2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)培優(yōu)易錯難題(含解析)之平行四邊形一、平行四邊形1．（1）、動手操作：如圖①：將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，折痕為EF，若∠ABE＝20°，那么的度數(shù)為.（2）、觀察發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖②）；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖③）．小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．（3）、實踐與運(yùn)用：將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF，折痕與AD邊交于點(diǎn)E，與BC邊交于點(diǎn)F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)D都與點(diǎn)F重合，展開紙片，此時恰好有MP＝MN＝PQ（如圖④），求∠MNF的大小.【答案】（1）125°；（2）同意；（3）60°【解析】試題分析：（1）根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求得∠AEB=70°，根據(jù)折疊重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EFC=125°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠EFC′=∠EFC=125°；（2）根據(jù)第一次折疊，得∠BAD=∠CAD；根據(jù)第二次折疊，得EF垂直平分AD，根據(jù)等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，則△AEF是等腰三角形；（3）由題意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，MF=NF，由對稱性可知，MF=PF，進(jìn)而得出△MNF≌△MPF，得出3∠MNF=180°求出即可．試題解析：（1）、∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°，∴∠AEB=70°，∴∠BED=110°，根據(jù)折疊重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．∵AD∥BC，∴∠EFC=125°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠EFC′=∠EFC=125°．；（2）、同意，如圖，設(shè)AD與EF交于點(diǎn)G由折疊知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．由折疊知，∠AGE=∠DGE=90°，所以∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，即△AEF為等腰三角形．（3）、由題意得出：∠NMF＝∠AMN＝∠MNF，∴MF＝NF，由折疊可知，MF＝PF，∴NF＝PF，而由題意得出：MP＝MN，又∵M(jìn)F＝MF，∴△MNF≌△MPF，∴∠PMF＝∠NMF，而∠PMF＋∠NMF＋∠MNF＝180°，即3∠MNF＝180°，∴∠MNF＝60°.考點(diǎn)：1.折疊的性質(zhì)；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.等腰三角形的判定2．如圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動時，求證：△PDH的周長是定值；（3）當(dāng)BE+CF的長取最小值時，求AP的長．【答案】（1）證明見解析．（2）證明見解析．（3）2．【解析】試題分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先證明△ABP≌△QBP，進(jìn)而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB，證明△EFM≌△BPA，設(shè)AP=x，利用折疊的性質(zhì)和勾股定理的知識用x表示出BE和CF，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值．試題解析：（1）解：如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．（2）證明：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q．由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，在△ABP和△QBP中，，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP=QP，AB=BQ，又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∠C=∠BQH=90°，BH=BH，在△BCH和△BQH中，，∴△BCH≌△BQH（SAS），∴CH=QH．∴△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．∴△PDH的周長是定值．（3）解：如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB．又∵EF為折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90°，在△EFM和△BPA中，，∴△EFM≌△BPA（AAS）．∴EM=AP．設(shè)AP=x在Rt△APE中，（4-BE）2+x2=BE2．解得BE=2+，∴CF=BE-EM=2+-x，∴BE+CF=-x+4=（x-2）2+3．當(dāng)x=2時，BE+CF取最小值，∴AP=2．考點(diǎn)：幾何變換綜合題．3．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，3），動點(diǎn)M，N分別從O，B同時出發(fā)．以每秒1個單位的速度運(yùn)動．其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動．過點(diǎn)M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知動點(diǎn)運(yùn)動了x秒．（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)為多少（用含x的代數(shù)式表示）；（2）試求△NPC面積S的表達(dá)式，并求出面積S的最大值及相應(yīng)的x值；（3）當(dāng)x為何值時，△NPC是一個等腰三角形？簡要說明理由．【答案】（1）P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，3﹣x）．（2）S的最大值為，此時x=2．（3）x=，或x=，或x=．【解析】試題分析：（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是求OM和PM的長，已知了OM的長為x，關(guān)鍵是求出PM的長，方法不唯一，①可通過PM∥OC得出的對應(yīng)成比例線段來求；②也可延長MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根據(jù)CQ的長和∠ACB的正切值求出PQ的長，然后根據(jù)PM=AB﹣PQ來求出PM的長．得出OM和PM的長，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）可按（1）②中的方法經(jīng)求出PQ的長，而CN的長可根據(jù)CN=BC﹣BN來求得，因此根據(jù)三角形的面積計算公式即可得出S，x的函數(shù)關(guān)系式．（3）本題要分類討論：①當(dāng)CP=CN時，可在直角三角形CPQ中，用CQ的長即x和∠ABC的余弦值求出CP的表達(dá)式，然后聯(lián)立CN的表達(dá)式即可求出x的值；②當(dāng)CP=PN時，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的長，然后根據(jù)QN=CN﹣CQ求出QN的表達(dá)式，根據(jù)題設(shè)的等量條件即可得出x的值．③當(dāng)CN=PN時，先求出QP和QN的長，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN的長，聯(lián)立CN的表達(dá)式即可求出x的值．試題解析：（1）過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，有題意可得：PQ∥AB，∴△CQP∽△CBA，∴∴解得：QP=x，∴PM=3﹣x，由題意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，3﹣x）．（2）設(shè)△NPC的面積為S，在△NPC中，NC=4﹣x，NC邊上的高為，其中，0≤x≤4．∴S=（4﹣x）×x=（﹣x2+4x）=﹣（x﹣2）2+．∴S的最大值為，此時x=2．（3）延長MP交CB于Q，則有PQ⊥BC．①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=．②若CP=CN，則CN=4﹣x，PQ=x，CP=x，4﹣x=x，∴x=；③若CN=NP，則CN=4﹣x．∵PQ=x，NQ=4﹣2x，∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，∴（4﹣x）2=（4﹣2x）2+（x）2，∴x=．綜上所述，x=，或x=，或x=．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．4．操作：如圖，邊長為2的正方形ABCD，點(diǎn)P在射線BC上，將△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直線與AP所在直線交于點(diǎn)F．探究：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度數(shù)；②若點(diǎn)E恰為線段DF的中點(diǎn)時，請通過運(yùn)算說明點(diǎn)P會在線段BC的什么位置？并求出此時∠AFD的度數(shù)．歸納：（2）若點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時（不與B，C重合），∠AFD的度數(shù)是否會發(fā)生變化？試證明你的結(jié)論；猜想：（3）如圖2，若點(diǎn)P在BC邊的延長線上時，∠AFD的度數(shù)是否會發(fā)生變化？試在圖中畫出圖形，并直接寫出結(jié)論．【答案】（1）①45°；②BC的中點(diǎn)，45°；（2）不會發(fā)生變化，證明參見解析；（3）不會發(fā)生變化，作圖參見解析.【解析】試題分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，①由折疊得到一對角相等，再利用正方形性質(zhì)求出∠DAE度數(shù)，在三角形AFD中，利用內(nèi)角和定理求出所求角度數(shù)即可；②由E為DF中點(diǎn)，得到P為BC中點(diǎn)，如圖1，連接BE交AF于點(diǎn)O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF垂直平分BE，進(jìn)而得到三角形BOP與三角形EOG全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到BP=EG=1，得到P為BC中點(diǎn)，進(jìn)而求出所求角度數(shù)即可；（2）若點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時（不與B，C重合），∠AFD的度數(shù)不會發(fā)生變化，作AG⊥DF于點(diǎn)G，如圖1（a）所示，利用折疊的性質(zhì)及三線合一性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)求出∠1+∠2的度數(shù)，即為∠FAG度數(shù)，即可求出∠F度數(shù)；（3）作出相應(yīng)圖形，如圖2所示，若點(diǎn)P在BC邊的延長線上時，∠AFD的度數(shù)不會發(fā)生變化，理由為：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，設(shè)∠DAG=∠EAG=α，根據(jù)∠FAE為∠BAE一半求出所求角度數(shù)即可．試題解析：（1）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②點(diǎn)E為DF的中點(diǎn)時，P也為BC的中點(diǎn)，理由如下：如圖1，連接BE交AF于點(diǎn)O，作EG∥AD，得EG∥BC，∵EG∥AD，DE=EF，∴EG=AD=1，∵AB=AE，∴點(diǎn)A在線段BE的垂直平分線上，同理可得點(diǎn)P在線段BE的垂直平分線上，∴AF垂直平分線段BE，∴OB=OE，∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，∴△BOP≌△EOG，∴BP=EG=1，即P為BC的中點(diǎn)，∴∠DAF=90°﹣∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°；（2）∠AFD的度數(shù)不會發(fā)生變化，作AG⊥DF于點(diǎn)G，如圖1（a）所示，在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，∴∠1+∠2=×90°=45°，即∠FAG=45°，則∠AFD=90°﹣45°=45°；（3）如圖2所示，∠AFE的大小不會發(fā)生變化，∠AFE=45°，作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，設(shè)∠DAG=∠EAG=α，∴∠BAE=90°+2α，∴∠FAE=∠BAE=45°+α，∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°，在Rt△AFG中，∠AFE=90°﹣45°=45°．考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.折疊性質(zhì)；3.全等三角形的判定與性質(zhì).5．已知Rt△ABD中，邊AB=OB=1，∠ABO=90°問題探究：（1）以AB為邊，在Rt△ABO的右邊作正方形ABC，如圖（1），則點(diǎn)O與點(diǎn)D的距離為．（2）以AB為邊，在Rt△ABO的右邊作等邊三角形ABC，如圖（2），求點(diǎn)O與點(diǎn)C的距離．問題解決：（3）若線段DE=1，線段DE的兩個端點(diǎn)D，E分別在射線OA、OB上滑動，以DE為邊向外作等邊三角形DEF，如圖（3），則點(diǎn)O與點(diǎn)F的距離有沒有最大值，如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．【答案】(1)、；(2)、；(3)、.【解析】【分析】試題分析：(1)、如圖1中，連接OD，在Rt△ODC中，根據(jù)OD=計算即可．(2)、如圖2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，連接OC．在Rt△OCE中，根據(jù)OC=計算即可．(3)、如圖3中，當(dāng)OF⊥DE時，OF的值最大，設(shè)OF交DE于H，在OH上取一點(diǎn)M，使得OM=DM，連接DM．分別求出MH、OM、FH即可解決問題．【詳解】試題解析：(1)、如圖1中，連接OD，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90°在Rt△ODC中，∵∠C=90°，OC=2，CD=1，∴OD=(2)、如圖2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，連接OC．∵∠FBE=∠E=∠CFB=90°，∴四邊形BECF是矩形，∴BF=CF=，CF=BE=，在Rt△OCE中，OC==．(3)、如圖3中，當(dāng)OF⊥DE時，OF的值最大，設(shè)OF交DE于H，在OH上取一點(diǎn)M，使得OM=DM，連接DM．∵FD=FE=DE=1，OF⊥DE，∴DH=HE，OD=OE，∠DOH=∠DOE=22.5°，∵OM=DM，∴∠MOD=∠MDO=22.5°，∴∠DMH=∠MDH=45°，∴DH=HM=，∴DM=OM=，∵FH=，∴OF=OM+MH+FH==．∴OF的最大值為．考點(diǎn)：四邊形綜合題．6．（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CDEF，點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為（2）（拓展研究）在（1）的條件下，如果正方形CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接BE，CE，AF，線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）（問題發(fā)現(xiàn)）當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時候，直接寫出線段AF的長．【答案】（1）BE=AF；（2）無變化；（3）AF的長為﹣1或+1．【解析】試題分析：（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=，再得出BE=AB=2，即可得出結(jié)論；（2）先利用三角函數(shù)得出，同理得出，夾角相等即可得出△ACF∽△BCE，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）分兩種情況計算，當(dāng)點(diǎn)E在線段BF上時，如圖2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=，即可得出BE=﹣，借助（2）得出的結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)E在線段BF的延長線上，同前一種情況一樣即可得出結(jié)論．試題解析：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，根據(jù)勾股定理得，BC=AB=2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AD=BC=，∵四邊形CDEF是正方形，∴AF=EF=AD=，∵BE=AB=2，∴BE=AF，故答案為BE=AF；（2）無變化；如圖2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，在Rt△CEF中，sin∠FEC=，∴，∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA=∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴=，∴BE=AF，∴線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系無變化；（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段AF上時，如圖2，由（1）知，CF=EF=CD=，在Rt△BCF中，CF=，BC=2，根據(jù)勾股定理得，BF=，∴BE=BF﹣EF=﹣，由（2）知，BE=AF，∴AF=﹣1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BF的延長線上時，如圖3，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，在Rt△CEF中，sin∠FEC=，∴，∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，∴∠FCA=∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴=，∴BE=AF，由（1）知，CF=EF=CD=，在Rt△BCF中，CF=，BC=2，根據(jù)勾股定理得，BF=，∴BE=BF+EF=+，由（2）知，BE=AF，∴AF=+1．即：當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時候，線段AF的長為﹣1或+1．7．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，分別延長AC至E，BC至F，且CE＝EF，延長FE交AD的延長線于G．（1）求證：AE＝EG；（2）如圖2，分別連接BG，BE，若BG＝BF，求證：BE＝EG；（3）如圖3，取GF的中點(diǎn)M，若AB＝5，求EM的長．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得：∠CAD＝∠G，可得AE＝EG；（2）作輔助線，證明△BEF≌△GEC（SAS），可得結(jié)論；（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建平行線，證明四邊形DMEN是平行四邊形，得EM＝DN＝AC，計算可得結(jié)論．【詳解】證明：（1）如圖1，過E作EH⊥CF于H，∵AD⊥BC，∴EH∥AD，∴∠CEH＝∠CAD，∠HEF＝∠G，∵CE＝EF，∴∠CEH＝∠HEF，∴∠CAD＝∠G，∴AE＝EG；（2）如圖2，連接GC，∵AC＝BC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AG是BC的垂直平分線，∴GC＝GB，∴∠GBF＝∠BCG，∵BG＝BF，∴GC＝BE，∵CE＝EF，∴∠CEF＝180°﹣2∠F，∵BG＝BF，∴∠GBF＝180°﹣2∠F，∴∠GBF＝∠CEF，∴∠CEF＝∠BCG，∵∠BCE＝∠CEF+∠F，∠BCE＝∠BCG+∠GCE，∴∠GCE＝∠F，在△BEF和△GCE中，，∴△BEF≌△GEC（SAS），∴BE＝EG；（3）如圖3，連接DM，取AC的中點(diǎn)N，連接DN，由（1）得AE＝EG，∴∠GAE＝∠AGE，在Rt△ACD中，N為AC的中點(diǎn)，∴DN＝AC＝AN，∠DAN＝∠ADN，∴∠ADN＝∠AGE，∴DN∥GF，在Rt△GDF中，M是FG的中點(diǎn)，∴DM＝FG＝GM，∠GDM＝∠AGE，∴∠GDM＝∠DAN，∴DM∥AE，∴四邊形DMEN是平行四邊形，∴EM＝DN＝AC，∵AC＝AB＝5，∴EM＝．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，并熟練掌握全等三角形的判定方法，特別是第三問，輔助線的作法是關(guān)鍵．8．閱讀下列材料：我們定義：若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，則這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如正方形就是和諧四邊形．結(jié)合閱讀材料，完成下列問題：（1）下列哪個四邊形一定是和諧四邊形．A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．等腰梯形（2）命題：“和諧四邊形一定是軸對稱圖形”是命題（填“真”或“假”）．（3）如圖，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若點(diǎn)C為平面上一點(diǎn)，AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB＝BC，請求出∠ABC的度數(shù)．【答案】（1）C；（2）∠ABC的度數(shù)為60°或90°或150°.【解析】試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和和諧四邊形定義，直接得出結(jié)論.（2）根據(jù)和諧四邊形定義，分AD=CD，AD=AC，AC=DC討論即可.（1）根據(jù)和諧四邊形定義，平行四邊形，矩形，等腰梯形的對角線不能把四邊形分成兩個等腰三角形，菱形的一條對角線能把四邊形分成兩個等腰三角形夠．故選C.（2）∵等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，∴AB=AD.∵AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC，∴分三種情況討論：若AD=CD，如圖1，則凸四邊形ABCD是正方形，∠ABC=90°；若AD=AC，如圖2，則AB=AC=BC，△ABC是等邊三角形，∠ABC=60°；若AC=DC，如圖3，則可求∠ABC=150°.考點(diǎn)：1.新定義；2．菱形的性質(zhì)；3．正方形的判定和性質(zhì)；4．等邊三角形的判定和性質(zhì)；5.分類思想的應(yīng)用.9．（1）如圖1，將矩形折疊，使落在對角線上，折痕為，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為______.（2）小明手中有一張矩形紙片，，.（畫一畫）如圖2，點(diǎn)在這張矩形紙片的邊上，將紙片折疊，使落在所在直線上，折痕設(shè)為（點(diǎn)，分別在邊，上），利用直尺和圓規(guī)畫出折痕（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）；（算一算）如圖3，點(diǎn)在這張矩形紙片的邊上，將紙片折疊，使落在射線上，折痕為，點(diǎn)分別落在點(diǎn)，處，若，求的長.【答案】（1）21；（2）畫一畫；見解析；算一算：【解析】【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)以及翻折不變性即可解決問題；（2）【畫一畫】，如圖2中，延長BA交CE的延長線由G，作∠BGC的角平分線交AD于M，交BC于N，直線MN即為所求；【算一算】首先求出GD=9-，由矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，BC=AD=9，由平行線的性質(zhì)得出∠DGF=∠BFG，由翻折不變性可知，∠BFG=∠DFG，證出∠DFG=∠DGF，由等腰三角形的判定定理證出DF=DG=，再由勾股定理求出CF，可得BF，再利用翻折不變性，可知FB′=FB，由此即可解決問題．【詳解】（1）如圖1所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=42°，由翻折的性質(zhì)可知，∠DBE=∠EBC=∠DBC=21°，故答案為21．（2）【畫一畫】如圖所示：【算一算】如3所示：∵AG=，AD=9，∴GD=9-，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC=AD=9，∴∠DGF=∠BFG，由翻折不變性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=，∵CD=AB=4，∠C=90°，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF=，∴BF=BC-CF=9，由翻折不變性可知，F(xiàn)B=FB′=，∴B′D=DF-FB′=.【點(diǎn)睛】四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用翻折不變性解決問題．10．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，在Rt△PFE中，∠EPF=90°，點(diǎn)E、F分別在邊AD、AB上．（1）如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)O重合：①求證：AF=DE；②若正方形的邊長為2，當(dāng)∠DOE=15°時，求線段EF的長；（2）如圖2，若Rt△PFE的頂點(diǎn)P在線段OB上移動（不與點(diǎn)O、B重合），當(dāng)BD=3BP時，證明：PE=2PF．【答案】（1）①證明見解析，②；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得：△AOF≌△DOE根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；②作OG⊥AB于G，根據(jù)余弦的概念求出OF的長，根據(jù)勾股定理求值即可；（2）首先過點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45°，∠AOD=90°，∴∠AOE+∠DOE=90°，∵∠EPF=90°，∴∠AOF+∠AOE=90°，∴∠DOE=∠AOF，在△AOF和△DOE中，，∴△AOF≌△DOE，∴AF=DE；②解：過點(diǎn)O作OG⊥AB于G，∵正方形的邊長為2，∴OG=BC=，∵∠DOE=15°，△AOF≌△DOE，∴∠AOF=15°，∴∠FOG=45°-15°=30°，∴OF==2，∴EF=；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90°，∴HP=BP，∵BD=3BP，∴PD=2BP，∴PD=2HP，又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，∴∠HPF=∠DPE，又∵∠BHP=∠EDP=45°，∴△PHF∽△PDE，∴，∴PE=2PF．【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．11．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對角線BD上（不與點(diǎn)B，D重合），GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，連結(jié)AG．（1）寫出線段AG，GE，GF長度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若正方形ABCD的邊長為1，∠AGF=105°，求線段BG的長．【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）【解析】試題分析：（1）結(jié)論：AG2=GE2+GF2．只要證明GA=GC，四邊形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可證明；（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點(diǎn)M，使得AM=BM．設(shè)AN=x．易證AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根據(jù)AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得x=，推出BN=，再根據(jù)BG=BN÷cos30°即可解決問題.試題解析：（1）結(jié)論：AG2=GE2+GF2．理由：連接CG．∵四邊形ABCD是正方形，∴A、C關(guān)于對角線BD對稱，∵點(diǎn)G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四邊形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點(diǎn)M，使得AM=BM．設(shè)AN=x．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，∴1=x2+（2x+x）2，解得x=，∴BN=，∴BG=BN÷cos30°=．考點(diǎn)：1、正方形的性質(zhì)，2、矩形的判定和性質(zhì)，3、勾股定理，4、直角三角形30度的性質(zhì)12．(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1,點(diǎn)E.

F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°，連接EF、則EF=BE+DF，試說明理由；(2)類比引申如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,點(diǎn)E.

F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系時，仍有EF=BE+DF；(3)聯(lián)想拓展如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程?！敬鸢浮浚?）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【解析】試題分析：（1）把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；（3）把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，證明△AFE≌△AFG（SAS），則EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷．試題解析：(1)理由是：如圖1，∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖1，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點(diǎn)F.D.G共線，則∠DAG=∠BAE，AE=AG，∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°?45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠FAG，在△EAF和△GAF中，AF=AF，∠EAF=∠GAF，AE=AG，∴△AFG≌△AFE(SAS)，∴EF=FG=BE+DF；(2)∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF；∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖2，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°,∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠FDG=180°，點(diǎn)F.D.G共線，在△AFE和△AFG中，AE=AG，∠FAE=∠FAG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG(SAS)，∴EF=FG，即：EF=BE+DF，故答案為：∠B+∠ADC=180°；(3)BD2+CE2=DE2.理由是：把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，則∠FAB=∠CAE.∵∠BAC=90°,∠DAE=45°，∴∠BAD+∠CAE=45°，又∵∠FAB=∠CAE，∴∠FAD=∠DAE=45°，則在△ADF和△ADE中，AD=AD，∠FAD=∠DAE，AF=AE，∴△ADF≌△ADE，∴DF=DE,∠C=∠ABF=45°，∴∠BDF=90°，∴△BDF是直角三角形,∴BD2+BF2=DF2，∴BD2+CE2=DE2.13．如圖1，在長方形紙片ABCD中，AB=mAD，其中m?1，將它沿EF折疊(點(diǎn)E.

F分別在邊AB、CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD相交于點(diǎn)P，連接EP.設(shè)，其中0<n?1.(1)如圖2，當(dāng)n=1(即M點(diǎn)與D點(diǎn)重合)，求證：四邊形BEDF為菱形；(2)如圖3，當(dāng)(M為AD的中點(diǎn))，m的值發(fā)生變化時，求證：EP=AE+DP；(3)如圖1，當(dāng)m=2(即AB=2AD)，n的值發(fā)生變化時，的值是否發(fā)生變化?說明理由.【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析；(3)值不變，理由見解析.【解析】試題分析：（1）由條件可知，當(dāng)n=1（即M點(diǎn)與D點(diǎn)重合），m=2時，AB=2AD，設(shè)AD=a，則AB=2a，由矩形的性質(zhì)可以得出△ADE≌△NDF，就可以得出AE=NF，DE=DF，在Rt△AED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出結(jié)論.（2）延長PM交EA延長線于G，由條件可以得出△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論.（3）如圖1，連接BM交EF于點(diǎn)Q，過點(diǎn)F作FK⊥AB于點(diǎn)K，交BM于點(diǎn)O，通過證明△ABM∽△KFE，就可以得出，即，由AB=2AD=2BC，BK=CF就可以得出的值是為定值．（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵AB=mAD，且n=2，∴AB=2AD．∵∠ADE+∠EDF=90°，∠EDF+∠NDF=90°，∴∠ADE=∠NDF．在△ADE和△NDF中，∠A＝∠N，AD＝ND，∠ADE＝∠NDF，∴△ADE≌△NDF（ASA）.∴AE=NF，DE=DF．∵FN=FC，∴AE=FC．∵AB=CD，∴AB-AE="CD-CF."∴BE="DF."∴BE=DE．Rt△AED中，由勾股定理，得，即，∴AE=AD.∴BE=2AD-AD=.∴.（2）如圖3，延長PM交EA延長線于G，∴∠GAM=90°．∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴AM=DM．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD.∴∠GAM=∠PDM．在△GAM和△PDM中，∠GAM＝∠PDM，AM＝DM，∠AMG＝∠DMP，∴△GAM≌△PDM（ASA）.∴MG=MP.在△EMP和△EMG中，PM＝GM，∠PME＝∠GME，ME＝ME，∴△EMP≌△EMG（SAS）.∴EG=EP.∴AG+AE=EP.∴PD+AE=EP，即EP=AE+DP.（3），值不變，理由如下：如圖1，連接BM交EF于點(diǎn)Q，過點(diǎn)F作FK⊥AB于點(diǎn)K，交BM于點(diǎn)O，∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，∴EF⊥MB，即∠FQO=90°.∵四邊形FKBC是矩形，∴KF=BC，F(xiàn)C=KB.∵∠FKB=90°，∴∠KBO+∠KOB=90°.∵∠QOF+∠QFO=90°，∠QOF=∠KOB，∴∠KBO=∠OFQ.∵∠A=∠EKF=90°，∴△ABM∽△KFE.∴即.∵AB=2AD=2BC，BK=CF，∴.∴的值不變．考點(diǎn)：1.折疊問題；2.矩形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性質(zhì)．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，OA=4，OC=2，點(diǎn)D、E、F、G分別為邊OA、AB、BC、CO的中點(diǎn)，連結(jié)DE、EF、FG、GD．（1）若點(diǎn)C在y軸的正半軸上，當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4）時，判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由.（2）若點(diǎn)C在第二象限運(yùn)動，且四邊形DEFG為菱形時，求點(diǎn)四邊形OABC對角線OB長度的取值范圍.（3）若在點(diǎn)C的運(yùn)動過程中，四邊形DEFG始終為正方形，當(dāng)點(diǎn)C從X軸負(fù)半軸經(jīng)過Y軸正半軸，運(yùn)動至X軸正半軸時，直接寫出點(diǎn)B的運(yùn)動路徑長.【答案】（1）正方形（2）（3）2π【解析】