第1頁(yè)（共1頁(yè)）2023-2024學(xué)年浙江省寧波市鄞州區(qū)宋詔橋中學(xué)、鄞州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校、鐘公廟學(xué)校等校八年級(jí)（上）競(jìng)賽數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、單項(xiàng)選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別是5，8，9，另一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別是5，3x﹣2，若這兩個(gè)三角形全等，則x+y的值是（）A． B． C．或 D．或2．（3分）已知△ABC的兩條高線的長(zhǎng)分別為5和20，若第三條高線的長(zhǎng)也是整數(shù)，則第三條高線長(zhǎng)的最大值為（）A．5 B．6 C．7 D．83．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象象分別交x軸，B，把直線AB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交y軸于點(diǎn)A′，則△A′BC的面積是（）A． B． C． D．4．（3分）若不等式2x＜4的解都能使關(guān)于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，則a的取值范圍是（）A．1＜a≤7 B．a(chǎn)≤7 C．a(chǎn)＜1或a≥7 D．a(chǎn)＝75．（3分）如圖，AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別在邊AB（E，F(xiàn)不與端點(diǎn)重合），且DE⊥DF，則（）A．BE+CF＞EF B．BE+CF＝EF C．BE+CF＜EF D．BE+CF與EF的長(zhǎng)短關(guān)系不確定6．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，CE分別平分∠BAC，∠ACB，CD＝11，則AC＝（）A．17 B．16 C． D．7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，交AD于P，PE＝1，則AE＝（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，已知O是斜邊AB的中點(diǎn)，垂足為D，DE⊥OC，DB，CD的長(zhǎng)度都是有理數(shù)，OE，DE，不一定是有理數(shù)的為（）A．OD B．OE C．DE D．AC9．（3分）在△ABC中，已知∠CAB＝60°，D，E分別是邊AB，且∠AED＝60°，ED+DB＝CE，則∠DCB＝（）A．15° B．20° C．25° D．30°10．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y＝x上一點(diǎn)P（1，1），連接PC，線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段PD，垂足為B，直線AB與直線y＝x交于點(diǎn)A，連接CD，直線CD與直線y＝x交于點(diǎn)Q（）A．（2.5，2.5） B．（3，3） C．（1.75，1.75） D．（2.25，2.25）二、填空題（共7小題，每小題5分，共35分）11．（5分）一次函數(shù)y＝kx+b，當(dāng)3≤x≤4時(shí)，3≤y≤6，則．12．（5分）使得不等式組＜＜對(duì)唯一的整數(shù)k成立的最大正整數(shù)n為．13．（5分）小明某天在文具店做志愿者賣(mài)筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元．開(kāi)始時(shí)他有鉛筆和圓珠筆共350支，但是他的銷(xiāo)售收入恰好是2013元．則他至少賣(mài)出了支圓珠筆．14．（5分）如圖，在△ABC中，∠B＝2∠A，，則∠A的度數(shù)是．15．（5分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，D在BC上，E在AB上，∠ADE＝90°，則BE的長(zhǎng)是．16．（5分）如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AF⊥CB于點(diǎn)F，則∠FAE的度數(shù)是．17．（5分）甲，乙兩人分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，勻速前往B地，A地，又各自按原速前往目的地，甲，乙兩人之間的距離y（m）（min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．有下列說(shuō)法：①A，B之間的距離為1200m；③b＝700；④a＝33．以上結(jié)論正確的有．（填序號(hào)）三、解答題（共4小題，共35分）18．（7分）解關(guān)于x的不等式：|x﹣5|﹣|2x+3|＜1．19．（8分）如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝5，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝，求PB的長(zhǎng)．20．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，對(duì)角線AC，且DE＝2EB，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)（1）∠FBD＝30°；（2）AD＝DC．21．（10分）（1）問(wèn)題再現(xiàn)：學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，老師給同學(xué)們提出了一個(gè)求代數(shù)式最小值的問(wèn)題，如，“求代數(shù)式可看作兩直角邊分別為x和2的直角三角形斜邊長(zhǎng)，可看作兩直角邊分別是12﹣x和3的直角三角形的斜邊長(zhǎng)．于是構(gòu)造出如圖，進(jìn)而求得的最小值是．（2）類(lèi)比遷移：已知a，b均為正數(shù)，且a﹣b＝4．求

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市鄞州區(qū)宋詔橋中學(xué)、鄞州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校、鐘公廟學(xué)校等校八年級(jí)（上）競(jìng)賽數(shù)學(xué)試卷（12月份）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案CBCAAABDBD一、單項(xiàng)選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別是5，8，9，另一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別是5，3x﹣2，若這兩個(gè)三角形全等，則x+y的值是（）A． B． C．或 D．或【解答】解：∵兩個(gè)三角形全等，∴或，∴或，∴x+y＝或x+y＝．故選：C．2．（3分）已知△ABC的兩條高線的長(zhǎng)分別為5和20，若第三條高線的長(zhǎng)也是整數(shù)，則第三條高線長(zhǎng)的最大值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：設(shè)△ABC的面積為S，所求的第三條高線的長(zhǎng)為h，則．由三邊關(guān)系，得，解得．所以h的最大整數(shù)值為5，即第三條高線的長(zhǎng)的最大值為6．故選：B．3．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象象分別交x軸，B，把直線AB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交y軸于點(diǎn)A′，則△A′BC的面積是（）A． B． C． D．【解答】解：∵直線l：分別交x軸、B，∴A（3，0），2），∴當(dāng)把直線l繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，直線的解析式為：．∴A'（0，3），聯(lián)立方程組，∴∴△A'BC的面積為：．故選：C．4．（3分）若不等式2x＜4的解都能使關(guān)于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，則a的取值范圍是（）A．1＜a≤7 B．a(chǎn)≤7 C．a(chǎn)＜1或a≥7 D．a(chǎn)＝7【解答】解：解不等式2x＜4得：x＜2，∵（a﹣1）x＜a+5，①當(dāng)a﹣4＞0時(shí)，x＜，∴≥5，∴1＜a≤7．②當(dāng)a﹣3＜0時(shí)，x＞．故選：A．5．（3分）如圖，AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別在邊AB（E，F(xiàn)不與端點(diǎn)重合），且DE⊥DF，則（）A．BE+CF＞EF B．BE+CF＝EF C．BE+CF＜EF D．BE+CF與EF的長(zhǎng)短關(guān)系不確定【解答】如圖，延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G，連接CG，∵AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別在邊AB，∴BD＝CD，又∵DE⊥DF，DG＝ED，∴FD是EG的垂直平分線，∴FG＝EF，又∵∠EDB＝∠GDC∴△EBD≌△GCD（SAS），∴GC＝BE，∵GC+CF＞FG，∴BE+CF＞EF．故選：A．6．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，CE分別平分∠BAC，∠ACB，CD＝11，則AC＝（）A．17 B．16 C． D．【解答】解：設(shè)AD，CE相交于點(diǎn)P，連接PF在△ABC中，∠ABC＝60°，∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣∠ABC＝120°，∵AD，CE分別平分∠BAC，∴∠PAF＝∠PAE＝∠BAC∠ACB，∴∠PAF+∠PCF＝（∠BAC+∠ACB）＝60°，∴∠APE是△PAC的外角，∴∠APE＝∠PAF+∠PCF＝60°，∴∠CPD＝∠APE＝60°，∠APC＝180°﹣∠APE＝120°，在△APF和△APE中，，∴△APF≌△APE（ASA），∴∠APF＝∠APE＝60°，∴∠CPF＝∠APC﹣∠APF＝120°﹣60°＝60°，∴∠CPD＝∠CPF＝60°，在△CPD和△CPF中，，∴△CPD≌△CPF（ASA），∴CD＝CF，∴AC＝CF+AF＝CD+AD，∵AE＝6，CD＝11，∴AC＝CD+AD＝17．故選：A．7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，交AD于P，PE＝1，則AE＝（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，過(guò)D作DG⊥AC于G，∵AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵BE⊥AC，DG⊥AC，∴DG∥BE，∴，∴CG＝EG，∴GD是△BCE的中位線，∴DG＝BE，∵BP＝8，PE＝1，∴BE＝3+5＝4，∴DG＝BE＝2，∵PE∥DG，∴△APE∽△ADG，∴＝，∴AE＝AG，∴AE＝EG＝GC，∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠CDG+∠C＝90°，∴∠C＝∠ADG，又∵∠AGD＝∠CGD＝90°，∴△ADG∽△DCG，∴，∴4AE?AE＝4，∴AE＝，故選：B．8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，已知O是斜邊AB的中點(diǎn)，垂足為D，DE⊥OC，DB，CD的長(zhǎng)度都是有理數(shù)，OE，DE，不一定是有理數(shù)的為（）A．OD B．OE C．DE D．AC【解答】解：因AD，DB，所以是有理數(shù)，OD＝OA﹣AD是有理數(shù)．∵CD⊥AB，DE⊥OC，∴Rt△DOE∽R(shí)t△COD，∴，都是有理數(shù)，而AC＝不一定是有理數(shù)．故選：D．9．（3分）在△ABC中，已知∠CAB＝60°，D，E分別是邊AB，且∠AED＝60°，ED+DB＝CE，則∠DCB＝（）A．15° B．20° C．25° D．30°【解答】解：∠CAB＝60°，∠AED＝60°，∴△ADE是正三角形．作BF∥DE交AC于F，∴△ABF∽△ADE，∴△ABF是等邊三角形，則BD＝EF，從而EC＝DE+BD＝AB＝BF，DE＝FC，又∠1＝∠2＝120°，∴△EDC≌△FCB，∴θ+x＝φ；∵∠CDB＝5φ，∠BDE＝120°，∴φ＝40°，θ+x＝40°；∵θ+φ＝θ+40°＝60°∴θ＝20°，得：x＝20°．故選：B．10．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y＝x上一點(diǎn)P（1，1），連接PC，線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段PD，垂足為B，直線AB與直線y＝x交于點(diǎn)A，連接CD，直線CD與直線y＝x交于點(diǎn)Q（）A．（2.5，2.5） B．（3，3） C．（1.75，1.75） D．（2.25，2.25）【解答】解：過(guò)P作MN⊥y軸，交y軸于M，過(guò)D作DH⊥y軸，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，∴∠MCP＝∠DPN，∵P（1，1），∴OM＝BN＝6，PM＝1，在△MCP和△NPD中，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN＝PM，PN＝CM，∵BD＝2AD，∴設(shè)AD＝a，BD＝8a，∵P（1，1），∴DN＝3a﹣1，則2a﹣7＝1，a＝1，即BD＝2．∵直線y＝x，∴AB＝OB＝3，在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝＝，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝，則C的坐標(biāo)是（0，3），設(shè)直線CD的解析式是y＝kx+8，把D（3，2）代入得：k＝﹣，即直線CD的解析式是y＝﹣x+3，即方程組得．即Q的坐標(biāo)是（2.25，2.25）．故選：D．二、填空題（共7小題，每小題5分，共35分）11．（5分）一次函數(shù)y＝kx+b，當(dāng)3≤x≤4時(shí)，3≤y≤6，則﹣或﹣．【解答】解：當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，∵當(dāng)3≤x≤7時(shí)，3≤y≤6，∴當(dāng)x＝8時(shí)，y＝3，y＝6，∴，∴，∴．當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，∵當(dāng)8≤x≤4時(shí)，3≤y≤3，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＝6，y＝2，∴，∴．∴．故答案為：﹣或﹣．12．（5分）使得不等式組＜＜對(duì)唯一的整數(shù)k成立的最大正整數(shù)n為144．【解答】解：∵＜＜，∴＜＜，∴＜1+＜，∴＜＜，k是唯一的整數(shù)，∴≤且≥，∴＝≥﹣＝，∴n≤144，當(dāng)n＝144時(shí)，由＜＜，可得126＜k＜128，∴k可取唯一的整數(shù)127，由上可得，n的最大值是144，故答案為：144．13．（5分）小明某天在文具店做志愿者賣(mài)筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元．開(kāi)始時(shí)他有鉛筆和圓珠筆共350支，但是他的銷(xiāo)售收入恰好是2013元．則他至少賣(mài)出了207支圓珠筆．【解答】解：設(shè)x，y分別表示已經(jīng)賣(mài)出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則所以，于是是整數(shù)，所以y＞204，故y的最小值為207，此時(shí)x＝141．14．（5分）如圖，在△ABC中，∠B＝2∠A，，則∠A的度數(shù)是15°．．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在DA上截取DE＝DB，設(shè)BC中點(diǎn)為F，如圖所示：∴∠EDC＝∠BDC＝90°，在△ECD和△BCD中，，∴△ECD≌△BCD（SAS），∴BC＝EC＝2，BD＝DE＝，∴∠CEB＝∠B，∵∠B＝2∠A，∴∠CEB＝2∠A，∵∠CEB是△ECA的外角，∴∠CEB＝∠A+∠ECA，∴8∠A＝∠A+∠ECA，∴∠A＝∠ECA，∴EA＝EC＝2，∵AB＝，∴BE＝AB﹣EA＝＝，∴BD＝DE＝BE＝，在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD＝＝，∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴DF是Rt△ACD斜邊BC上的中線，∴DF＝CF＝BF＝BC＝1，∴DF＝CF＝CD＝1，∴△CDF是等邊三角形，∴∠BCD＝60°，∴∠B＝90°﹣∠BCD＝30°，∴∠A＝∠B＝15°．故答案為：15°．15．（5分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，D在BC上，E在AB上，∠ADE＝90°，則BE的長(zhǎng)是4﹣2．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF作∥AC，交BC于點(diǎn)F，∴∠BFE＝∠C＝90°，∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°∴AB＝2AC＝2，在Rt△ABC中，由勾股定理得：CB＝＝＝，∵△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝DA，∵∠DAC+∠ADC＝90°，∠EDF+∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠EDF，在△ADC和△DEF中，，∴△ADC≌△DEF（AAS），∴DF＝AC＝1，設(shè)CD＝x，所以EF＝x，BF＝x，∵CB＝，即x+1+，x＝2﹣，∴BE＝2x＝4﹣2．故答案為：4﹣2．16．（5分）如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AF⊥CB于點(diǎn)F，則∠FAE的度數(shù)是135°．【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，AE＝AC，∴∠BAC＝∠DAE＝90°﹣∠CAD，∠E＝∠ACE＝45°，∵AF⊥CB于點(diǎn)F，∴∠F＝90°，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS），∴∠ACB＝∠E＝45°，∴∠CAF＝90°﹣∠ACB＝45°，∴∠FAE＝∠CAF+∠CAE＝135°，故答案為：135°．17．（5分）甲，乙兩人分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，勻速前往B地，A地，又各自按原速前往目的地，甲，乙兩人之間的距離y（m）（min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．有下列說(shuō)法：①A，B之間的距離為1200m；③b＝700；④a＝33．以上結(jié)論正確的有①②．（填序號(hào)）【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1200，∴A，B之間的距離為1200m，∴①正確；乙的速度為＝60（m/min）﹣60＝40（m/min），＝7.5，∴乙行走的速度是甲的1.6倍，∴②正確；40×（24﹣4）＝800（m），∴b＝800，∴③不正確；甲到達(dá)B地所用時(shí)間為+4＝34（min），∴a＝34，∴④不正確．綜上，①②正確．故答案為：①②．三、解答題（共4小題，共35分）18．（7分）解關(guān)于x的不等式：|x﹣5|﹣|2x+3|＜1．【解答】解：當(dāng)x≤﹣時(shí)，原式即：3﹣x﹣（﹣2x﹣3）＜7，解得：x＜﹣7；當(dāng)﹣＜x＜5時(shí)，解得：x＞，則x的范圍是：＜x＜2；當(dāng)x≥5時(shí)，原式即：x﹣5﹣（6x+3）＜1，解得：x＞﹣5，則x的范圍是：x≥5．綜上可知，不等式的解集為x＜﹣7或x＞．19．（8分）如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝5，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝，求PB的長(zhǎng)．【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BE于點(diǎn)F，在△APD中，PA2＝PD2+AD2＝5①，在△PCD中，PC2＝PD2+CD2＝25②，①﹣②得，CD2﹣AD4＝20，∵AD+CD＝5，∴CD﹣AD＝20÷3＝2，解得AD＝，CD＝，在Rt△ABC中，BE＝AE＝，在Rt△BPF中，PB6＝PF2+BF2＝（）2+（）2＝10，∴PB＝．20．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠BAD＝60