1組合公式從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。（2）加法理某件事由兩種方法來(lái)完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來(lái)完成，則這件事可由m+n種方法來(lái)完成。某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種方法來(lái)完成，則這件事可由m×n種方法來(lái)完成。常見(jiàn)排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對(duì)立事件（至少有一個(gè)）順序問(wèn)題（4）隨機(jī)機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱(chēng)這種試驗(yàn)為隨機(jī)試試驗(yàn)的可能結(jié)果稱(chēng)為隨機(jī)事件。在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；（5）基本事件、樣本②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱(chēng)為基本事件，用①來(lái)表示?；臼录娜w，稱(chēng)為試驗(yàn)的樣本空間，用Ω表示。件（6）事件運(yùn)算一個(gè)事件就是由Ω中的部分點(diǎn)（基本事件①)組成的集合。通常用大寫(xiě)字母必然事件(Ω)的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。AB如果同時(shí)有AB，B>A，則稱(chēng)事件A與事件B等價(jià)，或稱(chēng)A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AUB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱(chēng)為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者AB，它表示A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：A∩B，或者AB。A∩B=?,則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱(chēng)事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。Ω-A稱(chēng)為事件A的逆事件，或稱(chēng)A的對(duì)立事件，記為A。它表示A不發(fā)生結(jié)合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C概型概型概率設(shè)Ω為樣本空間，A為事件，對(duì)每一個(gè)事件A都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿(mǎn)1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°對(duì)于兩兩互不相容的事件A1，A2，…有常稱(chēng)為可列（完全）可加性。則稱(chēng)P(A)為事件A的概率。n}，設(shè)任一事件A，它是由w,w…w組成的，則有EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up14(1),U)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up14(2),m)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up14(m),P)m)mA所包含的基本事件數(shù)n基本事件總數(shù)若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無(wú)限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來(lái)描述，則稱(chēng)此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件A，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)＝0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=Ω時(shí)，P(B)=1-P(B)P(AB)P(A)定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，則稱(chēng)為事件A發(fā)生條件下，事P(A)P(AB)P(A)件B發(fā)生的條件概率，記為P(BP(AB)P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。1例如P(Ω/B)=1→P(B/A)=1-P(B/A)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)更一般地，對(duì)事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1①兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B滿(mǎn)足P(AB)=P(A)P(B)，則稱(chēng)事件A、B是相互獨(dú)立的。若事件A、B相互獨(dú)立，且P(A)>0，則有性若事件A、B相互獨(dú)立，則可得到A與B、A與B、A與B也都相互獨(dú)性必然事件Ω和不可能事件?與任何事件都相互獨(dú)立。②多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿(mǎn)足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿(mǎn)足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)AUnB設(shè)事件B1，B2，…,Bn及A滿(mǎn)足AA則斯公式此公式即為貝葉斯公式。iin通常稱(chēng)為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。利概型我們作了n利概型u每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；un次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)A發(fā)生與這種試驗(yàn)稱(chēng)為伯努利概型，或稱(chēng)為n重伯努利試驗(yàn)。用p表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率，則A發(fā)生的概率為1—p=q，用Pn(k)表EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(k),n)型隨機(jī)變量的分布律型隨機(jī)變量的分布密度與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為Xk(k=1,2,…)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,…，則稱(chēng)上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f(x)稱(chēng)為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概f(x)dx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(X=xk)=pk在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類(lèi)似。設(shè)X為隨機(jī)變量，x稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（-∞,x]內(nèi)的概率。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)=Σp；k對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量。-∞二項(xiàng)分布在n重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為p。事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X，則X可能取值為0,1,2,…,n。EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(k),n)kqn-k，其中X~B(n,p)。布，所以（0-1）分布是二項(xiàng)分布的特例。1泊松分布超幾何分布幾何分布均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~π(λ)或者P(λ)。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在[a，b]1上為常數(shù)，即b-a則稱(chēng)隨機(jī)變量X在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a，b)。分布函數(shù)為x-a指數(shù)分布f(x)=正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為正態(tài)分布EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(-μ),σ)f(x)具有如下性質(zhì)：1°f(x)的圖形是關(guān)于x=μ對(duì)稱(chēng)的；EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up2(若),F)分布函數(shù)為11數(shù)離散型離散型Yg(x1),g(x2i),…,ig(xn),…ig(xi)的概率。若有某些g連續(xù)型第三章二維隨機(jī)變量及其分布離散型離散型個(gè)有序?qū)Γ▁,y則稱(chēng)ξ為離散型隨機(jī)量。ij且事件{ξ=(x,且事件{ξ=(x,y)}的概率為p稱(chēng)ijij為ξ=（X，Y）的分布律或稱(chēng)為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來(lái)表示：Y112X…:::::pijijij1（2）二維（3）聯(lián)合分布函數(shù)（4）離散型的關(guān)系分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有f(x,y)dxdy,D則稱(chēng)ξ為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱(chēng)f(x,y)為ξ=（X，Y）的分布-∞-∞設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)稱(chēng)為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱(chēng)為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函2)2)≤y}的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（2）F（x,y）分別對(duì)x和y是非減的，即當(dāng)x2>x1時(shí)，有F（x2,y）≥F(x1,y);當(dāng)y2>y1時(shí)，有F(x,y2)（3）F（x,y）分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即yf(x，y)dxdy1性離散型連續(xù)型離散型連續(xù)型一般型離散型連續(xù)型二維正態(tài)分布隨機(jī)變量的X的邊緣分布密度為X-∞Y的邊緣分布密度為在已知X=xi的條件下，Y取值的條件在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為iji??j有零不獨(dú)立①可分離變量②正概率密度區(qū)間為矩形若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互獨(dú)立。特例：若X與Y獨(dú)立，則：h（X）和g（Y）獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。1均勻分布其他l其中SD為區(qū)域D的面積，則稱(chēng)（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）~y1y1O1ydDc2bxxx1正態(tài)分布EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(2),2)由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(2),1)2,σEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(2),2)).EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(2),2)Z=X+YZ對(duì)于連續(xù)型-∞EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(2),2)n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線(xiàn)性組合，仍服從正態(tài)分布。ΣCiμi，iiX1,X2,…Xn) x2…Fxn，則Z=max,min(X1,X2,X1,X2,…Xn)1x2分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個(gè)重要參數(shù)。x2分布滿(mǎn)足可加性：設(shè)ii則t分布設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為t1-α(n)1與Y獨(dú)立，可以證明與Y獨(dú)立，可以證明的概率密度函數(shù)為我們稱(chēng)隨機(jī)變量我們稱(chēng)隨機(jī)變量F服從第一個(gè)自由度為n1，第二個(gè)自由度為n2的F分布，記為Ff(n1,n2).連續(xù)型期望就是平均值期望就是平均值-∞（要求絕對(duì)收斂）（要求絕對(duì)收斂）（要求絕對(duì)收斂）函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)標(biāo)準(zhǔn)差D(X)=Σ[x-E(X)]2pkD(X)=∫[x-E(X)]2f(x)dx-∞1矩①對(duì)于正整數(shù)k，稱(chēng)隨機(jī)變量Xi②對(duì)于正整數(shù)k，稱(chēng)隨機(jī)變量Xk=1,2,.E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為Xμ=E(X-E(X))kkkΣ(x-E(X))kp，iiik=1,2,….切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=μ,方差D（X）=σ2，則對(duì)于任意正數(shù)ε,有下列切比雪夫不等式2ε2質(zhì)質(zhì)切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對(duì)概率的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。（2）E(CX)=CE(X)（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：充要條件：X和Y不相關(guān)。（1）D(C)=0；E(C)=C（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b（5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無(wú)條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無(wú)條件成立。0-1分布B(1,p)pp(1-p)二項(xiàng)分布B(n,p)泊松分布P(λ)幾何分布G(p)超幾何分布H(n,M,N)均勻分布U(a,b)指數(shù)分布e(λ)正態(tài)分布N(μ,σ2)x2分布函數(shù)的期望np(1-p)λ1λ1pN21p2(b-a)2λλnnE[G(X,Y)]=-∞-∞E[G(X,Y)]=-∞-∞-∞1協(xié)方差差或相關(guān)矩，記為σ或cov(X,Y)，即=E[(X-E(X))(Y-E(Y))].相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，則稱(chēng)σD(X)D(Y)完全相關(guān){l負(fù)相關(guān)，當(dāng)l負(fù)相關(guān)，當(dāng)②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);協(xié)方差矩陣⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣混合矩對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果有E(XkYl)存在，則稱(chēng)之為X與Y的混合矩u=E[(X-E(X))k(Y-E(Y))l].性質(zhì)性質(zhì)(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);(iii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).1相關(guān)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(2),2)則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。切比雪夫大數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D（Xi）<C(i=1,2,…),則對(duì)于任意的正數(shù)ε,有則上式成為伯努利大數(shù)定律設(shè)μ是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的正數(shù)ε,有伯努利大數(shù)定律說(shuō)明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。n，…是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E數(shù)定律（X）=μ,則對(duì)于任意的正數(shù)ε有n1理列維-林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有列維-林德伯格定理nn此定理也稱(chēng)為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗-拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量棣莫弗-拉普拉斯定理任意實(shí)數(shù)x,有若當(dāng)N→∞時(shí)→p(n,k不變)，則超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對(duì)象的某一個(gè)（或多個(gè)）指標(biāo)的全個(gè)體總體中的每一個(gè)單元稱(chēng)為樣品（或1樣本總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)稱(chēng)之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計(jì)量,…,xn為總體的一個(gè)樣本，稱(chēng)為樣本函數(shù)，其中φ為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果φ中不包含任何未常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)樣本均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差其中為二階中心矩。1正態(tài)分布四大分布正態(tài)分布四大分布其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。x2分布x2分布2其中x2(n1)表示自由度為n-1的x2分布。,…,xn為來(lái)自正態(tài)總體N(μ,σEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(2),1))的一個(gè)樣本，而y,…,yn為來(lái)自正態(tài)總體N(μ,σEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(2),2))的一個(gè)樣本，則樣本22/σ/σ2222/σ/σ222布的性質(zhì)1估計(jì)矩估計(jì)1這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有………EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(θΛ),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(Λ),m)1然估計(jì),…,xn為總體的一個(gè)樣本，稱(chēng)為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng).n相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱(chēng)為最大似然估計(jì)量。iΛΛii計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性有效性,…,xn)為未知參數(shù)θ的估計(jì)量。若E=θ,則稱(chēng)一致性信度計(jì)設(shè)n是θ的一串估計(jì)量，如果對(duì)于任意的正數(shù)ε,都有只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計(jì)