六年級奧數(shù)競賽培訓(xùn)資料全集序言：奧數(shù)學(xué)習(xí)的意義與方法親愛的同學(xué)們，當(dāng)你們翻開這本資料時，意味著你們已經(jīng)對數(shù)學(xué)的世界抱有更濃厚的好奇心和探索欲。奧林匹克數(shù)學(xué)，作為思維的體操，不僅僅是為了在競賽中取得優(yōu)異成績，更重要的是培養(yǎng)我們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S、靈活的解題策略和堅韌不拔的探索精神。這份資料將陪伴大家走過一段充滿挑戰(zhàn)與樂趣的奧數(shù)旅程。在學(xué)習(xí)過程中，請記住以下幾點：1.夯實基礎(chǔ)，循序漸進(jìn)：奧數(shù)并非空中樓閣，它建立在堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上。請務(wù)必先掌握課內(nèi)知識，再逐步攻克奧數(shù)難關(guān)。2.勤于思考，善于總結(jié)：遇到難題不要輕易放棄，多思考幾種可能性。解題后要及時總結(jié)方法和規(guī)律，做到舉一反三。3.多做練習(xí)，注重實戰(zhàn)：理論學(xué)習(xí)后，足量的練習(xí)是鞏固知識、提升能力的關(guān)鍵。同時，要模擬競賽環(huán)境進(jìn)行實戰(zhàn)演練，提高應(yīng)試技巧。4.培養(yǎng)興趣，享受過程：數(shù)學(xué)的魅力在于其邏輯性和趣味性。嘗試發(fā)現(xiàn)解題過程中的樂趣，你會發(fā)現(xiàn)奧數(shù)學(xué)習(xí)并非枯燥乏味。本資料將按照奧數(shù)競賽常見的模塊進(jìn)行編排，每個模塊包含知識要點、典型例題與解析、練習(xí)題及參考答案。希望能成為同學(xué)們奧數(shù)學(xué)習(xí)道路上的得力助手。---一、計算模塊計算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是奧數(shù)競賽中常見的題型。它不僅考察運算能力，更注重運算技巧的運用。1.1速算與巧算（整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)）核心思想：通過觀察數(shù)字特征和運算符號，運用運算定律（加法交換律、結(jié)合律；乘法交換律、結(jié)合律、分配律）及數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡便運算。常見技巧：*湊整法：將數(shù)字湊成整十、整百、整千等，便于計算。*裂項相消法：將一個分?jǐn)?shù)拆分成兩個或多個分?jǐn)?shù)的差或和，使部分項相互抵消。*例如：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$*提取公因數(shù)法：當(dāng)算式中各項含有相同的因數(shù)時，將其提取出來，簡化運算。*基準(zhǔn)數(shù)法：當(dāng)多個相近的數(shù)相加時，選取一個基準(zhǔn)數(shù)，再計算各數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差，進(jìn)行調(diào)整。*分組法：將算式中的數(shù)按照一定規(guī)律分組，使每組內(nèi)的運算結(jié)果易于計算。例題解析：例1：計算$1999+199+19+9$解析：觀察到每個數(shù)都接近整十、整百、整千，可采用湊整法。原式=(2000-1)+(200-1)+(20-1)+(10-1)=2000+200+20+10-(1+1+1+1)=2230-4=2226例2：計算$\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\dots+\frac{1}{99\times100}$解析：此題為典型的裂項相消問題。原式=$(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})$=$1-\frac{1}{100}$=$\frac{99}{100}$練習(xí)題：1.計算$3.75\times4.8+62.5\times0.48$2.計算$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$3.計算$9999\times2222+3333\times3334$1.2定義新運算核心思想：理解新運算符號的定義規(guī)則，嚴(yán)格按照規(guī)則將新運算轉(zhuǎn)化為我們熟悉的四則運算進(jìn)行計算。解題步驟：1.認(rèn)真閱讀題目，明確新運算的運算規(guī)則。2.將含有新運算符號的式子，根據(jù)規(guī)則替換成普通的四則運算算式。3.按照四則運算的順序進(jìn)行計算。例題解析：例：設(shè)$a$、$b$表示兩個數(shù)，規(guī)定$a\triangleb=a\timesb-(a+b)$，求$5\triangle(2\triangle3)$。解析：先算括號內(nèi)的$2\triangle3$。$2\triangle3=2\times3-(2+3)=6-5=1$再算$5\triangle1$：$5\triangle1=5\times1-(5+1)=5-6=-1$所以，$5\triangle(2\triangle3)=-1$練習(xí)題：1.定義$a*b=a\divb\times2+3$，求$(96*8)*2$。2.對于任意自然數(shù)$a$、$b$，規(guī)定$a\odotb=a\timesb-a-b+1$，求$(5\odot5)\odot5$。1.3繁分?jǐn)?shù)化簡核心思想：從最底層的分母開始，逐步向上進(jìn)行化簡；或者利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分子分母同時乘以所有分母的最小公倍數(shù)，一次性消除分母。注意事項：運算順序，分?jǐn)?shù)線具有括號的作用。例題解析：例：化簡$\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$解析：先分別計算分子和分母。分子：$1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$分母：$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$原式=$\frac{3}{2}\div\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\times2=3$練習(xí)題：化簡$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}$---二、幾何模塊幾何模塊主要考察空間想象能力和邏輯推理能力，涉及平面圖形的周長、面積和立體圖形的表面積、體積計算。2.1平面圖形周長與面積（直線型、曲線型）核心知識：*基本圖形公式：正方形、長方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓、扇形的周長和面積公式。*常用技巧：*割補(bǔ)法：將不規(guī)則圖形分割或補(bǔ)成規(guī)則圖形。*平移法：將圖形的某一部分平移，使不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。*對稱法：利用圖形的對稱性解決問題。*等積變換：運用“等底等高的三角形面積相等”等性質(zhì)進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化。*差不變原理：兩個圖形的面積差在圖形變化過程中保持不變。例題解析：例1：一個等腰直角三角形的斜邊長為10厘米，求它的面積。解析：等腰直角三角形的特點是兩直角邊相等，且斜邊的平方等于兩直角邊平方和。設(shè)直角邊為$a$，則$a^2+a^2=10^2$，$2a^2=100$，$a^2=50$。面積為$\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}\times50=25$（平方厘米）。（另一種方法：以斜邊為底，斜邊上的高為斜邊的一半，即5厘米，面積為$\frac{1}{2}\times10\times5=25$平方厘米。）例2：求下圖中陰影部分的面積（單位：厘米，π取3.14）。（假設(shè)為一個邊長為4厘米的正方形，內(nèi)部有一個以各邊為直徑的半圓所圍成的葉形陰影）解析：此類問題通常采用“割補(bǔ)法”或“容斥原理”。對于邊長為4厘米的正方形，以各邊為直徑作半圓。每個半圓的半徑為2厘米。四個半圓的面積之和為$4\times\frac{1}{2}\times\pi\times2^2=8\pi$。正方形的面積為$4\times4=16$。四個半圓的面積之和恰好比正方形的面積多出了陰影部分的面積（因為每個葉形陰影被兩個半圓覆蓋）。所以陰影部分面積=$8\pi-16$。若π取3.14，則$8\times3.14-16=25.12-16=9.12$（平方厘米）。練習(xí)題：1.一個梯形的上底是5厘米，下底是9厘米，高是4厘米。如果在這個梯形中畫一個最大的三角形，這個三角形的面積是多少？2.一個半圓的周長是20.56厘米，求它的面積。2.2立體圖形表面積與體積核心知識：正方體、長方體、圓柱、圓錐的表面積和體積公式。常用技巧：*三視圖法：通過觀察立體圖形的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖來計算表面積（尤其是不規(guī)則立體圖形）。*切片法/分割法：將復(fù)雜立體圖形分割成簡單基本圖形。*等積變換：如圓柱與圓錐之間的體積關(guān)系。例題解析：例：一個長方體的長、寬、高分別是6分米、5分米、4分米。如果把它切成兩個完全相同的長方體，表面積最多增加多少平方分米？解析：切成兩個長方體，會增加兩個面。要使表面積增加最多，則增加的兩個面是原長方體中面積最大的面。原長方體各面面積：$6\times5=30$，$6\times4=24$，$5\times4=20$。最大面為30平方分米。增加的表面積：$2\times30=60$（平方分米）。練習(xí)題：1.一個圓柱的底面半徑是3厘米，高是5厘米，求它的表面積和體積。2.一個圓錐的體積是75.36立方厘米，底面半徑是3厘米，求它的高。（π取3.14）2.3幾何計數(shù)核心思想：有序枚舉，分類計數(shù)，或利用排列組合知識。常見類型：數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)三角形、數(shù)長方形、數(shù)正方形。例題解析：例：下圖中共有多少個三角形？（假設(shè)為一個大三角形被多條線段分割成多個小三角形的經(jīng)典圖形）解析：可采用分類計數(shù)的方法，按三角形的大小或組成部分來數(shù)。假設(shè)圖中有一個頂點，從該頂點引出n條射線，將對邊分成m段。（具體需根據(jù)圖形，此處以一個簡單的三層金字塔為例）通?？梢裕?.先數(shù)單個的小三角形。2.再數(shù)由2個小三角形組成的較大三角形。3.以此類推，數(shù)出由k個小三角形組成的最大三角形。然后將各類三角形的個數(shù)相加。（具體答案需根據(jù)圖形確定，此處略）練習(xí)題：下圖中共有多少個長方形？（假設(shè)為一個m×n的方格網(wǎng)）---三、應(yīng)用題模塊應(yīng)用題是奧數(shù)的重點和難點，需要將數(shù)學(xué)知識與實際問題相結(jié)合，考察分析問題和解決問題的能力。3.1分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題核心思想：找準(zhǔn)單位“1”，明確量率對應(yīng)關(guān)系。解題步驟：1.確定題目中的單位“1”（通?！笆恰?、“比”、“占”后面的量為單位“1”）。2.分析已知量和未知量，找出已知量所對應(yīng)的分率（或百分率）。3.根據(jù)“單位‘1’的量×分率=分率對應(yīng)的量”列式計算。4.若單位“1”未知，可設(shè)單位“1”為x，列方程求解，或用除法“已知量÷對應(yīng)分率=單位‘1’的量”。常見題型：*求一個數(shù)的幾分之幾（百分之幾）是多少。*已知一個數(shù)的幾分之幾（百分之幾）是多少，求這個數(shù)。*求一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）幾分之幾（百分之幾）。*分?jǐn)?shù)工程問題：工作總量看作單位“1”，工作效率=1/工作時間。例題解析：例1：學(xué)校圖書館有故事書240本，科技書的本數(shù)是故事書的$\frac{3}{4}$，又是文藝書的$\frac{2}{3}$。文藝書有多少本？解析：先以故事書為單位“1”，求出科技書的本數(shù)?？萍紩?240\times\frac{3}{4}=180$（本）再以文藝書為單位“1”（未知），科技書180本對應(yīng)的分率是$\frac{2}{3}$。文藝書：$180\div\frac{2}{3}=180\times\frac{3}{2}=270$（本）答：文藝書有270本。例2：一項工程，甲單獨做需要10天完成，乙單獨做需要15天完成。兩人合作，幾天可以完成這項工程的一半？解析：將工程總量看作單位“1”。甲的工作效率：$1\div10=\frac{1}{10}$乙的工作效率：$1\div15=\frac{1}{15}$兩人合作效率：$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$完成工程的一半所需時間：$\frac{1}{2}\div\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\times6=3$（天）答：3天可以完成這項工程的一半。練習(xí)題：1.某商品原價200元，先提價10%，再降價10%，現(xiàn)價是多少元？2.一項工程，甲、乙合作需要6天完成。如果甲單獨做需要10天完成，那么乙單獨做需要多少天完成？3.2行程問題核心公式：路程=速度×?xí)r間；速度=路程÷時間；時間=路程÷速度。常見題型：*相遇問題：路程和=速度和×相遇時間。*追及問題：路程差=速度差×追及時間。*流水行船問題：順?biāo)俣?船速+水速；逆水速度=船速-水速。*火車過橋/隧道問題：總路程=火車車身長+橋（隧道）長。解題技巧：畫線段圖分析題意，明確運動過程中的不變量和等量關(guān)系。例題解析：例：甲、乙兩車同時從A、B兩地相對開出，甲車每小時行60千米，乙車每小時行50千米，兩車在距離中點15千米處相遇。A、