不等式高考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.若不等式\(ax^{2}+bx+c>0\)的解集為\(\{x|-1<x<2\}\)，那么不等式\(a(x^{2}+1)+b(x-1)+c>2ax\)的解集為（）A.\(\{x|0<x<3\}\)B.\(\{x|x<0或x>3\}\)C.\(\{x|-2<x<1\}\)D.\(\{x|x<-2或x>1\}\)答案：A2.已知\(a,b\inR\)，且\(a>b\)，則下列不等式中恒成立的是（）A.\(a^{2}>b^{2}\)B.\((\frac{1}{2})^{a}<(\frac{1}{2})^\)C.\(lg(a-b)>0\)D.\(\frac{a}>1\)答案：B3.不等式\(\frac{x-1}{x}\geqslant2\)的解集為（）A.\([-1,0)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((-\infty,-1]\)D.\((-\infty,-1]\cup(0,+\infty)\)答案：A4.若\(x,y\inR\)，且\(x+y=5\)，則\(3^{x}+3^{y}\)的最小值是（）A.\(10\)B.\(6\sqrt{3}\)C.\(4\sqrt{6}\)D.\(18\sqrt{3}\)答案：D5.設\(a,b\inR\)，若\(a-|b|>0\)，則下列不等式中正確的是（）A.\(b-a>0\)B.\(a^{3}+b^{3}<0\)C.\(a^{2}-b^{2}<0\)D.\(b+a>0\)答案：D6.不等式\(|x-1|+|x+2|\geqslant5\)的解集為（）A.\((-\infty,-3]\cup[2,+\infty)\)B.\([-3,2]\)C.\((-\infty,-2]\cup[3,+\infty)\)D.\([-2,3]\)答案：A7.已知\(x>0,y>0\)，且\(2x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值是（）A.\(3+2\sqrt{2}\)B.\(3-2\sqrt{2}\)C.\(1\)D.\(\frac{1}{2}\)答案：A8.若不等式\(x^{2}+ax+1\geqslant0\)對一切\(zhòng)(x\in(0,\frac{1}{2}]\)成立，則\(a\)的最小值為（）A.\(0\)B.\(-2\)C.\(-\frac{5}{2}\)D.\(-3\)答案：C9.設\(a>0,b>0\)，若\(\sqrt{3}\)是\(3^{a}\)與\(3^\)的等比中項，則\(\frac{1}{a}+\frac{1}\)的最小值為（）A.\(8\)B.\(4\)C.\(1\)D.\(\frac{1}{4}\)答案：B10.不等式\((x-2y+1)(x+y-3)\leqslant0\)表示的平面區(qū)域是（）A.三角形區(qū)域B.四邊形區(qū)域C.五邊形區(qū)域D.六邊形區(qū)域答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列不等式中，與不等式\(\frac{x+8}{x^{2}+2x+3}<2\)解集相同的是（）A.\((x+8)<2(x^{2}+2x+3)\)B.\(\frac{x+8}{x^{2}+2x+3}-2<0\)C.\(\frac{-2x^{2}-3x+2}{x^{2}+2x+3}<0\)D.\((x+8)(x^{2}+2x+3)<2(x^{2}+2x+3)^{2}\)答案：ABCD2.若\(a,b\inR\)，則使\(a^{3}<b^{3}\)成立的充分不必要條件是（）A.\(a<b\)B.\(ab<0\)且\(a>b\)C.\(ab>0\)且\(a<b\)D.\(a^{2}>b^{2}\)且\(a<b\)答案：AC3.設\(a,b\inR\)，\(a^{2}+b^{2}=k\)（\(k\)為常數(shù)），且\(\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{4}{b^{2}+1}=1\)，則\(k\)的值可能為（）A.\(1\)B.\(4\)C.\(7\)D.\(9\)答案：ABC4.已知\(x,y\inR\)，且\(x^{2}+y^{2}=1\)，則下列不等式中恒成立的是（）A.\(x+y\leqslant\sqrt{2}\)B.\(-1\leqslantxy\leqslant1\)C.\(\vertx\vert-\verty\vert\leqslant1\)D.\(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geqslant4\)答案：ACD5.不等式\(x^{2}-ax-b<0\)的解集是\(\{x|2<x<3\}\)，則下列不等式中正確的是（）A.\(ax+b>0\)的解集為\(\{x|x<-3或x>-2\}\)B.\(bx^{2}-ax-1>0\)的解集為\(\{x|-\frac{1}{2}<x<-\frac{1}{3}\}\)C.\(x^{2}-bx-a<0\)的解集為\(\{x|\frac{1}{3}<x<\frac{1}{2}\}\)D.\(ax^{2}-bx+1<0\)的解集為\(\{x|x<\frac{1}{3}或x>\frac{1}{2}\}\)答案：AB6.已知\(a,b\inR^{+}\)，則下列不等式中正確的是（）A.\(\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)B.\((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1})\geqslant4\)C.\(\frac{2ab}{a+b}\leqslant\sqrt{ab}\)D.\(\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geqslant(\frac{a+b}{2})^{2}\)答案：ABCD7.對于任意實數(shù)\(a,b,c,d\)，下列命題中正確的是（）A.若\(a>b,c\neq0\)則\(ac>bc\)B.若\(a>b\)，則\(ac^{2}>bc^{2}\)C.若\(ac^{2}>bc^{2}\)，則\(a>b\)D.若\(a>b\)，則\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)答案：C8.若\(x,y\inR\)，且\(x+y=4\)，則\(3^{x}+3^{y}\)的取值可能是（）A.\(18\)B.\(20\)C.\(24\)D.\(30\)答案：ABC9.設\(a>0,b>0\)，不等式\(a>\frac{1}{x}>-b\)的解集為\(\{x|\frac{1}<x<-\frac{1}{a}\}\)，則下列結論正確的是（）A.\(a>1,b>1\)B.\(a>1,0<b<1\)C.\(0<a<1,b>1\)D.\(0<a<1,0<b<1\)答案：A10.已知\(a,b\inR\)，且\(a^{2}+b^{2}=1\)，則\((a+3)^{2}+(b-4)^{2}\)的取值范圍是（）A.\([25-10\sqrt{2},25+10\sqrt{2}]\)B.\([25,+\infty)\)C.\([16,+\infty)\)D.\([9,+\infty)\)答案：A三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(a>b\)，則\(ac^{2}>bc^{2}\)。（）答案：錯誤2.若\(a<b<0\)，則\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)。（）答案：錯誤3.不等式\(x^{2}-2x+3>0\)的解集為\(R\)。（）答案：正確4.若\(a,b\inR\)，\(a+b=2\)，則\(3^{a}+3^\)的最小值是\(6\)。（）答案：正確5.不等式\(\frac{x-3}{x+1}\leqslant0\)的解集為\(\{x|-1<x\leqslant3\}\)。（）答案：正確6.若\(a,b\inR\)，\(a^{2}+b^{2}=1\)，則\(ab\leqslant\frac{1}{2}\)。（）答案：正確7.不等式\(|x-1|+|x+2|>3\)的解集為\((-\infty,-2)\cup(1,+\infty)\)。（）答案：正確8.若\(x,y\inR^{+}\)，且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為\(4\)。（）答案：正確9.若不等式\(ax^{2}+bx+c<0\)的解集為\(\{x|x<m或x>n\}(m<n)\)，則\(ax^{2}-bx+c>0\)的解集為\(\{x|-n<x<-m\}\)。（）答案：正確10.若\(a>0,b>0\)，且\(a+b=1\)，則\(\sqrt{a}+\sqrt\leqslant\sqrt{2}\)。（）答案：正確四、簡答題（每題5分，共4題）1.求不等式\(x^{2}-3x-10>0\)的解集。答案：\(x^{2}-3x-10>0\)，即\((x-5)(x+2)>0\)，解得\(x>5\)或\(x<-2\)。2.已知\(a,b\inR^{+}\)，且\(a+b=1\)，求\(\frac{1}{a}+\frac{1}\)的最小值。答案：\(\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{ab}\)，由\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)，\(1\geqslant2\sqrt{ab}\)，\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)，所以\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geqslant4\)，最小值為\(4\)。3.解不等式\(|2x-1|<3\)。答案：\(-3<2x-1<3\)，即\(-2<2x<4\)，解得\(-1<x<2\)。4.若不等式\(mx^{2}-mx-1<0\)對一切實數(shù)\(x\)恒成立，求\(m\)的取值范圍。答案：當\(m=0\)時，\(-1<0\)恒成立；當\(m\neq0\)時，\(\left\{\begin{array}{l}m<0\\\Delta=m^{2}+4m<0\end{array}\right.\)，解得\(-4<m<0\)，綜上\(-4<m\leqslant0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論不等式\(ax^{2}+bx+c>0\)（\(a\neq0\)）的解集與二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）圖象的關系。答案：當\(a>0\)時，若\(\Delta=b^{2}-4ac<0\)，二次函數(shù)圖象在\(x\)軸上方，不等式解集為\(R\)；若\(\Delta\geqslant0\)，根據(jù)二次函數(shù)與\(x\)軸交點確定解集。當\(a<0\)時，若\(\Delta<0\)，二次函數(shù)圖象在\(x\)軸下方，解集為\(\varnothing\)；若\(\Delta\geqslant0\)，根據(jù)交點確定解集。2.已知\(a,b\inR\)，討論\(a^{2}+b^{2}\)與\(2ab\)的大小關系。答案：\((a-b)^{2}\geqslant0\)，即\(a^{2}+b^{2}-2ab\geqslant0\)，所以\(a^{2}+b^{2}\geqslant2ab\)，當且僅當\(a=b\)時