誤；根據(jù)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，可得這些衛(wèi)星公轉(zhuǎn)的周期T衛(wèi)＝0．4eq\s\up6(\f(3,2))T地≈0．25年，故D正確。5．(2023·新課標卷)2023年5月，世界現(xiàn)役運輸能力最大的貨運飛船天舟六號，攜帶約5800kg的物資進入距離地面約400km(小于地球同步衛(wèi)星與地面的距離)的軌道，順利對接中國空間站后近似做勻速圓周運動。對接后，這批物資()A．質(zhì)量比靜止在地面上時小B．所受合力比靜止在地面上時小C．所受地球引力比靜止在地面上時大D．做圓周運動的角速度大小比地球自轉(zhuǎn)角速度大答案：D解析：根據(jù)相對論可知，物體的質(zhì)量會隨著它運動速度的增大而增大，但物體在低速(速度遠小于光速)條件下質(zhì)量可視為保持不變，即對接后，這批物資的質(zhì)量和靜止在地面上時相同，A錯誤；對接后，這批物資近似做勻速圓周運動，所受合力提供向心力，而靜止在地面上時所受合力為零，所以對接后，這批物資所受合力比靜止在地面上時大，B錯誤；由萬有引力定律可知，對接后，這批物資與地心的距離比靜止在地面上時大，則所受地球引力比靜止在地面上時小，C錯誤；物體繞地球做勻速圓周運動時，萬有引力提供向心力，有eq\f(GMm,r2)＝mω2r，解得角速度ω＝eq\r(\f(GM,r3))，對接后，這批物資的軌道半徑比地球同步衛(wèi)星小，因此這批物資做圓周運動的角速度大小比地球同步衛(wèi)星大，又地球同步衛(wèi)星做圓周運動的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，故這批物資做圓周運動的角速度大小比地球自轉(zhuǎn)角速度大，D正確。6．(2024·廣西貴港市高三下二模)2024年2月23日，“長征五號”遙七運載火箭搭載通信技術(shù)試驗衛(wèi)星十一號發(fā)射成功，被譽為龍年首發(fā)。衛(wèi)星進入地球同步軌道后，主要用于開展多頻段、高速率衛(wèi)星通信技術(shù)驗證。設(shè)地球同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，下列說法中正確的是()A．地球同步衛(wèi)星可以靜止在北京上空B．同步衛(wèi)星的運行速度是第一宇宙速度的eq\r(\f(1,n))C．同步衛(wèi)星的運行速度是地球赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)獲得的速度的eq\f(1,n)D．若忽略地球的自轉(zhuǎn)，則同步衛(wèi)星的向心加速度是地球表面重力加速度的eq\f(1,n)答案：B解析：地球同步衛(wèi)星只會靜止在赤道上空，不可能靜止在北京上空，故A錯誤；對于繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，則同步衛(wèi)星的運行速度與第一宇宙速度的比值為eq\f(v同,v1)＝eq\f(\r(\f(GM,nR)),\r(\f(GM,R)))＝eq\r(\f(1,n))，故B正確；同步衛(wèi)星、地球赤道上物體角速度相同，根據(jù)v＝ωr，則同步衛(wèi)星的運行速度與地球赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)獲得的速度的比值為eq\f(v同,v物)＝eq\f(ω×nR,ωR)＝n，故C錯誤；對地球表面質(zhì)量為m′的物體，根據(jù)萬有引力與重力的關(guān)系有Geq\f(Mm′,R2)＝m′g，對于地球同步衛(wèi)星，根據(jù)牛頓第二定律有Geq\f(Mm同,（nR）2)＝m同a，則同步衛(wèi)星的向心加速度與地球表面重力加速度的比值eq\f(a,g)＝eq\f(1,n2)，故D錯誤。7．(2025·河北名校11月聯(lián)合測評)2024年5月8日，嫦娥六號探測器在北京航天飛行控制中心的精確控制下，成功實施近月制動，順利進入環(huán)月軌道飛行。嫦娥六號探測器的環(huán)月軌道飛行可看作勻速圓周運動，運動周期為T。已知月球質(zhì)量與地球質(zhì)量的比值為p，月球半徑與地球半徑的比值為q，地球半徑為R，地球表面的重力加速度大小為g，引力常量為G，忽略地球和月球的自轉(zhuǎn)，則下列說法正確的是()A．嫦娥六號探測器發(fā)射的速度應大于地球的第二宇宙速度小于地球的第三宇宙速度B．嫦娥六號探測器環(huán)月軌道距月球表面的高度為eq\r(\f(pgR2T2,4π2))－qRC．月球的第一宇宙速度大小為eq\r(\f(pgR,q))D．月球表面的重力加速度大小為eq\f(qg,p2)答案：C解析：月球是地球的衛(wèi)星，則環(huán)繞月球飛行的嫦娥六號探測器沒有脫離地球引力束縛，所以嫦娥六號探測器發(fā)射的速度應大于地球的第一宇宙速度小于地球的第二宇宙速度，故A錯誤；設(shè)嫦娥六號探測器環(huán)月軌道距月球表面的高度為h，地球質(zhì)量為M，嫦娥六號探測器質(zhì)量為m，對在地球表面上質(zhì)量為m0的物體，忽略地球自轉(zhuǎn)后，萬有引力等于重力，有Geq\f(Mm0,R2)＝m0g，嫦娥六號探測器在環(huán)月軌道做勻速圓周運動，有Geq\f(pMm,（qR＋h）2)＝m(qR＋h)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)，聯(lián)立解得h＝eq\r(3,\f(pgR2T2,4π2))－qR，故B錯誤；設(shè)月球的第一宇宙速度大小為v，對在月球表面環(huán)繞飛行、質(zhì)量為m2的物體，由萬有引力提供向心力有Geq\f(pMm2,（qR）2)＝m2eq\f(v2,qR)，聯(lián)立解得v＝eq\r(\f(pgR,q))，故C正確；對在月球表面上質(zhì)量為m3的物體，忽略月球自轉(zhuǎn)后，萬有引力等于重力，有Geq\f(pMm3,（qR）2)＝m3g月，聯(lián)立解得月球表面的重力加速度大小g月＝eq\f(pg,q2)，故D錯誤。8．(2024·北京市昌平區(qū)高三下二模)研究表明，2000年來地球自轉(zhuǎn)周期累計慢了2個多小時。假設(shè)這種趨勢持續(xù)下去，地球其他條件不變，未來人類發(fā)射的地球同步衛(wèi)星與現(xiàn)在相比()A．距地面的高度變小 B．向心加速度變大C．線速度變小 D．角速度變大答案：C解析：對于地球同步衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，地球自轉(zhuǎn)周期變大，則地球同步衛(wèi)星軌道半徑變大，距地面的高度變大，故A錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r，解得a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，地球同步衛(wèi)星軌道半徑變大，則向心加速度變小，線速度變小，角速度變小，故C正確，B、D錯誤。[B組綜合提升練]9．(2023·廣東高考)如圖a所示，太陽系外的一顆行星P繞恒星Q做勻速圓周運動。由于P的遮擋，探測器探測到Q的亮度隨時間做如圖b所示的周期性變化，該周期與P的公轉(zhuǎn)周期相同。已知Q的質(zhì)量為M，引力常量為G，關(guān)于P的公轉(zhuǎn)，下列說法正確的是()A．周期為2t1－t0 B．半徑為eq\r(3,\f(GM（t1－t0）2,4π2))C．角速度的大小為eq\f(π,t1－t0) D．加速度的大小為eq\r(3,\f(2πGM,t1－t0))答案：B解析：由圖b可知，探測器探測到Q的亮度的變化周期為T＝t1－t0，則P的公轉(zhuǎn)周期也為T＝t1－t0，A錯誤；根據(jù)萬有引力提供P繞Q做勻速圓周運動的向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得P公轉(zhuǎn)的半徑為r＝eq\r(3,\f(GM（t1－t0）2,4π2))，故B正確；P公轉(zhuǎn)的角速度大小為ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,t1－t0)，故C錯誤；P公轉(zhuǎn)的加速度大小為a＝ω2r＝eq\f(2π,t1－t0)eq\r(3,\f(2πGM,t1－t0))，故D錯誤。10．(2024·河北省張家口市高三下一模)2023年12月26日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運載火箭與遠征一號上面級，成功發(fā)射第五十七顆、五十八顆北斗導航衛(wèi)星，該組衛(wèi)星是我國北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)建成開通后發(fā)射的首組中圓地球軌道衛(wèi)星(MEO衛(wèi)星)，MEO衛(wèi)星運行的周期為T1。已知地球第一宇宙速度為v，近地衛(wèi)星運行的周期為T2，衛(wèi)星繞地球的運動視為勻速圓周運動。則該組衛(wèi)星在軌道上運行的線速度為()A．veq\r(3,\f(T1,T2)) B．veq\r(3,\f(T2,T1))C．eq\f(vT2,T1) D．eq\f(vT1,T2)答案：B解析：對于繞地球做圓周運動的衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，消去r可得v3T＝2πGM，則該組衛(wèi)星在軌道上運行的線速度v′滿足v3T2＝v′3T1，解得v′＝veq\r(3,\f(T2,T1))，B正確。11．北京時間2019年4月10日晚21點，人類史上首張黑洞照片面世。黑洞的概念是：如果將大量物質(zhì)集中于空間一點，其周圍會產(chǎn)生奇異的現(xiàn)象，即在質(zhì)點周圍存在一個界面——事件視界面，一旦進入界面，即使光也無法逃脫，黑洞的第二宇宙速度大于光速。把上述天體周圍事件視界面看作球面，球面的半徑稱為史瓦西半徑。已知地球的半徑約為6400km，地球的第一宇宙速度為7．9km/s，天體的第二宇宙速度是第一宇宙速度的eq\r(2)倍，光速為3．0×108m/s，假設(shè)地球保持質(zhì)量不變收縮成黑洞，則地球黑洞的史瓦西半徑最接近()A．1mm B．1cmC．1m D．1km答案：B解析：設(shè)地球半徑為R，由eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mveq\o\al(2,1),R)可知地球的第一宇宙速度v1＝eq\r(\f(GM,R))；當?shù)厍蚴湛s成黑洞時，設(shè)史瓦西半徑為R0，根據(jù)題意，這時的第二宇宙速度v2′＝eq\r(2)v1′＝eq\r(\f(2GM,R0))＝c，聯(lián)立可得R0＝eq\f(2veq\o\al(2,1),c2)R，代入數(shù)據(jù)得R0≈9×10－3m≈1cm，B正確。12．目前在軌的中國空間站“天和”核心艙是迄今為止我國發(fā)射的最大航天器，也是世界上現(xiàn)役航天器中最大的單體。若空間站繞地球做勻速圓周運動，它與地心的連線在單位時間內(nèi)掃過的面積為S。已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度大小為g，則空間站的運行速率為()A．eq\f(gR2,2S) B．eq\f(4S2,gR2)C．eq\f(gR2,4S) D．eq\f(2S,gR2)答案：A解析：設(shè)空間站的軌道半徑為r，質(zhì)量為m，運行速率為v，地球質(zhì)量為M，由扇形面積公式可知，單位時間內(nèi)空間站與地心連線掃過的面積為S＝eq\f(1,2)vr，由萬有引力提供向心力可知Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，對于質(zhì)量為m′的物體，其在地球表面受到的重力近似等于地球引力，有m′g＝Geq\f(Mm′,R2)，聯(lián)立解得v＝eq\f(gR2,2S)，故B、C、D錯誤，A正確。13．(2023·浙江6月選考)木星的衛(wèi)星中，木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三做圓周運動的周期之比為1∶2∶4。木衛(wèi)三周期為T，公轉(zhuǎn)軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r的n倍。月球繞地球公轉(zhuǎn)周期為T0，則()A．木衛(wèi)一軌道半徑為eq\f(n,16)rB．木衛(wèi)二軌道半徑為eq\f(n,2)rC．周期T與T0之比為neq\s\up6(\f(3,2))D．木星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為eq\f(Teq\o\al(2,0),T2)n3答案：D解析：對環(huán)繞質(zhì)量為M的行星做圓周運動的質(zhì)量為m的衛(wèi)星，設(shè)其軌道半徑為r′，公轉(zhuǎn)周期為T′，根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r′2)＝meq\f(4π2,T′2)r′，可得M＝eq\f(4π2r′3,GT′2)。已知木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三均繞木星做圓周運動，周期之比為T1∶T2∶T3＝1∶2∶4，可得木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三的軌道半徑之比為r1∶r2∶r3＝1∶eq\r(3,4)∶eq\r(3,16)，又r3＝nr，則木衛(wèi)一軌道半徑為r1＝eq\f(nr,\r(3,16))，木衛(wèi)二軌道半徑為r2＝eq\f(nr,\r(3,16))×eq\r(3,4)＝eq\f(nr,\r(3,4))，故A、B錯誤；由M＝eq\f(4π2r′3,GT′2)得T′＝eq\r(\f(4π2r′3,GM))，則eq\f(T,T0)＝eq\r(\f(（nr）3,M木))·eq\r(\f(M地,r3))＝neq\s\up6(\f(3,2))eq\r(\f(M地,M木))，C錯誤；由M＝eq\f(4π2r′3,GT′2)可知，eq\f(M木,M地)＝eq\f(（nr）3,T2)·eq\f(Teq\o\al(2,0),r3)＝eq\f(Teq\o\al(2,0),T2)n3，D正確。[C組拔尖培優(yōu)練]14．(2025·山東省聊城市臨清市實驗中學高三上期中)(多選)航天員進入空間站繞地球做圓周運動時，由于地球遮擋陽光，會經(jīng)歷“日全食”過程。已知地球半徑為R，地球質(zhì)量為M，引力常量為G，地球自轉(zhuǎn)周期為T0，太陽光可看作平行光。如圖所示，某航天員在A點測出她對地球的張角為2θ，OA與太陽光平行，下列說法正確的是()A．空間站距地面的高度為eq\f(R,sinθ)－RB．空間站的運行周期為2πReq\r(\f(R,GMsinθ))C．航天員每次經(jīng)歷“日全食”過程的時間為eq\f(2Rθ,sinθ)eq\r(\f(R,GMsinθ))D．航天員每天經(jīng)歷“日全食”的次數(shù)為eq\f(T0sinθ,πR)eq\r(\f(GMsinθ,R))答案：AC解析：空間站繞地球做勻速圓周運動，設(shè)空間站的軌道半徑為r，由幾何關(guān)系知sinθ＝eq\f(R,r)，空間站距地面的高度為h＝r－R＝eq\f(R,sinθ)－R，故A正確；萬有引力提供向心力，則eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)，聯(lián)立解得T＝eq\f(2πR,sinθ)eq\r(\f(R,GMsinθ))，故B錯誤；地球自轉(zhuǎn)周期為T0，空間站繞地球一圈時間為T，空間站繞地球一圈會有一次“日全食”，因此，一天內(nèi)空間站經(jīng)歷“日全食”的次數(shù)為n＝eq\f(T0,T)＝eq\f(T0sinθ,2πR)eq\r(\f(GMsinθ,R))，D錯誤；如圖所示，由幾何關(guān)系可知，空間站在每次“日全食”過程的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度α＝2θ，則每次“日全食”過程的時間為t＝eq\f(α,2π)T＝eq\f(2Rθ,sinθ)eq\r(\f(R,GMsinθ))，故C正確。第講專題：天體運動的三個綜合問題考點一天體的“追及相遇”問題1．天體“追及相遇”問題的理解天體“追及相遇”，指兩天體在各自軌道繞中心天體公轉(zhuǎn)時，周期性地追趕至相距最近。以地球和太陽系內(nèi)其他某地外行星為例，某時刻行星與地球最近(“行星沖日”)，此時行星、地球與太陽三者共線且行星和地球的運轉(zhuǎn)方向相同，如圖甲所示，根據(jù)eq\f(GMm,r2)＝mω2r可知，地球公轉(zhuǎn)的角速度ω1較大，行星公轉(zhuǎn)的角速度ω2較小，地球與行星的距離再次最小時，地球比行星多轉(zhuǎn)一圈。2．解決天體“追及相遇”問題的兩種方法(1)根據(jù)角度關(guān)系列式設(shè)從圖甲位置至又相距最近所用時間為t，則ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3，…)可解得t＝eq\f(2nπ,ω1－ω2)(n＝1，2，3，…)。(2)根據(jù)圈數(shù)關(guān)系列式設(shè)從圖甲位置至又相距