函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專項(xiàng)測(cè)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列函數(shù)不是偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義求解.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，定義域?yàn)椋?，所以為偶函?shù)；對(duì)于B項(xiàng)，定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)；對(duì)于C項(xiàng)，的定義域?yàn)?，，所以不是偶函?shù)；對(duì)于D項(xiàng)，的定義域?yàn)?，，所以是偶函?shù).故選:C.2．（2022·吉林·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）一種藥在病人血液中的量不低于1800mg時(shí)才有療效，如果用藥前，病人血液中該藥的量為0mg，用藥后，藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減．現(xiàn)給某病人靜脈注射了3600mg的此藥，為了持續(xù)保持療效，則最長(zhǎng)需要在多少小時(shí)后再次注射此藥（，結(jié)果精確到0.1）（

）A．2.7 B．2.9 C．3.1 D．3.3【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】設(shè)注射后經(jīng)過(guò)的時(shí)間為，血液中藥物的含量為，則有，因?yàn)樗幵诓∪搜褐械牧坎坏陀?800mg時(shí)才有療效，所以令，解得.故選：C.3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如，，，設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷所在區(qū)間，最后根據(jù)高斯函數(shù)的定義計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以在上存在唯一零點(diǎn)，即，所以.故選：A4．（2021·天津薊州·天津市薊州區(qū)第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)可得且，故可得函數(shù)只能是上的單調(diào)遞減函數(shù)，然后列不等式即可【詳解】由可得且，所以當(dāng)時(shí)，不可能是增函數(shù)，所以函數(shù)在上不可能是增函數(shù)，則函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：B5．（2023·河南信陽(yáng)·河南省信陽(yáng)市第二高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）已知函數(shù)對(duì)均滿足，其中是的導(dǎo)數(shù)，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的等式，構(gòu)造函數(shù)并探討其單調(diào)性，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】，令，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，對(duì)于A，，則，即，A正確；對(duì)于B，，則，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，即，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，即，D錯(cuò)誤．故選：A6．（2023·青海海東·統(tǒng)考一模）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，再根據(jù)轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合的單調(diào)性求解即可.【詳解】設(shè)，則.因?yàn)?，所以，即，所以在上單調(diào)遞減.不等式等價(jià)于不等式，即.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得故選：A7．（2021·陜西漢中·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，若，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可構(gòu)造函數(shù)，由此判斷其單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷的大小.【詳解】設(shè)，則，由題意知當(dāng)時(shí)，，即，故在時(shí)單調(diào)遞增，故，即，故選：D.8．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（），且在有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用零點(diǎn)的意義等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)作答.【詳解】，，由得，，則，令，依題意，函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，顯然，而在上單調(diào)遞增，則有，當(dāng)或，即或時(shí)，在上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，即有函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)1，因此，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，要函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)在上有一個(gè)零點(diǎn)，即有，解得，所以的取值范圍.故選：C二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.9．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（

）A．的值域?yàn)锽．直線是曲線的一條切線C．圖象的對(duì)稱中心為D．方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】BD【分析】A.分兩種情況求函數(shù)的值域；B.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線，判斷選項(xiàng)；C.利用平移判斷函數(shù)的對(duì)稱中心；D.首先求的值，再求解方程的實(shí)數(shù)根.【詳解】A.時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；B.令，得，，所以圖象在點(diǎn)處的切線方程是，得，，所以圖象在點(diǎn)處的切線方程是，得，故B正確；C.的對(duì)稱中心是，所以的對(duì)稱中心是，向右平移1個(gè)單位得，對(duì)稱中心是，故C錯(cuò)誤；D.，解得：或，當(dāng)，得，，1個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，得或，2個(gè)實(shí)根，所以共3個(gè)實(shí)根，故D正確.故選：BD10．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的可能的值為（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解的單調(diào)性，問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造，求解最值即可.【詳解】，故恒成立，轉(zhuǎn)化成恒成立，記，則在單調(diào)遞增，故由得，故恒成立，記，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故由恒成立，即,故，故選：AD【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問(wèn)題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.11．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）函數(shù)的部分圖像如圖所示，，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．的最小正周期為B．是奇函數(shù)C．的單調(diào)遞增區(qū)間為D．，其中為的導(dǎo)函數(shù)【答案】AD【分析】根據(jù)題意可求得函數(shù)的周期，即可判斷A，進(jìn)而可求得，再根據(jù)待定系數(shù)法可求得，再根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性可判斷B，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C，求導(dǎo)計(jì)算即可判斷D.【詳解】解：由題意可得，所以，故A正確；則，所以，由，得，所以，則，又，所以，則，由，得，所以，則為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；，則，故D正確.故選：AD.12．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（

）A．是周期函數(shù) B．函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ABD【分析】根據(jù)正弦函數(shù)周期判斷A，由指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性判斷B，根據(jù)奇偶性定義判斷C，由函數(shù)中心對(duì)稱充要條件判斷D.【詳解】令，則，所以函數(shù)為周期函數(shù)，故A正確；因?yàn)椋驗(yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，且，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可得在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)，故B正確；令，則，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確.故選：ABD

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．（2022·四川樂(lè)山·統(tǒng)考一模）函數(shù)在上所有零點(diǎn)之和為_(kāi)_________________.【答案】4【分析】利用數(shù)形結(jié)合，將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的交點(diǎn)問(wèn)題，利用函數(shù)的對(duì)稱性，可求零點(diǎn)的和.【詳解】函數(shù)，即，函數(shù)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，如圖畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間的函數(shù)圖象，兩個(gè)函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，利用對(duì)稱性可知，交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和.故答案為：414．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則滿足的的取值范圍是_________.【答案】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性原不等式等價(jià)于，解得即可.【詳解】解：因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，則不等式等價(jià)于，即，解得，即.故答案為：15．（2021·陜西榆林·?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出函數(shù)有意義時(shí)滿足的不等式，求得答案.【詳解】函數(shù)需滿足，解得且，故函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為?6．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考一模）設(shè)，函數(shù)的圖像與直線有四個(gè)交點(diǎn)，且這些交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理，求得，和的關(guān)系，以及的范圍，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，借助對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，令，解得或，不妨設(shè)作圖如下：又直線的斜率為，數(shù)形結(jié)合可知，要滿足題意，；且為方程，即的兩根，當(dāng)時(shí)，，則，故；為方程，即的兩根，當(dāng)時(shí)，，則，故；則，令，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，又，故，即的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與方程；處理問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠數(shù)形結(jié)合求得，和的關(guān)系，從而借助函數(shù)單調(diào)性求值域，屬綜合中檔題.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)有兩個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行求解即可；（2）令轉(zhuǎn)化為與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象判斷可得答案.【詳解】（1），所以切線斜率為，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，函數(shù)的圖象在處的切線方程為；（2）有兩個(gè)零點(diǎn)，理由如下，令，可得，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即判斷與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，，當(dāng)無(wú)限接近于時(shí)無(wú)限接近于，且，由，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，，，，且當(dāng)無(wú)限接近于2時(shí)無(wú)限接近于，所以與的圖象在時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，在時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，綜上函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解18．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在正整數(shù)m，使得恒成立，若存在求出m的最小值，若不存在說(shuō)明理由.【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.(2)存在正整數(shù)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令和，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）要使恒成立，即恒成立，討論和，求出的單調(diào)性，即可知要使，令，對(duì)求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，解得：；令，解得：，所以函?shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（2）的定義域?yàn)?，，若，即，函?shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)最大值；若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，且，要使恒成立，即，所以，即，令，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)趨近于2時(shí)，，，所以存在最小正整數(shù)，使得，即是使得恒成立.19．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)設(shè)在區(qū)間上的最小值為，求及的最大值．【答案】(1)極大值，極小值0(2)，的最大值為0，【分析】（1）由極值的概念求解，（2）根據(jù)的取值分類討論求解的單調(diào)區(qū)間后得，再由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后求解最大值，【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值為，極小值為，（2），，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上的最小值為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上的最小值為，當(dāng)時(shí)，同理得在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，在區(qū)間上的最小值為，若，在區(qū)間上的最小值為綜上，令，則，故在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，故的最大值為0，20．（2023·湖南湘潭·統(tǒng)考二模）已知，曲線在處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得.（2）化簡(jiǎn)，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【詳解】（1）由題可知，即．又，所以，解得，即．（2），，要證，，只需證，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，．21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，按照和的大小關(guān)系分類討論；（2）先轉(zhuǎn)化需證明的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的符號(hào)，推得，進(jìn)而證明結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，，所以，，由，得，當(dāng)，即時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；綜上可得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，，要證，即證，即證，令，，則，令，可得，令，可得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，