五年（2021-2025）高考真題分類(lèi)匯編PAGEPAGE1專(zhuān)題10空間向量與立體幾何考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)幾何體的表面積和體積（5年3考）2025年柱體體積的有關(guān)計(jì)算2022年圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算2021年圓柱表面積的有關(guān)計(jì)算1.線面關(guān)系的證明是基礎(chǔ)必考題。2.空間角的求解在近5年保持高頻考查態(tài)勢(shì)。其中二面角是絕對(duì)核心，幾乎每年必考，其次是直線與平面所成角，異面直線所成角偶有涉及。3.空間幾何體的體積計(jì)算是重點(diǎn)考查內(nèi)容，5年內(nèi)頻繁出現(xiàn)，涉及棱柱、棱錐、球等各種類(lèi)型的幾何體，且常與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合。與球有關(guān)的切、接問(wèn)題也是重要考點(diǎn)，多以正方體、正四棱錐等為背景，考查考生對(duì)空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的理解和空間想象能力。此外，空間幾何體的表面積計(jì)算及其他量的計(jì)算也時(shí)有出現(xiàn)。4.從全國(guó)及上海高考數(shù)學(xué)的整體趨勢(shì)來(lái)看，立體幾何部分可能會(huì)出現(xiàn)新定義問(wèn)題。點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（5年5考）2025年圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算、證明面面平行、面面平行證明線面平行2024年求線面角、求旋轉(zhuǎn)體的體積2023年證明線面平行、求二面角、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明面面平行2022年異面直線的判定；線面角的向量求法、錐體體積的有關(guān)計(jì)算2021年錐體體積的有關(guān)計(jì)算、異面直線夾角的向量求法空間幾何體的結(jié)構(gòu)（5年1考）2023年棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)空間向量（5年1考）2024年空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)01幾何體的表面積和體積1．（2025·上?！じ呖颊骖}）如圖，在正四棱柱中，，則該正四棱柱的體積為．

【答案】【知識(shí)點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算〖祥解〗求出側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)后可求體積.【詳析】因?yàn)榍宜倪呅螢檎叫危?，而，故，故，故所求體積為，故答案為：.2．（2022·上海·高考真題）已知某圓錐的高為4，底面積為，則該圓錐的側(cè)面積為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算〖祥解〗先求得圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)，進(jìn)而求得該圓錐的側(cè)面積.【詳析】圓錐底面積為，則底面半徑為3，又圓錐的高為4，則圓錐的母線長(zhǎng)為5，則該圓錐的側(cè)面積為故答案為：3．（2021·上海·高考真題）已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則其側(cè)面積為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】圓柱表面積的有關(guān)計(jì)算〖祥解〗根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，即可求得該圓柱的側(cè)面積，得到答案.【詳析】由題意，圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，可得其側(cè)面積為.【『點(diǎn)石成金』】本題主要考查了圓柱的側(cè)面積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記圓柱的側(cè)面積公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.考點(diǎn)02點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系4．（2022·上?！じ呖颊骖}）如圖，正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，連接，對(duì)空間任意兩點(diǎn)，若線段與線段都不相交，則稱(chēng)兩點(diǎn)可視，下列選項(xiàng)中與點(diǎn)可視的為（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】異面直線的判定〖祥解〗根據(jù)異面直線的定義判斷即可.【詳析】A選項(xiàng)：四邊形是平行四邊形，與相交，故A錯(cuò)；C選項(xiàng)：四邊形是平行四邊形，與相交，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：四邊形是平行四邊形，與相交，故D錯(cuò)；利用排除法可得選項(xiàng)B正確.故選：B.5．（2021·上?！じ呖颊骖}）四棱錐，底面為正方形，邊長(zhǎng)為4，為中點(diǎn)，平面.（1）若△為等邊三角形，求四棱錐的體積；（2）若的中點(diǎn)為，與平面所成角為45°，求與所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、異面直線夾角的向量求法〖祥解〗（1）由棱錐體積公式計(jì)算；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．【詳析】（1）∵正方形邊長(zhǎng)為4，△為等邊三角形，為中點(diǎn)，∴，；（2）如圖以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，∴，即與所成角的大小為．6．（2022·上海·高考真題）如圖所示三棱錐P-ABC，底面為等邊三角形ABC，O為AC邊中點(diǎn)，且底面ABC，

(1)求三棱錐P-ABC的體積；(2)若M為BC中點(diǎn)，求PM與平面PAC所成角大?。ńY(jié)果用反三角數(shù)值表示）.【答案】(1)1；(2)．【知識(shí)點(diǎn)】線面角的向量求法、錐體體積的有關(guān)計(jì)算〖祥解〗（1）由棱錐體積公式計(jì)算；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法二面角．【詳析】（1）底面ABC，底面ABC，則，連接，同理，又，，∴，而，所以；（2）由已知，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由已知，則，，，∴，，易知平面的一個(gè)法向量是，，設(shè)PM與平面PAC所成角大小為，則，，∴．

7．（2023·上?！じ呖颊骖}）在直四棱柱中，，，，，(1)求證：平面；(2)若四棱柱體積為36，求二面角大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、求二面角、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明面面平行〖祥解〗（1）利用直四棱柱的性質(zhì)及線面平行的判定定理，可證平面平面，再由面面平行的性質(zhì)定理，即可得證；（2）先根據(jù)棱柱的體積公式求得，再利用二面角的定義，求解即可．【詳析】（1）由題意知，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，又，、平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫妫?）由題意知，底面為直角梯形，所以梯形的面積，因?yàn)樗睦庵捏w積為36，所以，過(guò)作于，連接，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以即為二面角的平面角，在△中，，所以，所以，即，故二面角的大小為?．（2024·上海·高考真題）如圖為正四棱錐為底面的中心．(1)若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大小．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求線面角、求旋轉(zhuǎn)體的體積〖祥解〗（1）根據(jù)正四棱錐的數(shù)據(jù)，先算出直角三角形的邊長(zhǎng)，然后求圓錐的體積；（2）連接，可先證平面，根據(jù)線面角的定義得出所求角為，然后結(jié)合題目數(shù)量關(guān)系求解.【詳析】（1）正四棱錐滿(mǎn)足且平面，由平面，則，又正四棱錐底面是正方形，由可得，，故，根據(jù)圓錐的定義，繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以為軸，為底面半徑的圓錐，即圓錐的高為，底面半徑為，根據(jù)圓錐的體積公式，所得圓錐的體積是（2）連接，由題意結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)可知，每個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，由是中點(diǎn)，則，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直線與平面所成角的大小即為，不妨設(shè)，則，，又線面角的范圍是，故.即為所求.9．（2025·上?！じ呖颊骖}）如圖，P是圓錐的頂點(diǎn)，O是底面圓心，AB是底面直徑，且．

(1)若直線PA與圓錐底面的所成角為，求圓錐的側(cè)面積；(2)已知Q是母線PA的中點(diǎn)，點(diǎn)C、D在底面圓周上，且弧AC的長(zhǎng)為，．設(shè)點(diǎn)M在線段OC上，證明：直線平面PBD．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算、證明面面平行、面面平行證明線面平行〖祥解〗（1）由線面角先算出母線長(zhǎng)，然后根據(jù)側(cè)面積公式求解.（2）證明平面平面，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得.【詳析】（1）由題知，，即軸截面是等邊三角形，故，底面周長(zhǎng)為，則側(cè)面積為：;（2）由題知，則根據(jù)中位線性質(zhì)，，又平面，平面，則平面由于，底面圓半徑是，則，又，則，又，則為等邊三角形，則，于是且，則四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面.又平面，根據(jù)面面平行的判定，于是平面平面，又，則平面，則平面

考點(diǎn)03空間幾何體的結(jié)構(gòu)10．（2023·上?！じ呖颊骖}）空間內(nèi)存在三點(diǎn)A、B、C，滿(mǎn)足，在空間內(nèi)取不同兩點(diǎn)（不計(jì)順序），使得這兩點(diǎn)與A、B、C可以組成正四棱錐，求方案數(shù)為．【答案】9【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理〖祥解〗根據(jù)題意，先考慮正四棱錐中三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形的情況，分類(lèi)討論為正四棱錐的側(cè)面或?qū)敲鎯煞N情況，再結(jié)合三邊的輪換對(duì)稱(chēng)性即可得解.【詳析】因?yàn)榭臻g中有三個(gè)點(diǎn)，且，不妨先考慮在一個(gè)正四棱錐中，哪三個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成等邊三角形，同時(shí)考慮三邊的輪換對(duì)稱(chēng)性，可先分為兩種大情況，即以下兩種：第一種：為正四棱錐的側(cè)面，如圖1，此時(shí)分別充當(dāng)為底面正方形的一邊時(shí)，對(duì)應(yīng)的情況數(shù)顯然是相同的;不妨以為例，此時(shí)符合要求的另兩個(gè)點(diǎn)如圖1所示，顯然有兩種情況，考慮到三邊的輪換對(duì)稱(chēng)性，故而總情況有6種；

第二種：為正四棱錐的對(duì)角面，如圖2，此時(shí)分別充當(dāng)?shù)酌嬲叫蔚囊粚?duì)角線時(shí)，對(duì)應(yīng)的情況數(shù)顯然也是相同的;不好以為例，此時(shí)符合要求的另兩個(gè)點(diǎn)圖2所示，顯然只有一種情況，考慮到三邊的輪換對(duì)稱(chēng)性，故而總情況有3種；綜上所述：總共有9種情況.故答案為：9.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：本題解決的關(guān)鍵是注意到為正三角形，從而考慮正四棱錐中三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形的情況，結(jié)合三邊的輪換對(duì)稱(chēng)性即可得解.考點(diǎn)04空間向量11．（2024·上?！じ呖颊骖}）定義一個(gè)集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取，存在不全為0的實(shí)數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算〖祥解〗首先分析出三個(gè)向量共面，顯然當(dāng)時(shí)，三個(gè)向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則即可分析出正確答案.【詳析】由題意知這三個(gè)向量共面，即這三個(gè)向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，對(duì)A，由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量共面，則當(dāng)無(wú)法推出，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量共面，則當(dāng)無(wú)法推出，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量不共面，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則由能推出，對(duì)D，由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量共面，則當(dāng)無(wú)法推出，故D錯(cuò)誤.故選：C．一、單選題1．（2025·上海奉賢·二模）如圖，在平行六面體中，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在對(duì)角線上，，，以下命題正確的是（

）A．B．、、三點(diǎn)共線C．與是異面直線D．【答案】B〖祥解〗以為基底結(jié)合圖形，利用空間向量的線性運(yùn)算推理作答.【詳析】在平行六面體中，令，，，則，，，，因?yàn)椴还簿€所以與不平行，故A錯(cuò)誤.，，即有，，有公共點(diǎn)，所以、、三點(diǎn)共線，B選項(xiàng)正確.因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，點(diǎn)也在直線上所以與是相交直線，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)椋?，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B2．（2025·上海黃浦·二模）如圖，在平行六面體中，設(shè)，，若、、組成空間向量的一個(gè)基底，則可以是（

）

A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗利用平行六面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合空間共面向量定理愛(ài)空間向量基本定理逐項(xiàng)判斷.【詳析】由，，、、組成空間向量的一個(gè)基，得向量、、不共面，對(duì)于A，在平行六面體中，，則與、共面，A不是；對(duì)于C，，與、共面，C不是；對(duì)于D，，與、共面，D不是；對(duì)于B，由，得，不共面，假設(shè)與、共面，則存在，使得，而，則，整理得，從而，此方程組無(wú)解，假設(shè)不成立，因此與、不共面，可以是.故選：B3．（2025·上海閔行·二模）設(shè)為正整數(shù)，空間中個(gè)單位向量構(gòu)成集合，若存在實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足對(duì)任意，都有，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為（

）．A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗根據(jù)給定條件可得集合中所有向量共起點(diǎn)時(shí)，終點(diǎn)在球面上，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出的最大值，進(jìn)而求出值.【詳析】令集合的各向量起點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)終點(diǎn)依次為，由向量為單位向量，則點(diǎn)在以為球心，1為半徑的球面上，由，得點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，由，得，則，由，同理得，而點(diǎn)不共線，于是點(diǎn)不共面，點(diǎn)為球內(nèi)接正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)，若，不妨取，同理得，平面，又，由過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面垂直于已知直線，得點(diǎn)平面，與點(diǎn)不共面矛盾，因此，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則正的外接圓半徑為，正四面體的高為，球心到平面的距離為，因此，解得，所以.故選：C二、填空題4．（2025·上海徐匯·二模）在空間直角坐標(biāo)系中，向量若，則.【答案】〖祥解〗根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)表示，結(jié)合已知條件，直接計(jì)算即可.【詳析】若，則，解得，，故.故答案為：.5．（2025·上海·模擬預(yù)測(cè)）不與共面，并且四點(diǎn)在一個(gè)平面上，（），則的最小值為．【答案】16〖祥解〗由向量共面定理有，再應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最小值.【詳析】由題設(shè)，不與共面，且四點(diǎn)共面，所以，可得，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則最小值為16.故答案為：166．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖，在四面體OABC中，，，．點(diǎn)M在OA上，且，N為BC中點(diǎn)，則等于.

【答案】〖祥解〗利用給定的基底，結(jié)合空間向量線性運(yùn)算求出.【詳析】依題意，.故答案為：7．（2025·上海徐匯·二模）已知平面，是直角三角形，且，，則點(diǎn)P到直線BC的距離是.【答案】〖祥解〗取中點(diǎn)為，連接，通過(guò)證明，從而證明點(diǎn)到的距離為，再結(jié)合已知條件求出即可.【詳析】取中點(diǎn)為，連接，如下所示：因?yàn)闉榈妊切危譃橹悬c(diǎn)，故；因?yàn)槠矫?，面，故；又面，故面，又面，故，故點(diǎn)到直線的距離，即為；在△中，；因?yàn)槠矫妫?，故，則△為直角三角形；在△中，，故,故點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.8．（2025·上海普陀·二模）在棱長(zhǎng)為4的正方體中，，若一動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則三棱錐體積的最大值為.【答案】〖祥解〗以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，得出的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)已知列出方程，化簡(jiǎn)得出點(diǎn)的軌跡為球.進(jìn)而結(jié)合圖象即可得出點(diǎn)到平面的最大距離，結(jié)合體積公式即可得出答案.【詳析】

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則有.又，所以.設(shè)，則.因?yàn)?，代入可得，整理可得，即在以點(diǎn)為球心，為半徑的球上.又的面積為，平面到平面的距離為4，所以到平面的最大距離為.體積最大值為.故答案為：.9．（2025·上海浦東新·二模）已知為空間中三個(gè)單位向量，且，若向量滿(mǎn)足，，則向量與向量夾角的最小值為．（用反三角表示）【答案】〖祥解〗由題意可設(shè)設(shè)，，結(jié)合，，求得和，再結(jié)合向量夾角得坐標(biāo)表示即可求解.【詳析】可設(shè)，設(shè)，則，所以，兩式相減可得：，再代入第一個(gè)式子，可得：設(shè)向量與向量夾角為，則，易知對(duì)于當(dāng)即取得最大值，此時(shí)取得最大值，即的最大值為，時(shí)取得，再由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知的最小值為，故答案為：10．（2025·上海楊浦·模擬預(yù)測(cè)）已知在底面半徑為1且高為10的圓柱體的表面上有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)、、，則的最小值為.【答案】〖祥解〗利用空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為平面向量，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)求最值即可.【詳析】如圖，過(guò)點(diǎn)、、分別作與圓柱底面平行的平面截圓柱得圓，設(shè)點(diǎn)在圓上的射影點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上的射影點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上的射影點(diǎn)為，則由可得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，如圖，在圓所在平面建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以則，當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立；故，所以的最小值為.故答案為：.三、解答題11．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面平面，，，(1)若O是棱的中點(diǎn)，證明：平面，并求三棱錐的體積；(2)求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明過(guò)程見(jiàn)解析，體積為(2)〖祥解〗（1）作出輔助線，得到線線垂直，根據(jù)面面垂直，得到線面垂直，并利用錐體體積公式求出答案；（2）證明出兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，求出，進(jìn)而求出二面角的大小.【詳析】（1）連接，因?yàn)?，所以⊥，因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，平面，所以⊥平面，因?yàn)?，所以⊥，，，故，，由勾股定理得，又⊥平面，三棱錐的體積；（2）由（1）知，⊥平面，平面，所以⊥，⊥，又⊥，故兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令得，故，又平面的一個(gè)法向量為，故，由圖可知，二面角為銳角，故二面角的大小為.12．（2025·上海浦東新·二模）如圖，四邊形為長(zhǎng)方形，平面，，．(1)若分別是的中點(diǎn)，求證：∥平面；(2)邊上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的大小為？若存在，求長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，〖祥解〗（1）法一：幾何法：取中點(diǎn)，連接、，通過(guò)，即可求證；法二：向量法：求得平面法向量取平面的法向量由，即可求證；（2）法一：幾何法：作，垂足為，連接，確定直線與平面所成的角為，進(jìn)而可求解；法二：向量法：由線面夾角公式求解即可.【詳析】（1）法一：取中點(diǎn)，連接、，∵，，∴，∵，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，在平面外，∴平面法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)，則，，，，，，∴，易知平面的一個(gè)法向量∵，且在平面外∴平面（2）法一：作，垂足為，連接，∵平面，在平面內(nèi)，∴，又為平面內(nèi)兩條相交直線，∴平面，∴直線與平面所成的角為，∴，∴，∴，∴邊上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，.法二：設(shè)，則，∴，易知平面的一個(gè)法向量，設(shè)與的夾角為，則，解得：，∴邊上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，.13．（2025·上海普陀·二模）如圖，在三棱柱中，，且.

(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）連結(jié)，結(jié)合已知證明為菱形，以及.進(jìn)而即可根據(jù)線面垂直以及面面垂直的判定定理得出證明；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而得出相關(guān)點(diǎn)以及向量的坐標(biāo)，然后求出平面的法向量以及，然后根據(jù)向量法求解即可得出答案.【詳析】（1）連結(jié)，連結(jié)CO在中，，故是等邊三角形，所以為菱形，所以，且是的中點(diǎn).因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以平?又平面，所以平面平面.（2）

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，OC為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，即.令，可得平面的一個(gè)法向量為，所以，直線與平面所成的角的正弦值為.14．（2025·上海金山·二模）如圖，在四棱錐中，平面，.(1)證明：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳析】（1）因?yàn)槠矫妫矫妫?，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）因?yàn)槠矫?，平面，所以，在中，，則，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.15．（2025·上海浦東新·三模）如圖，點(diǎn)是以為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，已知，且平面.(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)滿(mǎn)足，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).〖祥解〗（1）要證明面面垂直，即需要證明線面垂直，那么過(guò)這條線的平面就會(huì)垂直于另一平面.（2）首先根據(jù)三棱錐體積取得最大這個(gè)條件得出的結(jié)論，然后找出平面與平面的二面角，最后根據(jù)線段關(guān)系和相似三角形求出該二面角的余弦值，或者建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解.【詳析】（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)闉榘雸A的直徑，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）方法1：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.設(shè)圓心為，連接，在平面上過(guò)作，連接??，在平面??上過(guò)??作??，如圖所示.因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以平面ABC，平面，則，，平面，所以平面，而平面，于是，所以為平面與平面的夾角，在平面上，，有，得，，，有，得，則，，平面與平面所成銳角的余弦值為.方法2：據(jù)（1）知，面，，當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大：過(guò)點(diǎn)作于，建立以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)點(diǎn)垂直于平面的方向?yàn)閦軸.設(shè)平面與平面的法向量分別為，.則點(diǎn)，，，，.，；則；令，可得；因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?則平面與平面夾角的余弦值.16．（2025·上海浦東新·三模）如圖，已知一個(gè)由半圓柱與多面體構(gòu)成的幾何體，平面與半圓柱的下底面共面，且．為半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（與，不重合）(1)證明：平面平面；(2)若四邊形為正方形，且，，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）面面垂直判定應(yīng)用，由兩個(gè)線線垂直：，，得線面垂直，進(jìn)而得面面垂直；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值.【詳析】（1）在半圓柱內(nèi)，平面，所以；因?yàn)闉樯系酌鎸?duì)應(yīng)圓的直徑，所以，又，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）根據(jù)題意以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，所以，，，，，所以，，平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，取，所以，由圖可知，二面角為鈍角，所以所求二面角的余弦值為.17．（2025·上?！と＃┤鐖D，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，，是底面半徑，，為劣弧的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若圓錐底面半徑為1，高為2，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）根據(jù)線線平行，可證明線面平行，所以需要證明與平面內(nèi)的一條直線即可.（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，進(jìn)而可將向量的坐標(biāo)表示出來(lái)，設(shè)出平面和平面的法向量，利用坐標(biāo)關(guān)系求出法向量的坐標(biāo)，最后利用數(shù)量積求出兩