第四章三角形☆問題解決策略：特殊化一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析從特殊情形中得到問題的結(jié)論或解決問題的方法，再將一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形或與之建立關(guān)聯(lián)，這就是解決數(shù)學(xué)問題時常用的“特殊化”策略。在數(shù)學(xué)解題中，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這一策略，往往能快速解決問題，并能在探索解題方法等方面收到良好的實(shí)效。本節(jié)課通過一系列探究活動，讓學(xué)生了解“特殊化”策略的意義、適用情境和一般步驟，體會“特殊化”策略在分析問題、解決問題中的價值，發(fā)展推理能力，為后續(xù)開展問題解決活動奠定基礎(chǔ)。二、學(xué)生起點(diǎn)分析學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)了解正方形的基本性質(zhì)，掌握圖形旋轉(zhuǎn)的基本特征。七年級又學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)及證明，具備了添加簡單輔助線構(gòu)造全等三角形的思維基礎(chǔ)，形成了一定的推理能力與觀察能力，這些都為本節(jié)課探究奠定了基礎(chǔ)。在探索運(yùn)用特殊化策略解決問題的過程中，學(xué)生積累了一定的觀察、歸納、猜想、驗(yàn)證的經(jīng)驗(yàn)，也具備了一定的合作、交流與表達(dá)的能力，但七年級學(xué)生的分析論證能力、邏輯推理能力相對比較弱。三、教學(xué)目標(biāo)1.經(jīng)歷借助“特殊化”策略解決問題的過程，發(fā)展觀察、想象、推理、交流等能力。2.能在問題中尋找特殊情形，會借助特殊情形下獲得的結(jié)論或方法解決一般性的問題，提高分析問題、解決問題的能力。3.在建構(gòu)特殊化策略解題的流程中，體會一般與特殊的關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn)：理解掌握并會運(yùn)用特殊化策略解決問題。教學(xué)難點(diǎn)：構(gòu)建特殊情形與一般情形互相轉(zhuǎn)化的思路。四、教學(xué)過程設(shè)計本節(jié)課設(shè)計了七個教學(xué)環(huán)節(jié)：【第一環(huán)節(jié)】提出問題；【第二環(huán)節(jié)】理解問題；【第三環(huán)節(jié)】擬定計劃；【第四環(huán)節(jié)】實(shí)施計劃；【第五環(huán)節(jié)】回顧反思；【第六環(huán)節(jié)】鞏固練習(xí)；【第七環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)?！镜谝画h(huán)節(jié)】提出問題1.活動內(nèi)容如圖1，有兩個邊長為1的正方形，其中正方形EFGH的頂點(diǎn)E與正方形ABCD的中心重合。在正方形EFGH繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個正方形重疊部分的面積是多少？圖12.活動目的設(shè)定問題情境，提供探究問題解決策略的題目。3.實(shí)際效果教學(xué)中，可能很多學(xué)生僅僅是觀察到重疊部分的圖形是變化的，并沒有什么新的發(fā)現(xiàn)。也有一部分學(xué)生會猜測出重疊部分圖形的面積可能是個定值。為了解決這一問題，通過制作一個動畫演示，讓學(xué)生清晰地觀察到圖形的變化。解決這一問題后，教師繼續(xù)追問：“你觀察到了什么？”“你打算如何展開探究呢？”讓學(xué)生充分交流和表達(dá)，自主提出接下來的探究活動，并思考探究問題的思路和方法。【第二環(huán)節(jié)】理解問題1.活動內(nèi)容（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個正方形的重疊部分會呈現(xiàn)出哪些情形？（2）對于這些不同情形，如何求兩個正方形重疊部分的面積？你遇到的困難是什么？2.活動目的學(xué)生通過動手操作、觀察、思考，真切地感受到特殊情形與一般情形的存在與不同，進(jìn)一步明確要研究的問題及困難是什么。教師組織學(xué)生充分交流和表達(dá)特殊情形下解決問題的方法，不僅能夠明晰特殊情形下問題的解法，同時也為求解一般情形下問題作鋪墊。3.實(shí)際效果（1）學(xué)生通過觀察動畫演示或?qū)嵨锊僮?，容易得出旋轉(zhuǎn)過程中呈現(xiàn)的各種情形，此時，教師要引導(dǎo)學(xué)生對這些不同的情形進(jìn)行分類，提煉出要研究的各種情形。（如圖3所示）特殊情形一特殊情形二一般情形圖3在學(xué)生提煉出要研究的各種情形后，教師要引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考如何求各種情形兩個正方形重疊部分的面積？對于這一問題學(xué)生可能會有不同的想法，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生大膽表達(dá)自己的想法。對于情形一、二兩種特殊情形，學(xué)生容易得出求兩個正方形重疊部分面積的思路，在思考如何求解一般情形下重疊部分的面積時，大部分學(xué)生都會遇到困難，學(xué)生帶著問題，自主開啟新的探究歷程?！镜谌h(huán)節(jié)】擬定計劃1.活動內(nèi)容哪些特殊情形下，兩個正方形重疊部分的面積容易求出？其他情形能轉(zhuǎn)化為容易求解的特殊情形嗎？2.活動目的通過小組合作學(xué)習(xí)，操作探究等活動，使學(xué)生能夠親眼所見，親身經(jīng)歷，互幫互助解決問題。在這個過程中，使學(xué)生理解一般與特殊的關(guān)系，明確特殊和一般互相轉(zhuǎn)化的方法，初步理解特殊化的一般思路與步驟。3.實(shí)際效果（1）兩種特殊情形重疊部分是特殊圖形，重疊部分面積容易求出。（2）在思考如何求一般情形重疊部分的面積時，學(xué)生會自然想到將一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形。但是，大部分學(xué)生想不出轉(zhuǎn)化思路，找不到轉(zhuǎn)化的線索，因此，開展小組合作學(xué)習(xí)探究：一般情形能轉(zhuǎn)化為特殊情形嗎？你是如何轉(zhuǎn)化的？你是怎樣想到這樣轉(zhuǎn)化的？小組經(jīng)過充分的交流討論后，互相展示，解釋說明解決問題的方案。教師再引導(dǎo)學(xué)生對各個小組解決問題的方案進(jìn)行分析、總結(jié)，提煉出轉(zhuǎn)化的思路。一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形的思路是：再放一張全等的正方形透明卡片在特殊位置上（如圖4所示，紅色虛線位置），一般情形與特殊情形呈現(xiàn)在一起，直觀構(gòu)建了轉(zhuǎn)化的思路，為添加輔助線作好鋪墊。思路一思路二圖4【第四環(huán)節(jié)】實(shí)施計劃1.活動內(nèi)容寫出你的解決方案，并說明理由。2.活動目的師生共同梳理各種情形面積的求解方案，明晰求解特殊情形的結(jié)論與方法，經(jīng)歷用在特殊情形下獲得結(jié)論與方法解決一般性的問題的過程，理解特殊化的一般思路與步驟，形成特殊化策略并用之解決問題，感悟特殊化策略的意義與價值。3.實(shí)際效果解決方案預(yù)設(shè)：（1）梳理特殊情形面積的求解方案。情形一重疊部分是等腰直角三角形BEC，面積是。解法一：等腰直角三角形BEC面積是正方形ABCD的，正方形ABCD的邊長是1，所以等腰直角三角形BEC面積是。圖5解法二：如圖5，過點(diǎn)E作EKBC于K。因?yàn)镋K=，BC=1，所以。如圖6，情形二重疊部分是正方形MENB，點(diǎn)M，N是正方形ABCD邊AB，BC的中點(diǎn)，所以。圖6（2）梳理一般情形面積的求解方案。解法一：如圖7，連接EB，EC，設(shè)兩個正方形重疊部分的面積為，則。因?yàn)辄c(diǎn)E是正方形ABCD的中心，所以EB=EC，=90°，。圖7因?yàn)樗倪呅蜤FGH是正方形，所以=90°，所以，即，所以≌，這時，一般情形就轉(zhuǎn)化為特殊情形一，。因此，一般情形下，重疊部分的面積也是。解法二：如圖8，作。證明≌△ENQ，將一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形二，圖8。因此，一般情形下，重疊部分的面積也是?！镜谖瀛h(huán)節(jié)】回顧反思1.活動內(nèi)容（1）回顧本題的解決過程，你有哪些感悟？（2）具有什么特點(diǎn)的問題，可以從特殊情形入手？如何尋找特殊情形？與同伴進(jìn)行交流。2.活動目的通過回顧反思，梳理運(yùn)用特殊化解題的思路與步驟，形成特殊化策略并能夠運(yùn)用其解決問題。這是學(xué)習(xí)的升華過程，是模式化思想的培養(yǎng)過程，是發(fā)展核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路。3.實(shí)際效果（1）學(xué)生回顧解題過程，本題重疊部分圖形有兩種，一種圖形是特殊形狀，視為特殊情形，另一種圖形形狀不規(guī)則，視為一般情形。如果直接研究一般情形會比較困難，因此會先研究特殊情形，再用特殊情形下獲得結(jié)論與方法解決一般情形的問題，經(jīng)歷了由一般到特殊再到一般的過程。（2）學(xué)生反思解題過程，發(fā)現(xiàn)具有很多情形的問題，可以嘗試限制引起變化的因素，考慮最為特殊的情形（如形狀、位置或數(shù)值等），采用從特殊情形入手的策略解決問題。教師總結(jié)：（1）特殊化策略：面對一般性的問題，可以先考慮特殊情形，借助特殊情形下獲得的結(jié)論或方法解決一般性的問題。（2）特殊化策略流程圖：【第六環(huán)節(jié)】鞏固練習(xí)1.活動內(nèi)容（1）如圖，四邊形ABCD的面積是16，各邊中點(diǎn)分別為M，N，P，Q，MP與NQ相交于點(diǎn)O，則圖中陰影部分的面積=______。（2）如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向三邊作垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)。小穎從特殊情形入手，認(rèn)為AF+BD+CE等于△ABC周長的。你知道她是怎么做的嗎?（3）如圖，在△ABC中，∠C＝90°（∠A＜∠ABC），點(diǎn)D，P分別在邊AB，AC上，且PA＝PB，DE⊥BP，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．若S△ABC＝24，AC＝8，求DE+DF的值為____．（4）甲、乙兩人輪流在一張圓桌上放置同樣大小的硬幣，每人每次只能置一枚硬幣，且放置過程中不允許重疊與傾斜，硬幣不能超出桌面的邊界。規(guī)定誰在桌上放下最后一枚便幣，誰就獲勝。你知道獲勝的策略嗎?（5）一個三位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商最大是多少?2.活動目的選擇的幾類題目是對本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的鞏固與強(qiáng)化。鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生積極完成所有題目，更好地體會特殊化策略的價值。3.實(shí)際效果第（1）題側(cè)重特殊形狀，第（2）、（3）題側(cè)重特殊位置，第（4）題側(cè)重生活中的應(yīng)用，第（5）題側(cè)重特殊數(shù)值。只要求學(xué)生說明如何用“特殊化”策略推測結(jié)論，不要求學(xué)生一般地證明這一結(jié)論。【第七環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么知識？你有哪些收獲呢？1.特殊化策略：面對一般性的問題，可以先考慮特殊情形，借助特殊情形下獲得的結(jié)論或方法解決一般性的問題。2.應(yīng)用范圍：因?yàn)槟承┮蛩?如形狀、位置或數(shù)值等)不確定，使得問題有多種情形時，可以應(yīng)用特殊化策略。3.用特殊化策略解題的一般思路：面對一般性的問題，可以先考慮特殊情形，借助特殊情形下獲得的結(jié)論或方